梁棟，宋吉祥，王晶雨

（1.河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401）

TMD抑制斜拉索振動的機理研究

梁棟1,2，宋吉祥1，王晶雨1

（1.河北工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300401；2.河北省土木工程技術(shù)研究中心，天津 300401）

針對一般拉索附加粘滯阻尼器的安裝位置不能太高、易發(fā)生與橋面耦合振動、減振效果與理論值相差較大等問題，推導(dǎo)了利用調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)抑制拉索振動的理論公式．運用復(fù)模態(tài)方法分析了斜拉索－調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（C-TMD）系統(tǒng)的振動特性，得到了TMD各參數(shù)對拉索阻尼的影響．針對具有工程背景的實際拉索，提出了抑制拉索不同階次振動時的TMD設(shè)計參數(shù)．

斜拉索；調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；模態(tài)阻尼比；復(fù)模態(tài)分析

拉索極易在風(fēng)、雨、車輛、支座激勵等外界因素作用下產(chǎn)生復(fù)雜的耦合振動，導(dǎo)致了許多橋梁的破壞．針對拉索振動問題，目前應(yīng)用廣泛的是在斜拉索靠近梁和塔處安裝粘滯阻尼器，但其有著安裝位置不能太高、阻尼器在減振過程中易發(fā)生與橋面耦合振動、減振效果與理論值相差較大、甚至失效．1988年，比利時Ben-Ahin橋，斜拉索發(fā)生最大幅值達(dá)1m的振動，同時橋面也發(fā)生了輕微振動，研究者認(rèn)為橋面的輕微振動加劇了拉索的振動[1]．1996年11月，荷蘭Erasmus橋發(fā)生了嚴(yán)重的拉索振動，橋面也發(fā)生了振幅為2.5 cm的振動[2]．1993年，F(xiàn)ujiwara等[3]在斜拉橋現(xiàn)場振動測試中發(fā)現(xiàn)一根拉索的二階振型與主梁扭轉(zhuǎn)振型發(fā)生明顯的耦合振動．日本的多多羅大橋在成橋試驗中，也觀察到索-橋耦合振動的現(xiàn)象[4]．國內(nèi)也有很多斜拉橋發(fā)生過拉索的大幅度振動．2012年8月10日，在臺風(fēng)?？挠绊懴?，中國的蘇通大橋及其斜拉索都發(fā)生了明顯的振動．

實際上，如前所述發(fā)生振動的斜拉索大都安裝了減振阻尼器，但在某些情況下拉索仍然發(fā)生了大幅振動．究其原因，索-橋耦合振動發(fā)生后，目前常用的安裝在主梁上的拉索附加阻尼器已不能有效抑制其振動[5]．

基于試驗結(jié)果表現(xiàn)出的有效性和TMD能安裝在沿索長的任何位置等優(yōu)點，TabatabaiH和MehrabiAB[6-7]建議利用TMD對拉索振動進(jìn)行抑制，羅帥等[8]建立了斜拉索－TMD減振的分析模型，在阻尼器安裝點距拉索錨固點長度與拉索長度之比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1的假設(shè)下，得到了一些結(jié)論．本文建立了斜拉索與TMD的理論分析模型，在任意安裝位置得到了TMD各參數(shù)對拉索阻尼的影響．最后針對具有工程背景的實際拉索，給出了抑制拉索不同振動模態(tài)時的TMD設(shè)計參數(shù)．

1 拉索-TMD系統(tǒng)的運動方程

本文建立了如圖1所示的斜拉索-TMD減振系統(tǒng)．假定在靜平衡狀態(tài)下的索力為T，拉索單位長度質(zhì)量為m，拉索傾角為，索的總長為l，阻尼器距離橋面錨固端的距離為l1．假設(shè)拉索兩錨固點連線方向和χ軸正向一致，拉索法線方向為y軸，以拉索兩錨固點分別相向建立了2個坐標(biāo)系統(tǒng)．拉索作為張緊弦，不考慮其垂度和抗彎剛度，將拉索法線方向的位移分量記為vk．

