杜春光

（清華大學(xué)物理系，北京 100084）

波是物理學(xué)中的一個(gè)極其重要的基本概念，在經(jīng)典物理中，波可以簡(jiǎn)單描述成某種振動(dòng)在空間中的傳遞.例如，機(jī)械波可以看作是機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳遞，電磁波可以看作是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳遞.在量子力學(xué)中，波是一個(gè)基本概念，它與粒子概念相伴，形成互補(bǔ)，有著極其深刻的物理內(nèi)涵.隨著科學(xué)和技術(shù)的不斷發(fā)展，人們對(duì)波動(dòng)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)也在不斷深化.從當(dāng)今物理學(xué)的發(fā)展看，大量新奇物理現(xiàn)象都源于量子力學(xué)中的波動(dòng)性概念.但是，我們不禁會(huì)反思：在經(jīng)典物理理論的框架內(nèi)，是否也有一些需要重新理解的問(wèn)題？就波動(dòng)概念而言，無(wú)論是經(jīng)典意義上還是量子意義上，都存在一個(gè)共同的需要深度思考的問(wèn)題，即，如何理解波的傳播速度.這一問(wèn)題給人們帶來(lái)了許多困惑，同時(shí)推動(dòng)人們開展了一系列新的研究，包括介質(zhì)中的反常相速度和群速度.例如，關(guān)于相速度，有負(fù)折射現(xiàn)象[1]；關(guān)于群速度，有超慢傳輸現(xiàn)象[2]，還可能在增益的介質(zhì)中獲得超過(guò)真空光速的群速度[3].這些現(xiàn)象都已經(jīng)在特殊的介質(zhì)中實(shí)現(xiàn)，近年來(lái)已被大量研究.就負(fù)折射率材料而言，目前的實(shí)現(xiàn)手段主要是通過(guò)人工微結(jié)構(gòu)方法，微結(jié)構(gòu)的單元類似原子或分子，它們比波長(zhǎng)小，但仍然是宏觀尺度的，實(shí)現(xiàn)這種功能的材料稱作特異材料或超材料（metamaterial）[4]，其物理機(jī)制通常是經(jīng)典的（理論模型中電磁場(chǎng)和介質(zhì)中的電子都視為經(jīng)典的）.

負(fù)折射現(xiàn)象近年來(lái)被大量研究，但對(duì)這一新問(wèn)題，以往的分析都比較復(fù)雜，涉及的知識(shí)面較廣，將相關(guān)概念和方法引入到大學(xué)物理教學(xué)中仍然存在一定的困難.例如，關(guān)于折射率什么情況下取負(fù)值的問(wèn)題，以往的分析雖然也是從因果律出發(fā)，但論證較為復(fù)雜，涉及的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)多，對(duì)初學(xué)者而言，不易把握其物理實(shí)質(zhì).在物理教學(xué)中，如何用簡(jiǎn)單直觀的方式解釋負(fù)折射現(xiàn)象仍然有待于研究.另一方面，負(fù)折射現(xiàn)象給人們帶來(lái)的啟示是多方面的，例如：（1）能夠激發(fā)人們更深入思考電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程的物理含義；（2）更深入研究介電常數(shù)、磁導(dǎo)率、折射率等重要物理量的微觀起源；（3）推動(dòng)人們開展相關(guān)新現(xiàn)象和新應(yīng)用的研究；（4）由于波動(dòng)現(xiàn)象存在共性，負(fù)折射現(xiàn)象有可能獲得廣泛推廣.基于以上幾點(diǎn)，將負(fù)折射現(xiàn)象引入到物理教學(xué)中是十分有益的.本文考慮到大學(xué)物理的知識(shí)體系，給出了簡(jiǎn)單的理論推演，重新分析了麥克斯韋方程及其求解過(guò)程，自然給出了“負(fù)折射”解，并結(jié)合常規(guī)邊界條件，分析了負(fù)折射材料非凡的物理特性.本文還進(jìn)一步分析了負(fù)折射現(xiàn)象的微觀起源，并討論了其可能的推廣及給人們帶來(lái)的啟示.

