吳 畏，年海濤，劉寶鳳，崔 晶，蔣效雄

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131;2.總裝備部駐天津地區(qū)軍事代表室，天津 300131）

0 引言

目前，以石英撓性加速度計(jì)為典型代表的擺式加速度計(jì)已得到十分廣泛的應(yīng)用［1-3］。擺式加速度計(jì)通?？砂凑諊?guó)軍標(biāo)所介紹的十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法進(jìn)行測(cè)試［4］。根據(jù)這種方法我們可將擺式加速度計(jì)安裝在分度頭上，分別測(cè)出0°、30°、60°、90°、 120°、 150°、 180°、 210°、 240°、 270°、300°、330°時(shí)加速度計(jì)的輸出，然后通過(guò)計(jì)算，得到加速度計(jì)的偏值K0、標(biāo)度因數(shù)K1、二階非線性系數(shù)K2、三階非線性系數(shù)K3以及輸入軸和擺軸的交叉耦合系數(shù)Kip、輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數(shù)Kio。在這種方法中，當(dāng)分度頭的讀數(shù)為90°和270°時(shí)，加速度計(jì)的輸入分別為 +1g和 －1g，因此加速度計(jì)的輸入量程必須大于等于 ±1g，這樣的加速度計(jì)在航海、船舶領(lǐng)域十分常見。但有些特殊用途的加速度計(jì)，為了追求某項(xiàng)指標(biāo)的高精度，往往需要以犧牲輸入量程為代價(jià)，使其量程小于 ±1g。這種加速度計(jì)顯然不能直接按照國(guó)軍標(biāo)所介紹的十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法進(jìn)行測(cè)試。為了解決這一問(wèn)題，在深入分析常規(guī)十二點(diǎn)翻滾測(cè)試基本原理的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行了適當(dāng)修改，從而提出了一種能夠適用于小量程擺式加速度計(jì)的小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法。

1 小角度十二點(diǎn)測(cè)試方法

1.1 安裝狀態(tài)定義

在討論原理之前，有必要先對(duì)擺式加速度計(jì)的坐標(biāo)系進(jìn)行說(shuō)明。加速度計(jì)的坐標(biāo)軸分別為輸入軸、輸出軸和擺軸，這三個(gè)軸兩兩垂直。

在分度頭上進(jìn)行加速度計(jì)測(cè)試時(shí)需要將分度頭的回轉(zhuǎn)軸調(diào)節(jié)到水平方向。加速度計(jì)在分度頭上的安裝方式有擺態(tài)和門態(tài)兩種，在擺態(tài)，加速度計(jì)的輸出軸平行于分度頭的回轉(zhuǎn)軸;而在門態(tài)則是擺軸平行于分度頭的回轉(zhuǎn)軸。不論哪一種安裝方式，分度頭轉(zhuǎn)角θ=0°都是對(duì)應(yīng)于輸入軸處于水平方向，此時(shí)若為擺態(tài)，則擺軸垂直向下;而若為門態(tài)，則輸出軸垂直向下。當(dāng)分度頭轉(zhuǎn)角θ=90°時(shí)，不論擺態(tài)還是門態(tài)，輸入軸的正方向都是垂直向上的。面向分度頭的安裝盤面，若所使用的分度頭安裝盤面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角度讀數(shù)增大，則在兩種安裝方式下，初始位置時(shí)加速度計(jì)各軸的指向分別如圖1（a）和圖1（b）所示。

圖1 面向分度頭盤面觀察時(shí)加速度計(jì)各軸初始方向示意圖Fig.1 Schematic illustration of the initial directions of the accelerometer axes which are observed by facing the dividing head plate

1.2 模型方程

加速度計(jì)在地球重力場(chǎng)測(cè)試中的靜態(tài)數(shù)學(xué)模型方程如式 （1）所示。

其中，E為加速度計(jì)的輸出，單位為輸出單位;K1為標(biāo)度因數(shù)，單位為輸出單位 /g;K0為偏值，單位為 g;K2為二階非線性系數(shù)，單位為g/g2;K3為三階非線性系數(shù)，單位為g/g3;δo、δp分別為輸入軸繞輸出軸和擺軸相對(duì)于輸入軸的安裝誤差角，單位為rad;Kip為輸入軸和擺軸的交叉耦合系數(shù)，單位為g/g2;Kio為輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數(shù)，單位為g/g2;ai、ap和ao分別為輸入加速度沿輸入軸、擺軸和輸出軸的分量，單位為g。

對(duì)式 （1）中模型的各項(xiàng)系數(shù)值進(jìn)行測(cè)試時(shí)，常規(guī)方法是將加速度計(jì)安裝在分度頭 （或精密端齒盤）上，繞水平軸沿360°旋轉(zhuǎn)。這要求加速度計(jì)的量程不小于±1g。對(duì)于量程小于 ±1g的加速度計(jì)，只能根據(jù)量程大小，在0°位置 （0g）和180°（－0g）位置的附近角度內(nèi)來(lái)回轉(zhuǎn)動(dòng)，利用重力加速度的分量作為輸入加速度，來(lái)對(duì)加速度計(jì)的數(shù)學(xué)模型系數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。