圖1所示系統(tǒng)的平衡方程為

式中：vk為拉索的法向位移（k=1,2）；F為TMD對拉索的作用力，即

式中：vd為TMD沿拉索法線方向相對χ軸的位移；K為TMD自身剛度；C為TMD自身阻尼系數(shù)．運動方程(1)的邊界條件為

圖1 阻尼器與TMD的組合系統(tǒng)Fig.1 Cable-TMD system

2 拉索-TMD系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析

每段拉索線性運動方程的自由振動位移表示為

3 拉索-TMD系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)近似求解

4 系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)分析

本文以系統(tǒng)模態(tài)阻尼為優(yōu)化目標(biāo)，分析TMD各參數(shù)對斜拉索減振效果的影響，表1列出了結(jié)合既有工程實例和相關(guān)參考文獻(xiàn)所確定的TMD設(shè)計參數(shù)范圍．在實際工程中，TMD質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量的比值可達(dá)到5%．但斜拉索是柔性構(gòu)件，不宜安裝質(zhì)量過大的TMD，否則會造成安裝困難或影響拉索的耐久性．因此確定的TMD質(zhì)量與拉索質(zhì)量比不大于0.5%．

4.1 TMD安裝位置對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)影響

根據(jù)方程(15)，圖2給出了在不同的拉索振動模態(tài)下，TMD安裝位置（l1/l）對系統(tǒng)模態(tài)阻尼比的影響．在分析過程中，TMD的設(shè)計參數(shù)如表1中的基本參數(shù)．

由圖2可以看出，針對拉索一階振動，TMD安裝位置為l/2時，其減振效果最好；拉索二階振動時，TMD安裝位置為l/4或3l/4時的減振效果最好．可以類推，針對拉索的各階振型，當(dāng)TMD安裝在該階振型最大幅值的位置時，可獲得最大的系統(tǒng)模態(tài)阻尼．

4.2 TMD剛度對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的影響

本文以拉索與TMD的頻率比來表征TMD的剛度．針對不同階次的振動，TMD安裝在相應(yīng)振型的最大幅值處，TMD的其它設(shè)計參數(shù)同表1中的基本參數(shù)．圖3是頻率比對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響曲線．

表1 TMD基本設(shè)計參數(shù)及相應(yīng)的取值范圍Tab.1 The parametersand their range of TMD

圖2 TMD安裝位置對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響Fig.2 Theeffect of TMD location on system m odal damping

由圖3可知，當(dāng)=1.0時，即系統(tǒng)自振頻率與TMD自振頻率相同時，系統(tǒng)模態(tài)阻尼達(dá)到最大值．當(dāng)以1.0為中心向兩側(cè)移動時，系統(tǒng)模態(tài)阻尼迅速減小．如[0.95,1.05]，系統(tǒng)模態(tài)阻尼與=1.0時相比降低到46.4%；當(dāng)[0.90,1.10]，系統(tǒng)模態(tài)阻尼與=1.0時相比，降低到16.5%．由此可知，頻率比對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響十分顯著．

4.3 TMD質(zhì)量對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)影響

圖4是TMD質(zhì)量與拉索質(zhì)量比值對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響曲線．針對不同階次的振動，TMD安裝在相應(yīng)振型的最大幅值處，TMD的其它設(shè)計參數(shù)同表1中的基本參數(shù)．

圖3 TMD剛度對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響Fig.3 Theeffectof TMD stiffnesson systemmodaldamping

圖4 TMD質(zhì)量與拉索質(zhì)量比值對系統(tǒng)模態(tài)阻尼的影響Fig.4 The effectofmass ratio on system modal damping

由圖4可以看出，隨著TMD與拉索的質(zhì)量比的增加，系統(tǒng)模態(tài)阻尼線性增加，系統(tǒng)模態(tài)阻尼增加的速率是質(zhì)量比的10倍．因此盡可能增加TMD的質(zhì)量可以有效提高減振效果．