1 根據(jù)因果律確定相速度的方向

為簡(jiǎn)單起見，先考慮一個(gè)沿著z方向傳播的單色平面電磁波，假設(shè)是線偏振的，電場(chǎng)方向沿x方向，則電場(chǎng)函數(shù)可寫成

觀察這一波函數(shù)，很容易知道相位傳遞的速度為

對(duì)實(shí)際介質(zhì)，由于電磁波與其內(nèi)部電子在相互作用時(shí)難免會(huì)存在能量損耗，因此，嚴(yán)格講k應(yīng)該是一個(gè)復(fù)數(shù)，k的虛部代表吸收，從方程（1）可以看出，如果k的虛部大于零，則電場(chǎng)E隨z而減小.本文只考慮吸收很小的情況，這時(shí)k的虛部可當(dāng)作正無(wú)窮小量，方程（2）仍然可以用來(lái)計(jì)算相速度的絕對(duì)值，但相速度的方向需要根據(jù)因果律來(lái)判斷.我們可以根據(jù)k的虛部為正這一事實(shí)，判斷出相位速度的方向.其證明如下：

根據(jù)因果律，如果波源放在一個(gè)均勻的無(wú)邊界的被動(dòng)（無(wú)增益）介質(zhì)中，則波總是由波源向外輻射.于是，考慮到介質(zhì)的損耗，方程的解中的電場(chǎng)E隨傳播距離應(yīng)該是逐漸減小的，而不能是指數(shù)增長(zhǎng)的（指數(shù)增長(zhǎng)的解在無(wú)窮遠(yuǎn)處發(fā)散，為非物理解，必須舍棄）.考慮沿z正方向的傳播（即假設(shè)波源在左，觀測(cè)者在右），這時(shí)只能取k的虛部為正的解（它代表電磁波隨z衰減，是合理的解），而不能取k的虛部為負(fù)的解（它代表E隨z增長(zhǎng)，將導(dǎo)致能量放大，并在無(wú)窮遠(yuǎn)處發(fā)散，這是不合理的解，必須舍去）.但是，一個(gè)容易引起困惑的問(wèn)題出現(xiàn)了：k的虛部為正時(shí)實(shí)部一定為正嗎？這對(duì)普通正折射率介質(zhì)的確都是成立的，但理由常常被誤解為相位傳遞的方向必須由波源指向觀測(cè)者，負(fù)折射的研究已證明這是個(gè)誤區(qū).以下分析將發(fā)現(xiàn)，對(duì)負(fù)折射率介質(zhì)，k的實(shí)部和虛部是異號(hào)的.由于因果律要求k的虛部為正，所以此時(shí)k的實(shí)部和相速度必然為負(fù)值.下面從電磁運(yùn)動(dòng)的基本方程出發(fā)證明這一點(diǎn).

2 從基本方程導(dǎo)出“負(fù)折射解”

考慮電磁波在常規(guī)介質(zhì)中的傳播（不考慮增益介質(zhì)情況），假設(shè)沒(méi)有自由電荷與傳導(dǎo)電流，電磁場(chǎng)滿足麥克斯韋方程組

對(duì)相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率分別為ε、μ的材料，其本構(gòu)關(guān)系為

對(duì)實(shí)際的介質(zhì)，都存在吸收和色散，為方便起見，方程（2）中各個(gè)物理量都采用復(fù)數(shù)形式（電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B的實(shí)際值取以上方程解的實(shí)部）.由于介質(zhì)的響應(yīng)存在滯后，ε和μ均為復(fù)數(shù)，其虛部不為零，這源于介質(zhì)對(duì)電磁波的吸收，這一點(diǎn)后面從微觀機(jī)制角度分析.

從式（3）～（8）出發(fā)我們可以得到電場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程

把平面單色波電場(chǎng)表達(dá)式E（z）＝E0eikz-iωt代入波動(dòng)方程，可以得到色散關(guān)系

其中c為真空中的光速，為真空中波矢的模.相對(duì)折射率n按照下式定義

于是，由式（10）和（11），n可以寫成

為保證n的虛部為正（否則違反因果律），式（13）正負(fù)號(hào)的選取是唯一的，于是Re（n）的正負(fù)號(hào)是確定的，即，

（1）當(dāng)ε′＞0，μ′＞0時(shí)，上式應(yīng)該取“＋”號(hào)，Re（n）＞0，對(duì)應(yīng)正折射率材料情況；

（2）當(dāng)ε′＜0，μ′＜0時(shí)，上式應(yīng)該取“-”號(hào)，Re（n）＜0，對(duì)應(yīng)負(fù)折射率材料情況.

