廖洪清 陳 豪 劉貴文 曹云玖

（上海工程技術大學基礎教學學院，上海 201620）

超穩(wěn)腔在科學研究和實際工程中都有廣泛應用，例如穩(wěn)頻激光器[1]、標準光學頻率的測量[2]、重力波檢測[3]和基本物理量的測量[4].每個腔都有相應的共振頻率，該頻率由光程決定，腔長不變化光程也就確定了，通常光學腔的腔體是用低熱膨脹的材料制成，外界的振動、溫度以及壓力等因素都會引起腔體的形變，使得腔鏡之間的光程發(fā)生改變，腔的共振頻率也就發(fā)生改變[5].由腔長變化與頻率變化的關系可知，式中L是腔長；ΔL是腔長變化量，ν是腔的共振中心頻率；Δν是腔長變化引起的頻率漂移，波長為1064nm的激光頻率，要使得中心頻率漂移小于10MHz，腔長變化率至少要達到10-7.球形光學腔具有高度對稱性以及方便的移動性能，得到廣泛的應用.通過有限元數值分析模擬的方法對光學腔進行模擬使其光程對振動不敏感，可以得到穩(wěn)定的頻率輸出.這樣不僅可以彌補振動隔離系統(tǒng)技術上的困難，而且能夠有效地降低成本.文章采用有限元數值模擬的方法，對球形腔由于重力等因素引起的彈性形變進行分析，優(yōu)化腔體的支撐位置，補償由于外界環(huán)境引起的光程差，使得光程變化達到最小.

1 有限元理論方法

當彈性物體受到作用發(fā)生形變，物體上的任意兩點A（x，y，z）和B位置隨之發(fā)生改變，用A′（x′，y′，z′）和B′表示，如圖1所示.物體上任意一點在形變前后的形變位移可以用形變前后的坐標相減得到.例如x與x′分別表示物體上A點形變前后x軸的坐標，x軸方向上位移大小可表示為Δx＝x′-x，同理y軸方向位移大小表示為Δy＝y(tǒng)′-y，z軸方向位移大小表示為Δz＝z′-z.通過分析形變前后位移變化能夠得到物體受到作用后的形變大小.

圖1 物體彈性形變圖

光學腔體在外界作用下發(fā)生形變，可看成彈性物體處理.通常外界的作用主要是振動的影響，在振動影響分析中，主要分析較低頻率振動的作用，因為高頻振動可通過常見的隔振裝置來消除，而低頻振動很困難.當外加的振動頻率遠低于腔的共振頻率時，這個作用可以等效看成一個靜力施加在腔體上，這樣就可以把復雜的動態(tài)分析簡化成簡單的靜態(tài)分析，振動引起的加速度可以用作用在腔體上的重力加速度等效替代[6].為了探測球形腔形變對光程差的影響，在兩邊的腔鏡上取過腔鏡中心且互相垂直的兩條直徑，并分別在直徑上取關于中心對稱的點作為探測點，通過探測點之間的位移可以描述腔體的光程變化.

2 球形腔的結構

球形腔結構示意圖如圖2所示，腔體半徑為10cm，通光孔半徑1.5cm，腔長19.596cm，鏡片半徑2cm.在鏡片上選取直徑線1、2和直徑線3、4，在每條線上對稱地選取5個點作為探測點，對應探測點之間距離變化，即為形變前后的光程差.為了盡量減小溫度的影響，腔體通常用低膨脹材料制成.本文球形腔體采用超低膨脹玻璃材料（ule）材料，密度ρ＝2.21×103kg／m3，楊氏模量E＝6.67×1010N／m2，泊松比ν＝0.17.

圖2 球形腔的結構示意圖

3 數值模擬分析

對于球形腔，有多種支撐方式，此處采用水平支撐方式，即在腔體下方開一凹槽，以此作為支撐面.兩凹槽處于同一水平位置，關于xOy面對稱，通過調節(jié)凹槽的位置來彌補振動造成的光程變化.取凹槽寬1cm，水平方向上凹槽內側距球心為z，如圖3（a）所示，圖3（b）為z＝2cm的腔體在豎直向下的方向加上大小為9.8m／s2的加速度下的變形圖.

