李儒頌,劉敬楷,王甫涵,孫繼遠,葉文江

(河北工業(yè)大學(xué),天津 300401)

金屬絲楊氏模量的RLC串聯(lián)交流諧振測法研究

李儒頌,劉敬楷,王甫涵,孫繼遠,葉文江

(河北工業(yè)大學(xué),天津 300401)

利用RLC串聯(lián)諧振電路可以高精度測量電感的原理,將其用于測量金屬絲的楊氏模量。將磁棒固定在待測金屬絲上,其一部分放在螺線管內(nèi)部,并用自制的密繞長螺線管代替RLC串聯(lián)諧振電路中的電感。外力作用下金屬絲的伸長會引起螺線管內(nèi)磁棒的長度的變化,從而引起螺線管電感的改變。因此可以通過測量螺線管的電感的變化實現(xiàn)金屬絲細(xì)小伸長量的測量。該方法簡單易行,測量精確度高,具有一定的實用價值和良好的應(yīng)用前景。

RLC串聯(lián)交流諧振電路;電感;楊氏模量;螺線管

楊氏模量是描述金屬材料抵抗外力時產(chǎn)生拉伸(或壓縮)形變能力的物理量,是工程技術(shù)中的常用參數(shù),也是選定機械構(gòu)件材料的重要依據(jù)。而且,大學(xué)物理實驗課程中將此測量作為重要實驗內(nèi)容,楊氏模量的測定對研究金屬、半導(dǎo)體、納米、聚合物等材料的力學(xué)性質(zhì)有著重要意義,還可應(yīng)用于生物力學(xué)等領(lǐng)域。因此,隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,對材料的楊氏模量準(zhǔn)確方便地測量具有重要的研究意義和工程應(yīng)用價值。在傳統(tǒng)測量中主要是利用光杠桿[1]的放大原理,但這種方法存在實驗條件難以保證、儀器難以調(diào)節(jié)、實驗精度較低等缺點。目前,測量楊氏模量的方法很多,有邁克爾遜干涉法[2],光的衍射法[3-5],振動法[6-7],超聲波法[8]等方法。其中,共振法比較成熟,而且應(yīng)用非常廣泛,被公認(rèn)為國家測量標(biāo)準(zhǔn),其缺點是難以找到其共振頻率[9];而超聲波法因其具有無損、應(yīng)用范圍廣和實驗操作簡單等優(yōu)勢,而逐漸被公認(rèn)為主流的測量方法。為了拓寬現(xiàn)行大學(xué)物理實驗中對楊氏模量的測量方法,本文根據(jù)RLC串聯(lián)交流諧振可測量微小電感的原理,將RLC串聯(lián)交流諧振的高靈敏度特性與長度的微小變化量Δl相聯(lián)系,利用RLC串聯(lián)交流諧振的方法精確地測量出金屬絲的楊氏模量。

該測量方法具體是將RLC串聯(lián)交流諧振電路的電感替換成自制的密繞長螺線管,將待測金屬絲穿過磁棒,并用夾子將磁棒固定在金屬絲適當(dāng)位置,并保持磁棒在螺線管中下部位置,且將螺線管豎直放置。當(dāng)金屬受外力時,金屬絲會產(chǎn)生細(xì)微伸長,進而帶動磁棒在長螺線管內(nèi)伸長,于是把金屬絲長度的變化通過電感的變化表示出來。該種測量方法綜合了力學(xué)和電學(xué)相關(guān)知識,使實驗更具有探究意義。

1 實驗測量原理

1.1 RLC串聯(lián)交流諧振測電感的原理

下圖是RLC串聯(lián)交流諧振的原理圖:

圖1 RLC串聯(lián)交流電路

若交流信號源是輸出電壓幅值一定、頻率連續(xù)可調(diào)的正弦交流信號,則電路中的電流將會隨著頻率變化而變化。當(dāng)電流達到最大時,電路將發(fā)生諧振,此時的頻率稱為諧振頻率。