于是，由式（11），折射率的正負(fù)決定k的正負(fù).即，對(duì)負(fù)折射介質(zhì)，Re（k）＜0.如果將介質(zhì)損耗當(dāng)作無(wú)窮小，則可以簡(jiǎn)單表述成：由于n＜0，所以k＜0，vph＝（ω／k）＜0，即相速度為負(fù)（注意默認(rèn)了從波源指向觀測(cè)者的方向?yàn)檎较颍?

3 群速度

方程（1）雖然是滿足麥克斯韋方程的特解，但實(shí)際電磁波不可能是絕對(duì)單頻的，總是存在頻率展寬，即實(shí)際上是由方程（1）那樣的無(wú)窮多頻率連續(xù)分布的特解的線性疊加.為簡(jiǎn)單起見，我們先考慮兩個(gè)頻率非常接近的單色平面波的疊加.假設(shè)第一個(gè)波的角頻率和波矢分別為ω和k，第二個(gè)波為ω＋Δω和k＋Δk，假設(shè)兩個(gè)場(chǎng)的振幅都是實(shí)數(shù)A，則疊加后總的電場(chǎng)為

真實(shí)場(chǎng)應(yīng)該對(duì)上式取實(shí)部，定義ER（z，t）＝ReE（z，t），有

假設(shè)Δω?ω和Δk?k，則

根據(jù)式（16），可知電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)快變的振蕩“cos（kz-ωt）”被一個(gè)慢變包絡(luò)所調(diào)制.包絡(luò)運(yùn)動(dòng)速度（即群速度）為Δω→0時(shí)，

我們也可以換個(gè)角度理解式（17）.考慮到光周期平均能量密度正比于｜E｜2，由式（14）可得

式（17）的推導(dǎo)只考慮了兩個(gè)頻率成分的疊加，實(shí)際中電磁波由無(wú)窮多連續(xù)分布的頻率成分構(gòu)成.根據(jù)傅里葉變換原理，可以證明：當(dāng)頻率展寬很窄時(shí)，慢變振幅中的“cos”函數(shù)將替換成一個(gè)非周期函數(shù)（代表電磁脈沖的包絡(luò)），此時(shí)式（17）仍然成立[5].

由方程（17）的推導(dǎo)過(guò)程可知，它對(duì)波矢k為正和負(fù)值的情況均成立.對(duì)有色散的介質(zhì)，群速度和相速度一般不等.由于波包的運(yùn)動(dòng)才代表真實(shí)的傳播，所以式（17）給出的速度才是真實(shí)的傳播速度.一般的介質(zhì)中這兩個(gè)速度盡管大小不等，但方向相同.然而，負(fù)折射材料中卻不同，前面已通過(guò)分析表明負(fù)折射材料中波的相速度為負(fù)值，而式（18）表明群速度就是能量傳遞的速度，根據(jù)因果律，總是正值（圖1）.群速度為正值也可以根據(jù)材料的色散關(guān)系k（ω）來(lái)證明，但考慮到需要借助于微觀分析，較為復(fù)雜，下一節(jié)換用另一種方法，從能流密度（玻印亭矢量）角度分析，將發(fā)現(xiàn)負(fù)折射材料中相速度和能流傳遞的方向相反.

圖1 負(fù)折射材料中群速度和相速度示意圖

4 關(guān)于左手性的討論

可以看到，若忽略吸收，則ε和μ均為實(shí)數(shù).考慮ε和μ同時(shí)為正和同時(shí)為負(fù)兩種情況（方程有傳播解），下面通過(guò)證明：負(fù)折射材料中準(zhǔn)單色電磁波的波矢k的方向與玻印亭矢量S的方向相反.

假設(shè)平面電磁波的表達(dá)形式為代入麥克斯韋方程組，可以得到

由式（3～6）4個(gè)方程可以看出，電場(chǎng)E、磁場(chǎng)H、波矢k三者的方向兩兩垂直.當(dāng)ε＞0、μ＞0時(shí)，三者的方向滿足右手螺旋關(guān)系；當(dāng)ε＜0、μ＜0時(shí)，三者的方向符合左手螺旋關(guān)系，因此稱為左手材料.

