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Fan-Todd不等式在矩陣論中的推廣

2015-07-02 00:19金樂樂周其生
關(guān)鍵詞:安慶常數(shù)算子

金樂樂 ,周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

Fan-Todd不等式在矩陣論中的推廣

金樂樂 ,周其生

(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及性質(zhì),將著名的Fan-Todd不等式和與之相關(guān)的實(shí)數(shù)不等式推廣到矩陣論中,得到矩陣跡的相應(yīng)不等式,一些結(jié)論還推廣到算子理論中。

矩陣;跡;Fan-Todd不等式;算子

作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征,矩陣的跡在數(shù)值計(jì)算、量子信息以及隨機(jī)控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。但是矩陣的乘法不具有交換性,許多實(shí)數(shù)不等式難以推廣到矩陣論中。本文利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及相關(guān)性質(zhì),將Fan-Todd等實(shí)數(shù)不等式推廣到矩陣論中。

成立的任一實(shí)數(shù)序列,則

其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

K.Fan等人利用這個(gè)定理證明了:

K.Fan等人對定理B作了進(jìn)一步推廣:

本文將以上幾個(gè)不等式推廣到矩陣論中,得到矩陣跡的相應(yīng)不等式。先給出一個(gè)重要引理,即關(guān)于矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式:

引理1[5-6]設(shè)A,B為m×n復(fù)矩陣,則有

|tr(A*B)|2≤tr(A*A)tr(B*B),特別當(dāng)A和B為同階實(shí)對稱陣或Hermite陣時(shí)

|trAB|2≤trA2·trB2,

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c,使得A=cB。

下面是本文的主要結(jié)論。

定理1 設(shè)A,B為n階非零實(shí)對稱陣,對于任意常數(shù)c,B≠cA,又令X為滿足trAX=0,trBX=1的任一同階實(shí)對稱陣,則

(1)

(2)

證明 對于任意的y∈R,yA-B為實(shí)對稱陣,由引理1得

|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)2·trX2

(3)

即|tr(yAX-BX)|2≤tr(yA-B)2·trX2。又tr(yAX-BX)=ytrAX-trBX=-1,所以

這說明對任何實(shí)數(shù)y,二次不等式恒大于0,因此判別式Δ≤0,即

因?yàn)閷θ我獬?shù)c,均有B≠cA,故由引理1知,trA2·trB2>(trAB)2,所以化簡后有

上述不等式即證。

下面討論定理1中等號(hào)成立的條件。

則(3)式等號(hào)成立(顯然左邊也算出等于1),故由引理1知,存在c使得X=c(yA-B)(其中c為實(shí)常數(shù)),即有

X2=c2(yA-B)2,

從而c2=(trX2)2,c=±trX2,故

X=±trX2(yA-B)。

當(dāng)X=trX2(yA-B)時(shí),

與定理?xiàng)l件不合,所以

X=-trX2(yA-B)=-trX2·

當(dāng)(2)式成立時(shí),不難計(jì)算(1)式等號(hào)成立。

注2 定理1是定理A的推廣。為了看到這一點(diǎn),令

下面討論A,B為n階復(fù)矩陣時(shí)的情況。

定理2 設(shè)A,B為n階非零Hermite陣,且不存在常數(shù)c使得B=cA,又設(shè)X為滿足trAX=0,trBX=1的任一同階Hermite陣,則

證明 任意y∈R,yA-B也為Hermite陣,由引理1得|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2,其證明與定理1的證法類似。

是兩個(gè)滿足aibj≠ajbi(i≠j)的n階Hermite陣,則

它的n(n-1)項(xiàng)可以按以下成對形式分組:

根據(jù)定理1,可以推出

對定理3進(jìn)行類似定理B到定理C的推廣:

它的n(n-1)項(xiàng)可以按以下成對形式分組:

每一對這樣的和等于零,即可推出trAX=0。同理可證,

因而由(1)式可得上述定理。

即為定理3的結(jié)論,可見,定理4是定理3的推廣。

類似于定理1的討論,可將文獻(xiàn)[5]中一個(gè)實(shí)數(shù)不等式推廣為下面結(jié)論。

定理5 設(shè)A,B為n階非零Hermite陣,且不存在常數(shù)c使B=cA,又設(shè)任一同階半正定Hermite陣X,滿足trX2=1,trA2>0,trAX=0,則

(4)

其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

證明 任意y∈R,由引理1,得

|tr[(yA-B)X)]|2≤

tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*

(5)

|tr[(yA-B)X)]|2=[ytrAX-trBX]2=

(0-trBX)2=(trBX)2,

tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=

tr(yA-B)2·trX2=y2trA2-2ytrAB+trB2,

所以有(trBX)2≤y2trA2-2ytrAB+trB2,

即對于?y∈R有(trA2)y2-2(trAB)y+trB2-(trBX)2≥0成立。因此Δ≤0,即Δ=[-2(trAB)]2-4·trA2·[trB2-(trBX)2]≤0

即(trAB)2-trA2·[trB2-(trBX)2]≤0。

因?yàn)閷θ我獬?shù)c,均有B≠cA,故由引理1知,trA2·trB2>(trAB)2,所以有

下面討論定理5中等號(hào)成立的條件。

此時(shí),tr(yA-B)2·trX2=tr(yA-B)2=

故(5)式等號(hào)成立,由引理1知,存在常數(shù)c,使得

X=c(yA-B),

trBX=c(ytrAB-trB2)=

因(trBX)2=tr(yA-B)2=

定理2討論的是Hermite矩陣,定理2可以進(jìn)一步推廣到算子論中。

定理6 設(shè)A,B為非零Hilbert-Schmite類Hermite算子,且不存在常數(shù)c,使得B=cA。又設(shè)X為滿足trAX=0,trBX=1的任一Hilbert-Schmite類Hermite算子,則

證明 記全體Hilbert-Schmite類算子為C2[7],任意y∈R,yA-B也為Hilbert-Schmite類Hermite算子,在C2類算子中定義內(nèi)積 =trA*B,C2按這個(gè)內(nèi)積作成Hilbert空間,所以由內(nèi)積空間中的Cauchy-Schwarz不等式有

||2≤·,

即|trA*B|2≤trAA*·trBB*。

特別地,當(dāng)A,B為C2中Hermite算子時(shí)有|trAB|2≤trA2·trB2,所以|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2。

此定理的證明與定理2的證明過程相同,因此可以將定理2推廣至算子理論中。

[1]A. Ostrowski. Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung[M]. Basel: Springer, 1952.

[2] K.Fan , J.Todd. A determinatal inequality[J]. Journal of London Mathematics Society, 1955, 30: 58-64.

[3] D.S. Mitrinovic, P.M. Vasic. Analytic Inequalities[M]. New York: Springer-Verlag, 1970: 66-69.

[4] D.S. Mitrinovic. 解析不等式[M]. 張小萍, 王龍, 譯. 北京: 科學(xué)出版社, 1987: 87-92.

[5] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 4版. 濟(jì)南: 山東科技出版社, 2012: 201-202.

[6] 王松桂, 吳密霞. 矩陣不等式[M]. 2版. 北京: 科學(xué)出版社, 2006: 185-224.

[7] 孫善利, 王振鵬. 泛函分析[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2008: 117-135.

Generalization of Fan-Todd Inequality in the Matrix Theory

JIN Le-le, ZHOU Qi-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

In this paper, famous Fan-Todd real inequalities are generalized to the matrix by the Cauchy-Schwarz inequality, and some corresponding matrix trace inequalities are obtained.Some conclusions are given in operator theory.

matrix, trace, Fan-Todd inequality, operator

2014-12-23

金樂樂,女,安徽安慶人,安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)榫仃嚺c算子理論。

時(shí)間:2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.006.html

O151.21

A

1007-4260(2015)04-0019-05

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.006

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