4.4 TMD自身阻尼對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的影響

TMD阻尼器用于耗散傳遞到TMD上的拉索動能，選擇合理的TMD阻尼器參數(shù)對于斜拉索減振尤為重要．圖5給出了系統(tǒng)的模態(tài)阻尼與TMD自身阻尼之間的關(guān)系．由圖5可知，當(dāng)頻率比不等于1時，隨著TMD自身阻尼d的下降，系統(tǒng)模態(tài)阻尼也隨之下降．如果拉索減振目標(biāo)定為模態(tài)阻尼比0.007（見圖5b）），那么只要TMD自身阻尼d<0.05即可．

圖5 TMD阻尼對系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的影響Fig.5 Theeffectof TMD self-damping on system modaldamping

5 算例

為定量了解TMD對拉索的減振作用及其參數(shù)絕對數(shù)值的大小，下面以具有實際工程背景跨度為1 000m、650m、400m跨徑斜拉橋的主跨最長索為例，分別給出了抑制拉索不同振動模態(tài)所需TMD的設(shè)計參數(shù)，見表2．

在討論過程中，拉索各階振動模態(tài)的減振目標(biāo)是阻尼比達(dá)到0.007，或?qū)?shù)衰減率為0. 044；TMD安裝位置l1/l為相應(yīng)振型的最大幅值處1/2n，其中n為拉索振動模態(tài)數(shù)．將表2中的參數(shù)分別代入式(15)，即可得到TMD的相關(guān)設(shè)計參數(shù)，如表3所示．

表2 斜拉索及TMD的分析參數(shù)Tab.2 The parametersofactualcable and relative TMD

表3 抑制拉索振動的TMD優(yōu)化設(shè)計參數(shù)Tab.3 The optimal TMD parameters for cable vibrationm itigation

6 結(jié)論

由上述分析可知：與目前常用的粘滯阻尼器相比，利用TMD抑制拉索振動能夠克服安裝位置的局限性，大幅提高減振效果；同時由算例結(jié)果可知，利用TMD抑制拉索振動在工程實用方面具有可行性．但是由于TMD對拉索頻率的敏感性，使得單個TMD在抑制拉索振動時只能針對單階振動模態(tài)．因此以本文為研究基礎(chǔ)，開展利用多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MTMD）或變剛度TMD對拉索抑制開展研究是下一步研究工作的重點．

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[8]羅帥，劉紅軍，王剛，等．斜拉索-調(diào)諧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析[J]．哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2012，44（6）：58-61．

[責(zé)任編輯 楊屹]

Amechanism study of stay cablevibration controlw ith TMD

LIANG Dong1,2，SONG Jixiang1，WANG Jingyu1

(1.Schoolof CivilEngineering,HebeiUniversity of Technology,Tianjin 300401,China;2.CivilEngineering Technology Research Centerof HebeiProvince,Tianjin 300401,China)

The viciousdamper is commonly used forstay cable vibrationm itigation.Butsome problemssuch as location limitation,coupling vibrationw ith deck,lowerdampingeffectthan theoreticalvaluestillwaittobesolved.Havingbetter performance,TMD caused the researchers'w idespread concern.Complexmodalmethod isused to derive the formulaof cable-TMD system in the paper.The Vibration characteristicsof cable-TMD system and the effectof TMD parameteron cabledam ping areobtained.In view of theactualcable,thedesign parametersof TMD fordifferentcablesvibration orders are put forw ard.

stay cable;tunedmassdamper;themodal damping ratio;com plexmodalanalysis

U 443.38

A

1007-2373(2015)02-0099-05

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.02.020

2014-06-03

國家自然科學(xué)基金（50808063）

梁棟（1976-），男（漢族），副教授，博士，ldhebut@gmail.com．

數(shù)字出版日期：2015-04-16數(shù)字出版網(wǎng)址：http://www.cnki.net/kcms/detail/13.1208.T.20150416.0939.001.htm l