□ 李 昕

第十屆亞太天文奧林匹克競賽理論試題詳解

□ 李 昕

國際天文奧林匹克競賽一向非常重視對學生天文基礎知識和邏輯思維能力的考察。在去年的第十屆亞太天文奧林匹克競賽的理論環(huán)節(jié)中，不乏一些傳統(tǒng)而又富有新意的好題。在這里，筆者與大家分享這些題目的重要解題思路，希望能對關注和即將參加天文奧賽的同學們有所幫助。

1.Babr的足跡

解析：理論環(huán)節(jié)的前4題，都與比賽地西伯利亞的一種大型貓科動物Babr有關。其實這種動物在100多年前就已經滅絕了，但直到今日，它依然是伊爾庫茨克地區(qū)的標志。

第1題無論是高年組還是低年組的問題，其核心都是要考查學生對天文基本情景的理解。題目中要比較太陽黑子“Babr的足跡”和地球表面積的大小。我們都知道在太陽系中金星和地球大小非常接近，題中又給出了金星凌日的圖，且與太陽黑子照片是等比例的，讓我們想到可以直接比較這兩者的大小。如果你的思路是這樣，那就掉進陷阱了。從等比例的照片上看，凌日的金星和太陽黑子的大小相差無幾，但兩者到我們觀測者的距離差距很大。我們要做的是通過金星照片計算太陽黑子的面積。

先用尺子測量照片中黑子的直徑和金星的直徑，黑子大約是金星的1.5倍，注意黑子的半影也要計算在內。黑子距離我們1au，金星距離我們0.28au，金星直徑12100km，這些數(shù)據(jù)都可以從常數(shù)表上查到。計算得黑子直徑LB=1.5×12100km×1au/0.28au≈65000km，則黑子面積SB=π/4×L≈3300000000km2。再計算地球的表面積SE=π×D≈π×（12800km）2≈510000000km2。SB/SE=6.5，因此太陽黑子面積是地球面積的6.5倍。

計算留下這樣大小腳印的貓科動物質量時，大家可以憑自己的感覺做一些假設，并通過正確計算就能拿到滿分。例如假設現(xiàn)實中的貓科動物足跡LC為4cm，質量mC大約是4kg，用這個數(shù)據(jù)和空間貓科動物的進行比較，但要注意，足跡的3次方與質量成正比。也就是(LB/LC)3=mB/mC，代入可算得mB≈1.7×1028kg，比木星1.9×1027kg的質量還大。

在解答本題時還要做一個假設，就是太陽黑子是在日面中心附近的位置，如果在日面邊緣，那它的實際大小就沒那么容易計算了。

高年組第2問是要計算黑子的視星等。我們已知太陽的視星等為-26.8m，表面溫度TS為5800K。太陽黑子的溫度TB大約為4500K，這個數(shù)值要盡量記住。視星等除了與溫度有關還和表面積有關，黑子的面積在上一問中已經算得，在計算太陽的面積時要注意算的是一個圓面而不是半個球面。

2.LSVT和Babr

解析：本題的主體還是太陽黑子和Babr，但考查的知識點是望遠鏡的底片比例尺。第1問很簡單，先計算太陽黑子的角直徑：65000km/150000000km≈4.3×10-4rad（或1.5角分）。望遠鏡的焦距是4000cm，所以屏幕上的黑子大小為4000cm×4.3×10-4rad≈1.7cm。需要在答題本上畫一個直徑為1.7cm的太陽黑子Babr的足跡。

第2問是要計算從看清太陽黑子到看清距離5km的一只貓科動物，成像屏幕要移動多少距離。根據(jù)成像公式1/ L+1/x=1/F。對于黑子來說，物距L為無窮遠，像距x=F，對于動物來說，物距La=5000m，像距xa=F?La/(La-F)。算得xax≈32cm，也就是說屏幕要向后移動32cm，請注意這個方向。

第3問是計算貓科動物在屏幕上像的大小，需要假設它的長度和高度，計算方法類似第1問。

第4問只要求高年組完成，其實也非常簡單，就是計算LSVT的分辨本領。對于可見光波段來說，分辨率有近似公式δ=140/D（″），代入得到分辨率大約為0.2″。在5km遠的地方大約對應5mm，因此分辨出一只長1m多的大型貓科動物沒有問題。答案是“Yes”。

3.獵戶的腰帶

解析：本題看似非常簡單，但對學生解題的規(guī)范和邏輯思維能力提出了很高的要求，因此滿分的學生很少。

題目中問的是在比賽當天拍攝地平線附近的獵戶座腰帶什么時段最合適，是在升起、落下還是上中天時段。常數(shù)表中給出了獵戶座天區(qū)的赤經和赤緯，獵戶座腰帶赤緯大約為0°，赤經大約為5h36m。利斯特沃揚卡的地理緯度也可查得。

題目中給了三個選擇，同學們做題時就要逐個排除。首先看上中天時段。由于赤緯為0°，上中天的地平高度h=90°-φ=38°，明顯已經距離地平線很遠了，因此不合適。這一步分值為1分。