對(duì)傳播解，玻印亭矢量的表達(dá)形式為[5]

玻印亭矢量的定義決定了S、E、H三者總成右手螺旋關(guān)系.當(dāng)ε＞0、μ＞0時(shí)，S、k方向相同，為前向波.當(dāng)ε＜0、μ＜0時(shí)，S、k方向相反，為后向波（圖2），這是負(fù)折射與正折射現(xiàn)象的最根本的差別.

5 電磁波在界面處的反射與折射

對(duì)各向同性的負(fù)折射率材料，忽略介質(zhì)的吸收，根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件，容易發(fā)現(xiàn)反射與折射定律仍然成立.根據(jù)電場(chǎng)E的切向（即沿界面方向）分量連續(xù)，得入射波、反射波、透射波的波矢的切向分量都相等[7]，設(shè)入射角為θi，反射角為θr，折射角為θt（圖3），則

圖2 負(fù)折射材料的左手性（E，H，k成左手系）

其中ki、kr、kt分別是入射、反射、折射波的波矢的大小，通常介質(zhì)中它們都取正值，對(duì)負(fù)折射介質(zhì)則取負(fù)值（代表相速度與能流方向相反）.由于入射和反射波在同一介質(zhì)中，所以ki＝kr.假設(shè)電磁波從折射率為ni的介質(zhì)進(jìn)入折射率為nt的介質(zhì)中，則

由式（26）得反射、折射定律如下

這與通常的反射、折射定律形式相同，只是折射率允許取負(fù)值.如果用“光線”描述光的傳播方向，對(duì)通常兩介質(zhì)界面處的折射現(xiàn)象，入射和折射光線位于法線的兩側(cè)，而對(duì)兩介質(zhì)的折射率符號(hào)相反的情況，則折射與入射光線位于法線的同一側(cè).

圖3 反射、折射定律示意圖

6 倏逝波放大

通過(guò)電磁場(chǎng)邊界條件（E、H切向分量連續(xù)）可以導(dǎo)出電磁波在兩個(gè)無(wú)限大介質(zhì)交界面處的反射系數(shù)r與透射系數(shù)t，假設(shè)電磁波從介質(zhì)i入射到介質(zhì)t，兩介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為（εi，μi）和（εt，μt），考慮 TE模式（電場(chǎng)E方向垂直于入射面），透射系數(shù)定義為反射系數(shù)定義為它們分別由以下方程給出[1，7]

其中kz、kz′分別代表入射和折射波的波矢在法線（z）方向的分量，注意到波矢的切向分量相等，有

上式中的正負(fù)號(hào)的選取依據(jù)的原則與前面相同，即電磁波的電場(chǎng)E不能在無(wú)窮遠(yuǎn)處發(fā)散.假設(shè)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率的虛部都很?。梢越迫檎裏o(wú)窮小量），若入射波滿足條件則kz變成純虛數(shù)，為倏逝波場(chǎng).現(xiàn)通過(guò)一個(gè)特殊情況（即εi＞0，μi＞0，且εt＝-εi，μt＝-μi），分別討論傳播場(chǎng)和倏逝波場(chǎng)兩種情況，從而表明倏逝場(chǎng)具有極不尋常的性質(zhì).

7 負(fù)介電常數(shù)和負(fù)磁導(dǎo)率的“微觀起源”

介電常數(shù)ε和磁導(dǎo)率μ很容易被誤認(rèn)為是恒正的.對(duì)交變電場(chǎng)，由于介質(zhì)的響應(yīng)具有滯后性（極化強(qiáng)度P和電場(chǎng)E之間可能有相位差，磁化強(qiáng)度M和磁感應(yīng)強(qiáng)度B之間也可能有相位差），它們實(shí)際上都有可能為負(fù)值.這一點(diǎn)我們從微觀上分析.假設(shè)組成材料的電介質(zhì)中的電子的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)單描述成受電磁波驅(qū)動(dòng)諧振子，其固有角頻率為ω0，將能量耗散用阻尼系數(shù)為γe描述（γe＞0），它是吸收的起源.設(shè)電子有效質(zhì)量為m，相對(duì)平衡位置的位移為r，在電場(chǎng)E的驅(qū)動(dòng)下，有如下運(yùn)動(dòng)方程[7]

根據(jù)極化強(qiáng)度P＝ -Ner（N為電子數(shù)密度），及D＝ε0E＋P＝εE，可得相對(duì)介電常數(shù)

另一方面，考慮磁響應(yīng)，可以類似給出相對(duì)磁導(dǎo)率

其中ωpm為磁響應(yīng)等離子體角頻率.式（33）與式（34）形式相同，也必然存在Reμ＜0的頻段.忽略損耗的情況下，ε＜0和μ＜0兩個(gè)頻段的交集就是相對(duì)折射率n＜0的頻段.這種材料在自然界中很難找到，但可以通過(guò)人工微結(jié)構(gòu)組成的特異材料（metamaterial）來(lái)實(shí)現(xiàn)[4].

