金樂樂 ,周其生
(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)
Fan-Todd不等式在矩陣論中的推廣
金樂樂 ,周其生
(安慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)
利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及性質(zhì),將著名的Fan-Todd不等式和與之相關(guān)的實(shí)數(shù)不等式推廣到矩陣論中,得到矩陣跡的相應(yīng)不等式,一些結(jié)論還推廣到算子理論中。
矩陣;跡;Fan-Todd不等式;算子
作為矩陣的一個(gè)重要數(shù)字特征,矩陣的跡在數(shù)值計(jì)算、量子信息以及隨機(jī)控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。但是矩陣的乘法不具有交換性,許多實(shí)數(shù)不等式難以推廣到矩陣論中。本文利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及相關(guān)性質(zhì),將Fan-Todd等實(shí)數(shù)不等式推廣到矩陣論中。
成立的任一實(shí)數(shù)序列,則
其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)
K.Fan等人利用這個(gè)定理證明了:
K.Fan等人對定理B作了進(jìn)一步推廣:
本文將以上幾個(gè)不等式推廣到矩陣論中,得到矩陣跡的相應(yīng)不等式。先給出一個(gè)重要引理,即關(guān)于矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式:
引理1[5-6]設(shè)A,B為m×n復(fù)矩陣,則有
|tr(A*B)|2≤tr(A*A)tr(B*B),特別當(dāng)A和B為同階實(shí)對稱陣或Hermite陣時(shí)
|trAB|2≤trA2·trB2,
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)c,使得A=cB。
下面是本文的主要結(jié)論。
定理1 設(shè)A,B為n階非零實(shí)對稱陣,對于任意常數(shù)c,B≠cA,又令X為滿足trAX=0,trBX=1的任一同階實(shí)對稱陣,則
(1)
(2)
證明 對于任意的y∈R,yA-B為實(shí)對稱陣,由引理1得
|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)2·trX2
(3)
即|tr(yAX-BX)|2≤tr(yA-B)2·trX2。又tr(yAX-BX)=ytrAX-trBX=-1,所以
這說明對任何實(shí)數(shù)y,二次不等式恒大于0,因此判別式Δ≤0,即
因?yàn)閷θ我獬?shù)c,均有B≠cA,故由引理1知,trA2·trB2>(trAB)2,所以化簡后有
上述不等式即證。
下面討論定理1中等號(hào)成立的條件。
則(3)式等號(hào)成立(顯然左邊也算出等于1),故由引理1知,存在c使得X=c(yA-B)(其中c為實(shí)常數(shù)),即有
X2=c2(yA-B)2,
從而c2=(trX2)2,c=±trX2,故
X=±trX2(yA-B)。
當(dāng)X=trX2(yA-B)時(shí),
與定理?xiàng)l件不合,所以
X=-trX2(yA-B)=-trX2·
當(dāng)(2)式成立時(shí),不難計(jì)算(1)式等號(hào)成立。
注2 定理1是定理A的推廣。為了看到這一點(diǎn),令
下面討論A,B為n階復(fù)矩陣時(shí)的情況。
定理2 設(shè)A,B為n階非零Hermite陣,且不存在常數(shù)c使得B=cA,又設(shè)X為滿足trAX=0,trBX=1的任一同階Hermite陣,則
證明 任意y∈R,yA-B也為Hermite陣,由引理1得|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2,其證明與定理1的證法類似。
是兩個(gè)滿足aibj≠ajbi(i≠j)的n階Hermite陣,則
它的n(n-1)項(xiàng)可以按以下成對形式分組:
根據(jù)定理1,可以推出
對定理3進(jìn)行類似定理B到定理C的推廣:
它的n(n-1)項(xiàng)可以按以下成對形式分組:
每一對這樣的和等于零,即可推出trAX=0。同理可證,
因而由(1)式可得上述定理。
即為定理3的結(jié)論,可見,定理4是定理3的推廣。
類似于定理1的討論,可將文獻(xiàn)[5]中一個(gè)實(shí)數(shù)不等式推廣為下面結(jié)論。
定理5 設(shè)A,B為n階非零Hermite陣,且不存在常數(shù)c使B=cA,又設(shè)任一同階半正定Hermite陣X,滿足trX2=1,trA2>0,trAX=0,則
(4)
其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)
證明 任意y∈R,由引理1,得
|tr[(yA-B)X)]|2≤
tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*
(5)
|tr[(yA-B)X)]|2=[ytrAX-trBX]2=
(0-trBX)2=(trBX)2,
tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=
tr(yA-B)2·trX2=y2trA2-2ytrAB+trB2,
所以有(trBX)2≤y2trA2-2ytrAB+trB2,
即對于?y∈R有(trA2)y2-2(trAB)y+trB2-(trBX)2≥0成立。因此Δ≤0,即Δ=[-2(trAB)]2-4·trA2·[trB2-(trBX)2]≤0
即(trAB)2-trA2·[trB2-(trBX)2]≤0。
因?yàn)閷θ我獬?shù)c,均有B≠cA,故由引理1知,trA2·trB2>(trAB)2,所以有
下面討論定理5中等號(hào)成立的條件。
此時(shí),tr(yA-B)2·trX2=tr(yA-B)2=
故(5)式等號(hào)成立,由引理1知,存在常數(shù)c,使得
X=c(yA-B),
trBX=c(ytrAB-trB2)=
因(trBX)2=tr(yA-B)2=
定理2討論的是Hermite矩陣,定理2可以進(jìn)一步推廣到算子論中。
定理6 設(shè)A,B為非零Hilbert-Schmite類Hermite算子,且不存在常數(shù)c,使得B=cA。又設(shè)X為滿足trAX=0,trBX=1的任一Hilbert-Schmite類Hermite算子,則
證明 記全體Hilbert-Schmite類算子為C2[7],任意y∈R,yA-B也為Hilbert-Schmite類Hermite算子,在C2類算子中定義內(nèi)積 =trA*B,C2按這個(gè)內(nèi)積作成Hilbert空間,所以由內(nèi)積空間中的Cauchy-Schwarz不等式有
即|trA*B|2≤trAA*·trBB*。
特別地,當(dāng)A,B為C2中Hermite算子時(shí)有|trAB|2≤trA2·trB2,所以|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2。
此定理的證明與定理2的證明過程相同,因此可以將定理2推廣至算子理論中。
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Generalization of Fan-Todd Inequality in the Matrix Theory
JIN Le-le, ZHOU Qi-sheng
(School of Mathematics and Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)
In this paper, famous Fan-Todd real inequalities are generalized to the matrix by the Cauchy-Schwarz inequality, and some corresponding matrix trace inequalities are obtained.Some conclusions are given in operator theory.
matrix, trace, Fan-Todd inequality, operator
2014-12-23
金樂樂,女,安徽安慶人,安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)榫仃嚺c算子理論。
時(shí)間:2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.006.html
O151.21
A
1007-4260(2015)04-0019-05
10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.006