凹槽寬度不變，取1cm，改變凹槽位置z，經過有限元模擬計算，光程變化量與支撐位置有關.當腔體受到外界環(huán)境影響時，探測點會發(fā)生相應的位移，導致光程L也發(fā)生變化，ΔL＝z1-z2（z1為z軸正半軸處鏡面中心處z坐標，z2為z軸負半軸處鏡面中心處z坐標）.通過模擬不同支撐位置處探測點的位移，得到相應的ΔL，如圖4所示.從圖4看出，隨z的變化，ΔL也發(fā)生相應變化.由此可見，通過改變腔的支撐位置，能夠改變球形腔對振動敏感的敏感度.對于本文所采用的球形腔來說，在z＝7cm左右時光程變化達到最小，即此時該腔體對振動的敏感度最低.

圖3 球形腔支撐方式

圖4 不同支撐位置處光程變化

為了研究其形變規(guī)律，取z＝6cm、z＝7cm、z＝8cm時的模擬結果作探測點位移圖，如圖5所示.其中（a）圖為水平x軸方向探測點位移圖，（b）圖為豎直y軸方向探測點位移圖.

圖5 探測點位移圖

由圖5可以看到，兩腔鏡水平方向（x軸）與豎直方向（y軸）的平行度隨支撐位置z變化而變化.圖5（a）反映了支撐位置變化，x軸方向上對應探測點位移隨支撐位置變化關系，可以看到，當z增大時，水平x軸方向各對應探測點位移改變.因為x軸方向腔體結構和所受y方向上施加的作用是關于y軸兩邊對稱的，所以腔鏡x軸方向上兩邊關于y軸對稱的各組探測點的形變量是相等的，所以兩腔鏡在x軸方向平行度基本沒有變化，但是腔鏡中心點光程會隨位置變化，在支撐位置z＝7cm時光程變化量最小，支撐位置增大和減小光程變化量都增加.圖5（b）反映了隨著支撐位置變化，腔鏡y軸方向上對應探測點位移隨支撐位置變化關系，當z＝6cm時，兩腔鏡在豎直方向呈現(xiàn)上凹下凸形狀，當z＝8cm時，豎直方向兩腔鏡呈現(xiàn)下凹上凸形狀，當z＝7cm時，兩鏡在豎直方向基本保持平行.因此，考慮兩腔鏡之間光程改變以及平行度的變化，當z＝7cm時，其光程變化量最小且平行度良好，所以z＝7cm為該種腔體的實際最優(yōu)支撐位置.在z＝7cm時，單位加速度下光程變化量為ΔL＝14.527×10-8m，腔長變化率ΔL／L為7.413×10-7.

4 結語

本文利用有限元的方法，對水平支撐球形腔進行了模擬研究，對該水平支撐方式的支撐位置進行優(yōu)化選取，可以使得球形腔在外界振動下兩端腔鏡保持平行且光程變化趨于最小，使得球形腔的光程對振動不敏感.該方法可用于高穩(wěn)腔的設計，以此減小環(huán)境振動變化對腔體的影響.

[1]Young B C，Cruz F C，Itano W M，et al.Visible lasers with subhertz linewidths[J].Phys.Rev.Lett.1999（82）：3799-3802.

[2]Oskay W H，Diddams S A，Donley E A，et al.Single-atom optical clock with high accuracy[J].Phys.Rev.Lett.2006（97）：020801.

[3]Willke B，Danzmann K，F(xiàn)rede M，et al.Stabilized lasers for advanced gravitational wave detectors[J].Class.Quantum Grav.2008（25）：114040.

[4]Rosenband T，Hume D B，Schmidt P O，et al.Frequency ratio of Al＋and Hg＋ single-ion optical clocks；metrology at the 17th decimal place[J].Science，2008（319）：1808-1812.

[5]劉敏，崔小虹，錢進.利用穩(wěn)頻激光穩(wěn)定F-P腔腔長的研究[J].光學技術，2010，36（3）：361-364.

[6]曹云玖，季濤，劉燁，等.環(huán)形腔振動敏感度的研究[J].光學技術，2012，38（3）：332-335.