8 討論

反思一下波動(dòng)方程的求解，其中根據(jù)因果律舍棄了非物理解.其實(shí)這種做法在以往問(wèn)題的分析中也是慣用的，例如量子力學(xué)中薛定諤方程的求解，也需要舍棄無(wú)窮遠(yuǎn)處發(fā)散的解，其原理是類似的，但值得深入思考.

從前面的分析不難看到，負(fù)折射現(xiàn)象是一類普遍存在的現(xiàn)象.實(shí)際上，負(fù)折射的研究已經(jīng)不限于電磁現(xiàn)象，在聲波、電子波、原子物質(zhì)波等不同場(chǎng)合都存在.在聲波的負(fù)折射方面已有不少實(shí)驗(yàn)報(bào)導(dǎo)[8，9].人們還發(fā)現(xiàn)電子波的負(fù)折射可以在石墨烯（graphene）材料中實(shí)現(xiàn)[10，11].另外，本文只給出了經(jīng)典機(jī)制，實(shí)際上還存在量子機(jī)制，例如，材料的結(jié)構(gòu)單元可以是超導(dǎo)量子電路[12].量子負(fù)折射材料中的新現(xiàn)象是另一個(gè)受到關(guān)注的新問(wèn)題.另外，以上介電常數(shù)和磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)的材料是產(chǎn)生負(fù)折射的一種可能方式，但不是唯一方式，還有可能通過(guò)其他方式產(chǎn)生，例如四波混頻自相位共軛[13].

負(fù)折射現(xiàn)象具有普遍性，經(jīng)典機(jī)制的負(fù)折射材料已經(jīng)顯示了大量新奇效應(yīng)（例如在反常多普勒效應(yīng)、反常切侖科夫輻射、超衍射極限的成像機(jī)制等）.由經(jīng)典理論得到的新現(xiàn)象必然在量子理論中存在對(duì)應(yīng)物，推廣到量子領(lǐng)域可能有更多的新發(fā)展.

9 結(jié)語(yǔ)

本文探索性地用大學(xué)物理中的電磁學(xué)和波動(dòng)理論簡(jiǎn)單解釋了負(fù)折射現(xiàn)象.負(fù)折射現(xiàn)象使我們不得不重新思考關(guān)于波動(dòng)方程的求解、相速度、群速度、能量傳遞和因果律、Snell定律等內(nèi)容，以及電介質(zhì)和磁介質(zhì)的微觀機(jī)制.這對(duì)更好掌握電磁學(xué)、光學(xué)以及一般波動(dòng)理論都是大有幫助的.負(fù)折射理論可以用于課堂講授，有利于增強(qiáng)經(jīng)典物理教學(xué)內(nèi)容的活力，激發(fā)學(xué)生探索新問(wèn)題的興趣；也可以與科研專題訓(xùn)練相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生探索未知問(wèn)題的能力.

我們從負(fù)折射現(xiàn)象可以得到一個(gè)啟示：雖然我們對(duì)經(jīng)典物理貌似很熟悉，但經(jīng)典物理中仍然隱藏著被忽略的問(wèn)題（負(fù)折射問(wèn)題或許只是其中一個(gè)例子）.大學(xué)物理中關(guān)于電磁學(xué)、光學(xué)、波動(dòng)理論等知識(shí)其實(shí)并不老，我們需要結(jié)合物理學(xué)新進(jìn)展，不斷地重新思考這些基礎(chǔ)知識(shí)，有可能獲得新的發(fā)現(xiàn).

波動(dòng)性是物質(zhì)的一個(gè)最基本屬性，在經(jīng)典和量子理論中都扮演著極其重要的角色.經(jīng)典物理中的問(wèn)題往往更具普遍性，我們也許可以從這些問(wèn)題入手，從新的角度重新思考包括量子物理在內(nèi)的整個(gè)物理學(xué)，這在筆者看來(lái)是一個(gè)值得深入探索的問(wèn)題.

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