姜柏森，楊永勝，胡士強(qiáng)

（上海交通大學(xué)，上海 200240）

0 引言

變幾何桁架機(jī)器人是超冗余度機(jī)器人的一種，相比于同樣體積和重量的傳統(tǒng)機(jī)器人而言，變幾何桁架機(jī)器人的具有良好的優(yōu)點(diǎn)：靈活性、模塊化、剛度大和柔性。因?yàn)檫@些優(yōu)點(diǎn)，變幾何桁架機(jī)器人在宇宙空間，工業(yè)自動(dòng)化和開(kāi)發(fā)新的機(jī)器人機(jī)構(gòu)方面具有廣闊的應(yīng)用前景。

最近，有很多文章都對(duì)變幾何桁架機(jī)器人做出了深入的研究，例如有多篇文章介紹了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的八面體變幾何桁架機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究[1～3]。也有一些文章基于粒子群算法對(duì)八面體變幾何桁架機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行了研究[4]。但是這些方法都有一些共同的缺點(diǎn)，就是無(wú)法用代數(shù)方法對(duì)其精確的求解，這導(dǎo)致了這些方法會(huì)出現(xiàn)計(jì)算速度慢，計(jì)算得不到最優(yōu)解等特點(diǎn)。本文基于以上方法的缺點(diǎn)，結(jié)合變幾何桁架機(jī)器人自身的特點(diǎn)提出了一種變幾何桁架機(jī)器人結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)不僅能夠解決以上文章中出現(xiàn)的無(wú)法求得代數(shù)解的問(wèn)題，同時(shí)使機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的運(yùn)算具有很高的精度。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的描述

為了解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，首先，我們需要介紹一下單模塊變幾何桁架機(jī)器人的結(jié)構(gòu)。

正如圖1所示，一個(gè)單模塊變幾何桁架機(jī)器人是由兩個(gè)對(duì)稱的八面體桁架結(jié)構(gòu)組合而成，其中兩個(gè)八面體桁架有一個(gè)共同的平面M。這個(gè)聯(lián)接平面同樣被叫做執(zhí)行平面，因?yàn)閱文K變幾何桁架機(jī)器人的三個(gè)可改變長(zhǎng)度的控制器是這個(gè)平面的三條邊。兩個(gè)八面體桁架是關(guān)于鏈接平面M對(duì)稱的，而其中每個(gè)八面體中與平面M相對(duì)的平面我們分別定義為底面B與頂面P。為了方便下面的計(jì)算，我們用符號(hào)表達(dá)這三個(gè)控制器的長(zhǎng)度。在實(shí)際情況下，由于考慮到機(jī)械的實(shí)際操作上的困難，執(zhí)行器平面實(shí)際上是有一定厚度的，這個(gè)厚度我們用符號(hào)來(lái)表示。這樣，其執(zhí)行器平面就分為上中下三個(gè)平面，三個(gè)可改變長(zhǎng)度的控制器位于中間平面，其中我們用符號(hào)來(lái)表達(dá)低執(zhí)行器平面的三個(gè)節(jié)點(diǎn)。對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的其他桿，我們?cè)O(shè)計(jì)時(shí)均使其為固定長(zhǎng)度，對(duì)于桁架模型底面與頂面的桿，其長(zhǎng)度我們用表示，而其余側(cè)平面的桿的長(zhǎng)度，我們用來(lái)表示。

圖1 單模塊變幾何桁架機(jī)器人的物理結(jié)構(gòu)

同樣的為了更為清楚的說(shuō)明運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，我們需要引入其他的符號(hào)。如圖2所示，我們用和來(lái)表示底面中心點(diǎn)坐標(biāo)與頂面中心點(diǎn)坐標(biāo)。而與則被用來(lái)表示底面與頂面的法向量。用來(lái)表示從底面中心點(diǎn)到頂面中心點(diǎn)的單位向量，同時(shí)，考慮模型的對(duì)稱性，它也是執(zhí)行平面的法向量。最后我們用r來(lái)表示從沿著向量到達(dá)中心執(zhí)行平面的長(zhǎng)度。