接下來計算腰帶升起和下落的時間。天赤道上的天體升起時間為上中天時間前6小時，下落時間為上中天后6小時。腰帶上中天的時刻為地方恒星時（S）5h36m，比賽當天（11月26日）與秋分相差65天。秋分日的地方平時與地方恒星時相等，因此11月26日地方恒星時與地方平時相差24h×65/365.2422=4h16m?？傻醚鼛现刑斓臅r刻為地方平時5h36m-4h16m=1h20m。獵戶腰帶升起時間為地方平時19h20m，落下時間為7h20m。相比之下，19h20m距離日落更久，而7h20m距離日出較近，因此腰帶升起時拍照最合適。

最后我們再把時間換算成伊爾庫茨克區(qū)時。已知利斯特沃揚卡所在時區(qū)為東八區(qū)，也就是東經120°標準時，而地理經度接近105°，區(qū)時和地方平時差1小時，因此獵戶腰帶升起時間為20h20m，在此之后的10分鐘至半小時為拍攝它的最佳時段。別忘了在答案中寫上證明可以拍攝的“Yes”，這也有1分的分值。

4.獵戶腰帶上的第四顆星

解析：企鵝觀測者在Babr的相機前閃光，就好像在獵戶腰帶上增加了一顆星。獵戶腰帶3顆星的星等大約是1.8m左右。閃光的具體時長其實不重要，重點是它的亮度相當于相機曝光10s累積的亮度。題目中給出的已知條件是如果曝光距離是1m，相當于白天其他參數(shù)相同時曝光1/1000s的亮度。白天實際上就是視星等為-26.8m太陽的亮度。曝光時間1/1000s和10s相差10000倍，因此閃光亮度比太陽暗10000倍，1米的距離處視星等大約為-16.8m。

由于亮度和距離的平方成反比L∝1/r2，距離遠10倍，亮度就暗100倍，也就是暗5個星等?？捎嬎愕萌粝胍曅堑仍?.8m左右，閃光距離大約是5km。

5.日食

解析：月球不斷在遠離地球，題中給出了平均速度為每年3.8cm。那么早晚有一天我們將無法欣賞到日全食這個壯觀的天象。要想看到日全食，月球的視直徑要大于等于太陽的視直徑。因此最后一次日全食情況是月球位于近地點，地球位于遠日點，也就是地月距離最近，而日地距離最遠。我們根據(jù)日食的原理來畫一張示意圖作為解題的輔助，當然圖中日、地、月的大小和距離都和實際比例相差甚遠。我們用RM表示月球半徑，用RS來表示太陽半徑，LOM和LOS分別為觀測者到月心和日心的距離。日全食的條件為：sin（RM/LOM）≥sin（RS/LOS）。由于角度很小，該式可化簡為：RM/LOM≥RS/LOS。

其中RM和RS可以從常數(shù)表中直接查得，月球和地球公轉軌道的偏心率也可以查到，分別為0.055和0.017，本題的關鍵是確定LOM和LOS。這時細心的同學可能會發(fā)現(xiàn)，最后一次觀測日全食一定是在地球最靠近月球的地方，所以在計算這兩個距離時，要減去一個地球的半徑RE。

設地月平均距離為X，那么LOM=X（1-0.055）-RE，LOS=149600000×（1+0.017）-RE。RE可查表得到。于是我們可以求出唯一的未知量X為408600km。

設距離最后一次日全食的時間為T，就有X-384400km=3.8cm/year×T。

最終求得是6.36億年之后我們就看不到日全食了，還好是很久以后。其實常數(shù)表中給出的日地距離是十萬千米的量級，因此我們在計算LOS時其實不用考慮RE的影響，但計算LOM時肯定需要減去RE。

6.ISS在天頂

解析：本題高、低年組的問題難度還是有很大區(qū)別的。低年組比較容易。題目中給出了很多對解題沒有用的信息，大家要學會篩選，把握關鍵條件。

查表可得利斯特沃揚卡的地理緯度φ=51°51′，且此地的地球半徑RL=6365.4km，國際空間站的軌道傾角i=51.648°。這些是對低年組解題來說有用的條件。由于地理緯度高于ISS的軌道傾角，在利斯特沃揚卡是看不到ISS過天頂?shù)模枰蚰弦苿应?i=12′7″。換算到地球表面上，至少要移動的距離就是L=12′7″×π/180°×RL=22.4km。

高年組的解題過程略復雜。首先要通過給出的ISS公轉周期計算其軌道高度，通過下面兩個公式：

可得R=6791.4km（其中T可以由題目中給出的每日公轉周數(shù)求得），ISS軌道高度為H=R-RL=426km。

接下來就是已知兩條邊和一個角，求另一個角，用余弦定理解圖中三角形的問題了。過程我們不再冗述，結果z大約是3°13′。通過這道題的計算我們會發(fā)現(xiàn)，即使地理緯度和ISS軌道傾角相差很小，觀測到的天頂距依然很大，觀測人造天體和觀測恒星是不一樣的。

（責任編輯 馮）