電路的總阻抗是

其中:ZL是電感的阻抗,ZC是電容的阻抗,ω是交流電壓的角頻率。回路中的電流是

信號源與電流之間的相位差是

由(2)式可知,當(dāng)感抗與容抗相等時,電路的總阻抗為最小值R,此時回路中的電流最大,而相位差將為0,電路呈電阻性,即此時電路發(fā)生諧振。以表示電路發(fā)生諧振時的角頻率,故有如下關(guān)系

由此可見,若已知RLC串聯(lián)交流諧振中的電容值,只要通過實驗測得諧振頻率f0,就可以得出方程(4)中的電感值。

1.2 金屬絲楊氏模量公式推導(dǎo)

物體受力后發(fā)生形變,在彈性限度內(nèi),條形物體(如金屬絲)沿縱向的彈性模量稱為楊氏模量。一條長度為l、截面積為S0的金屬絲在外加拉力F作用下伸長Δl。F/S0叫應(yīng)力,其物理意義是金屬絲單位截面積所受到的力;Δl/l叫應(yīng)變,其物理意義是金屬絲單位長度所對應(yīng)的伸長量。在彈性范圍內(nèi),由胡克定律可知,物體的應(yīng)力與應(yīng)變成正比,應(yīng)力與應(yīng)變的比叫彈性模量,即

其中比例系數(shù)Y稱為楊氏模量,由(5)式可推出Y的表達式為

它是與物體的形狀,外力等無關(guān)的材料參數(shù),只表征材料本身的性質(zhì)。

(7)式為測量楊氏模量的原理公式。

本實驗測量楊氏模量的主要問題是怎樣測準(zhǔn)長度的微小變化量Δl。

如圖2所示,在自制長螺線管中間插有一根磁棒,當(dāng)磁棒在螺線管內(nèi)長度發(fā)生改變時,會引起螺線管本身電感量的變化。電感的變化量與長度的變化量有如下關(guān)系[10]:

圖2 磁棒和長螺線管示意圖

(8)式中:μ0為真空中的磁導(dǎo)率,n0為螺線管線圈匝數(shù),μr為相對磁導(dǎo)率,S為磁棒的截面積,Δl為金屬絲長度的微小變化量,為電感的變化量。在上式中我們可以用RLC串聯(lián)交流諧振法測出ΔL,由于真空中的磁導(dǎo)率、螺線管匝數(shù)、相對磁導(dǎo)率、磁棒截面積這四個物理量均為常數(shù),故電感的變化量與長度的變化量呈線性關(guān)系。

接下來,推導(dǎo)測量楊氏模量的公式。

首先由(8)式可得

將(9)式代入(7)式可得

由方程(4)可以得到如下關(guān)系

因此可得

將(12)式代入(10)式可得

(13)式即為金屬絲的楊氏模量的表達式。

2 實驗裝置設(shè)計

金屬絲楊氏模量的測量裝置示意圖如圖3所示。首先,用長螺線管代替RLC串聯(lián)交流諧振電路中的電感。將被測量金屬絲的一端于水平導(dǎo)軌的一端固定,另一端跨過定滑輪后穿過直徑相對較大的磁棒,磁棒固定在金屬絲適當(dāng)位置,然后將磁棒的一部分插至到自制的密繞長螺線管中心處,然后和拉力傳感器的一端連接,為了避免在對金屬絲施加外加拉力時造成磁棒在螺旋管內(nèi)的晃動而增加測量電感的難度,因此設(shè)計了一個可以緩慢而穩(wěn)定變化加力的裝置,該裝置是用醫(yī)用輸液器向接水杯中穩(wěn)定添加水來逐漸增加對金屬絲的拉力。