圖2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型所需參數(shù)

圖3 中間參數(shù)

所以，通過(guò)上面所提到的符號(hào)和單模塊運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)器人模型的對(duì)稱性，我們將會(huì)在接下來(lái)介紹雙八面體變幾何桁架機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。

2 單模塊變幾何桁架機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

單模塊變幾何桁架機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題包括正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題和逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。下面我們將一一介紹。

2.1 單模塊變幾何桁架機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

對(duì)于單模塊變幾何桁架機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，我們需要通過(guò)三個(gè)控制器的長(zhǎng)度 來(lái)計(jì)算出末端平面中心點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)位置，所以正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的輸入變量即為而輸出變量即為首先，我們應(yīng)明確坐標(biāo)系的定義，其坐標(biāo)系定義如圖4所示。

圖4 機(jī)器人坐標(biāo)系示意圖

圖5 側(cè)平面三角形幾何關(guān)系圖

對(duì)于方程(4)來(lái)說(shuō)，實(shí)際上可以求得多組不同的解，但是在實(shí)際情況下，我們可以通過(guò)不同的環(huán)境與限制條件選擇一組合理的解作為最終的由于我們求得則由式(4)我們可以求得進(jìn)而我們可以求得如下：

則正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題即可通過(guò)方程式(1)～式(6)最終求得。

2.2 單模塊變幾何桁架機(jī)器人的逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)

對(duì)于單模塊變幾何桁架機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)，我們需要通過(guò)末端平面中心點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)位置來(lái)計(jì)算出三個(gè)可控制器長(zhǎng)度所以正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的輸入變量即為而輸出變量即為同樣，作為中間變量二面角是必不可少的?？紤]圖2所示的幾何關(guān)系，我們可以得到和r如下所示。

其中：

式(8)同樣存在多組解，同正向運(yùn)動(dòng)學(xué)一樣，在實(shí)際情況下，我們可以通過(guò)不同的環(huán)境與限制條件選擇一組合理的解作為最終的求得后，通過(guò)式(2)，我們便可以求得最終即可由式(3)求得，單模塊變幾何桁架機(jī)器人的逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)也隨之求解。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了進(jìn)行機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算，首先我們需要給定機(jī)器人固定參數(shù)，我們假則我們給定5組控制桿長(zhǎng)度可以得到目標(biāo)點(diǎn)位置如表1所示。

表1 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)示例

表2 逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)示例

由表1與表2可知，該方法精確的解決了八面體變幾何桁架機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，并且其正逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)能得到良好的匹配結(jié)果。

4 結(jié)論

本文在變幾何桁架概念的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種對(duì)稱雙八面體變幾何桁架機(jī)器人，并利用該機(jī)器人機(jī)構(gòu)解決了其他八面體變幾何桁架機(jī)器人無(wú)法使用代數(shù)運(yùn)算求解運(yùn)動(dòng)學(xué)精確解的問(wèn)題。并且，只要給出合理的初始參數(shù)，該方法基本可以消除正逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算所帶來(lái)的誤差，使得該方法具有很好的準(zhǔn)確性。

[1]羅佑新.八面體變幾何桁架機(jī)構(gòu)綜合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超混沌牛頓迭代法研究[J].機(jī)械設(shè)計(jì),2008,25(11).

[2]雷勇,徐禮鉅,吳江.基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的冗余度變幾何桁架機(jī)器人位置控制[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2002,17(4):40-44.

[3]吳江,徐禮鉅,雷勇.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的冗余度二重八面體變幾何桁架機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)求解[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)（工程科學(xué)版）,2000,32(2):90-94.

[4]易建,車林仙,陳長(zhǎng)憶.基于粒子群算法的八面體變幾何桁架機(jī)器人位置正解[J].機(jī)械工程師,2006,(7):34-36.