由于加速度計(jì)在測(cè)試的過(guò)程中，不可避免地要受到地基振動(dòng)、環(huán)境噪聲、溫度漂移等因素的影響，為了盡可能準(zhǔn)確地測(cè)量模型系數(shù)，減小測(cè)量誤差，在加速度計(jì)量程范圍內(nèi)，對(duì)稱地選取12個(gè)位置點(diǎn)，根據(jù)該位置處重力加速度計(jì)的分量（輸入加速度值）和加速度計(jì)的輸出值，按照最小二乘法進(jìn)行擬合，計(jì)算出加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型的各項(xiàng)系數(shù)。用這種方法測(cè)量出的模型系數(shù)值與理論值之間的標(biāo)準(zhǔn)差最小，模型系數(shù)的實(shí)測(cè)值最接近理論值。

1.3 原理分析

首先，對(duì)不同位置時(shí)各軸上的加速度分量進(jìn)行分析。將重力加速度及其分量作為加速度計(jì)的輸入加速度，由圖1（a）易得出，擺態(tài)下，重力加速度g在加速度計(jì)各軸的分量與分度頭轉(zhuǎn)角θ（初始位置為0°）之間的關(guān)系為:

根據(jù)加速度計(jì)的量程，選取適當(dāng)?shù)姆侄阮^轉(zhuǎn)角θ，在12個(gè)位置進(jìn)行小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試，測(cè)出各個(gè)位置時(shí)加速度計(jì)的輸出Ei（i=1，2，…，n;n=12，分別對(duì)應(yīng)θ值由小到大的12個(gè)位置）。這時(shí)，加速度計(jì)的模型方程將取如式 （2）所示。

對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行變換并化簡(jiǎn)，得到

而加速度計(jì)輸出E的傅氏級(jí)數(shù)形式可寫為［5］

比較傅里葉系數(shù)可得:

于是可以解得加速度計(jì)的模型方程系數(shù)見式（6）。

則在分度頭轉(zhuǎn)角不同位置處的傅氏級(jí)數(shù)為

利用最小二乘法，在各個(gè)分度頭角度設(shè)定處，辨識(shí)模型輸出與測(cè)試輸出的偏差平方和為

對(duì)每個(gè)參數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)，并使它們等于零，則所得方程組的矩陣形式為

變換矩陣得到

根據(jù)加速度計(jì)在各位置的輸出電壓，利用該矩陣即可計(jì)算出傅氏展開的各個(gè)系數(shù)，進(jìn)而可以得到偏值K0，標(biāo)度因數(shù)K1，二階、三階非線性系數(shù)K2、K3，輸入軸安裝誤差角δo，輸入軸和擺軸的交叉耦合系數(shù)Kip。至于門狀態(tài)下輸入軸安裝誤差角δp和輸入軸相對(duì)于輸出軸的交叉耦合系數(shù)Kio，則需要在門狀態(tài)下的十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法中進(jìn)一步得到。

在門狀態(tài)，由圖1（b）很容易看出，值為1g的重力加速度在加速度計(jì)各軸的分量與分度頭轉(zhuǎn)角θ之間的關(guān)系為:

在門狀態(tài)下的小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試，可以求得擺態(tài)下所不能得到的輸入軸安裝誤差角δp和輸入軸與輸出軸的交叉耦合系數(shù)Kio。于是我們通過(guò)擺態(tài)和門態(tài)兩種方式的小角度十二點(diǎn)測(cè)試，可以得到加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型的全部待定系數(shù):偏值K0，標(biāo)度因數(shù)K1，二階、三階非線性系數(shù)K2、K3，輸入軸安裝誤差角 δo、δp， 輸入軸和擺軸、輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數(shù)Kip、Kio。

2 方法驗(yàn)證

2.1 仿真分析

為了驗(yàn)證小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法測(cè)量加速度計(jì)模型系數(shù)的準(zhǔn)確性，仿真計(jì)算加速度計(jì)在分度頭處于不同位置時(shí)的輸出信號(hào)，并人為加入一組隨機(jī)誤差作為噪聲，分別采用國(guó)軍標(biāo)十二點(diǎn)和小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法計(jì)算加速度計(jì)的模型方程，看兩種測(cè)試方法計(jì)算出的加速度計(jì)模型系數(shù)差別是否明顯。

以加速度計(jì)在擺態(tài)下為例，首先，假定加速度計(jì)模型系數(shù)的值:

根據(jù)式 （2）可以計(jì)算出加速度計(jì)在分度頭每個(gè)位置處的輸出信號(hào)的理論值。人為引入一組期望值為0、方差和標(biāo)準(zhǔn)差均為1并成正態(tài)分布的隨機(jī)信號(hào)Ri（i=1，2，…，12），考慮到實(shí)際噪聲的幅值，選取Ri（i=1，2，…，12）/107作為加速度計(jì)的噪聲［6］，那么加速度計(jì)的模型方程變?yōu)槭剑?3）。

其中:i=1，2，…，12。

根據(jù)加速度計(jì)的輸入加速度和輸出信號(hào)Ei，分別利用國(guó)軍標(biāo)十二點(diǎn)和小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法仿真計(jì)算加速度計(jì)的模型系數(shù)，不同步長(zhǎng)a情況下仿真結(jié)果如表1所示。

表1 不同步長(zhǎng)a值時(shí)加速度計(jì)仿真結(jié)果Tab.1 Simulation data of accelerometer with different values of a

從仿真結(jié)果可知，小角度十二點(diǎn)法跟國(guó)軍標(biāo)十二點(diǎn)法一樣，可以比較準(zhǔn)確地標(biāo)定加速度計(jì)的模型系數(shù)，其中偏值K0、標(biāo)度因數(shù)K1和輸入軸安裝誤差角δo（門態(tài)為δp）的值與國(guó)軍標(biāo)測(cè)出的系數(shù)值誤差均小于1.5‰;二階非線性系數(shù)K2在a≥4°時(shí)與國(guó)軍標(biāo)系數(shù)的誤差小于13%;三階非線性系數(shù)K3和交叉耦合系數(shù)Kip（門態(tài)為Kio）有一定誤差，這是由于加速度計(jì)在小角度時(shí)對(duì)高次項(xiàng)和交叉耦合項(xiàng)不如大角度敏感 （加速度計(jì)的交叉耦合項(xiàng)在45°時(shí)最敏感［7］）。

2.2 測(cè)試結(jié)果

運(yùn)用小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法測(cè)試某擺式加速度計(jì)，從轉(zhuǎn)臺(tái)的0°開始，步長(zhǎng)為a，先沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)12個(gè)角位置，再沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到這12個(gè)角位置，依次測(cè)量每個(gè)位置的加速度計(jì)輸出值?？紤]到小量程加速度計(jì)基本都工作在0°位置，為了盡可能準(zhǔn)確地反映加速度計(jì)的輸出情況，圍繞0°對(duì)稱地選取10個(gè)小角度位置點(diǎn)，再加上0°和180°，得到小角度十二點(diǎn)翻滾的12個(gè)位置:0°、0°+a、0°+2a、0°+3a、0°+4a、0°+5a、180°、360°－ 5a、360°－ 4a、360°－ 3a、360°－2a、360°－a（以a=2°為例，則這12個(gè)位置依次為 0°、2°、4°、6°、8°、10°、180°、350°、352°、354°、356°、358°）。

以加速度計(jì)在擺態(tài)下為例，分別選取不同的步長(zhǎng)a值，得到加速度計(jì)模型系數(shù)的測(cè)試結(jié)果如表2所示。

表2 不同步長(zhǎng)a值時(shí)加速度計(jì)標(biāo)定結(jié)果Tab.2 Test data of accelerometer with different values of a

測(cè)試結(jié)果與理論仿真結(jié)果一致，偏值K0、標(biāo)度因數(shù)K1和輸入軸安裝誤差角δo的值與國(guó)軍標(biāo)測(cè)出的系數(shù)值的誤差分別為 0.36‰、0.09‰和3.24‰。證明小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試方法能夠通過(guò)測(cè)試零位附近位置的加速度計(jì)輸出，來(lái)計(jì)算加速度計(jì)的模型系數(shù)。

根據(jù)不同步長(zhǎng)下12個(gè)位置的最大加速度值，可以確定不同量程加速度計(jì)應(yīng)該選取的步長(zhǎng)a值，如表3所示。

表3 不同量程加速度計(jì)對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)a值Tab.3 Values of a of accelerometers with different ranges

3 結(jié)論

針對(duì)由于某些特殊原因量程小于 ±1g范圍的加速度計(jì)，提出了小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試法，通過(guò)測(cè)試加速度計(jì)零位附近角度處的輸出來(lái)標(biāo)定加速度計(jì)的模型方程。首先分析了小角度翻滾測(cè)試的原理，然后給出了模型系數(shù)計(jì)算公式，利用該公式進(jìn)行了理論仿真研究，并按照此方法進(jìn)行了實(shí)際測(cè)試，得出了可靠的測(cè)試結(jié)果，確定了加速度計(jì)量程與步長(zhǎng)的關(guān)系，為小量程擺式加速度計(jì)的測(cè)試提出了一種可行的方法。

但是，對(duì)于小角度十二點(diǎn)翻滾測(cè)試過(guò)程中，轉(zhuǎn)臺(tái)的定位誤差相對(duì)較大的問(wèn)題，尚無(wú)可行的解決方法，有待進(jìn)一步的研究。

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