圖3 金屬絲楊氏模量測量裝置示意圖

拉力傳感器的一端垂掛于待測金屬絲的另一端,拉力傳感器的另一端垂掛一容器。同時,為方便精確測量外加拉力的大小,用拉力傳感器對外加拉力進行直接測量。當(dāng)金屬絲受外力而伸長時,由于是用夾子將磁棒和金屬絲固定的,所以磁棒會在螺線管內(nèi)有微小的伸長,從而會使密繞螺線管的電感量發(fā)生變化,為測量出電感量的變化值,可以按照實驗原理圖接好線路并架設(shè)實驗裝置,校準(zhǔn)示波器并將其它儀器調(diào)節(jié)至選定的參數(shù)值,并設(shè)定適當(dāng)大小的電阻R和電容C的值,電感用密繞長螺線管代替。將低頻信號作為RLC串聯(lián)交流諧振電路的信號源,注意要保持信號源峰值不變。將和接入示波器的兩個軸輸入端。然后,調(diào)節(jié)電路的頻率從0~60.0 KHz,并在調(diào)節(jié)過程中記錄電阻兩端的電壓(大約測量30個點左右即可,在諧振點附近要多測幾次,使測量點更密集)。當(dāng)頻率調(diào)整到諧振點附近時,除了要記錄電阻兩端的電壓,還需要分別記錄電感與電容兩端的電壓,使二者相等,以達到真正的諧振點。最后,在處理數(shù)據(jù)時,還可以利用Origin軟件[11]繪制曲線。由電磁學(xué)實驗得知[12-13],當(dāng)長螺線管的半徑R遠小于螺線管長度l(R<

3 結(jié) 論

本實驗基于RLC串聯(lián)交流諧振能測量較高精度的電感這一特性,自行設(shè)計制作部分實驗裝置,將RLC諧振電路待測電感做成一個長螺線管,當(dāng)一個磁性棒在長螺線管內(nèi)移動時,會引起螺線管本身電感量的變化。此時金屬絲長度的受外加拉力變化就轉(zhuǎn)換成RLC諧振電路電感的變化,由此提出了一種新的測量楊氏彈性模量的實驗方法。該測量方法具有原理簡單,精度高的特點。本文中對于電感的測量,也可以用交流電橋來實現(xiàn)精確測量。由于該測量方法實現(xiàn)了非電量的電測量,在一定的條件下可以結(jié)合傳感器技術(shù),實現(xiàn)智能化測量,而且用此方法也可以采用變面積式來測量角位移,還可以將其推廣用來測量壓力、應(yīng)變、比重等參數(shù)。還具有輸出功率大,輸出阻抗小、有較強的抗干擾能力、有較高分辨率(其測量精度可達)、不需要太高工作環(huán)境要求、穩(wěn)定性非常好等優(yōu)點。其缺點是頻率響應(yīng)低,不宜用于快速動態(tài)測量。而且由于示值誤差一般為示值范圍的0.1%~0.5%,因此不宜讓示值范圍太大,否則測量精度和示值精度將會相應(yīng)降低。

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M easurements of Young′s M odulus w ith RLC Series Resonance Circuit

LIRu-song?,LIU Jing-kai,WANG Fu-han,SUN Ji-yuan,YIEWen-jiang
(Hebei University of Technology,Hebei Tianjin 300401)

We measure Yang′s modulus of metallic wire by RLC series resonance circuit for its higher precision inmeasurement of inductance.We replace inductancewith a solenoid,in which center there is amagnetic rod fixed on metallic wire being tested.In a continuous and uniform increasing force,the inductance of solenoid varied with the length change of themagnetic rod in solenoid.Bymeasuring the inductance of RLC series resonance circuit,we can preciselymeasure themini-elongation ofmetallic wire.Theoretical analysis shows that thismethod not only possesses the advantages of simple and high precision but also realizes the electric measurement of non-electricity.It is practical and has good application prospect.

RLC series resonance circuit;Young′smodulus;solenoid;inductance

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.005.016

1007-2934(2015)05-0053-04

2015-06-01

河北省高校重點學(xué)科項目和大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201413584001);河北工業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究項目(201303002)