陳美玲等

摘 要：文章介紹和研究范德蒙矩陣的病態(tài)性并進(jìn)行擾動性分析。將數(shù)值分析知識與Matlab軟件相結(jié)合，研究了3-20階的范德蒙矩陣的條件數(shù)隨階數(shù)增長，且增長越快導(dǎo)致矩陣病態(tài)性越嚴(yán)重，并進(jìn)行了曲線擬合。以條件數(shù)為基礎(chǔ)，進(jìn)一步對AX=b進(jìn)行擾動分析，證實A和b的微小變動，對解的影響較大。最后對以范德蒙矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程用雅克比迭代法進(jìn)行收斂性分析，證實迭代矩陣的譜半徑都大于1，即迭代矩陣是發(fā)散的。研究矩陣擾動和病態(tài)算法在實際科學(xué)計算中有重要作用。

關(guān)鍵詞：范德蒙矩陣；條件數(shù)；擾動性分析；雅克比迭代；收斂性

1 范德蒙矩陣與相關(guān)概念介紹

范德蒙矩陣是法國數(shù)學(xué)家范德蒙提出的一種各列為幾何級數(shù)的矩陣[1]：

即得解向量的相對誤差與右端項的相對誤差、矩陣的條件數(shù)之間的關(guān)系。

2 范德蒙矩陣的病態(tài)性分析

（n為大于1的3-20階正整數(shù)），用Matlab求解其條件數(shù)[5]，探索范德蒙矩陣條件數(shù)，得到圖1：矩陣階數(shù)越大，條件數(shù)也越大，病態(tài)性越嚴(yán)重。進(jìn)一步探索條件數(shù)與矩陣階數(shù)的關(guān)系，我們對條件數(shù)作了對數(shù)擬合[6]，擬合效果如圖2所示。

由此，對條件數(shù)增長率進(jìn)一步分析，由Matlab作圖3可知，隨階數(shù)增加，增長率越大，當(dāng)然最后19、20階增長率速度下降。

3 范德蒙矩陣擾動分析

對于線性方程組Ax=b，在實際科學(xué)測量時，對于系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b都有可能存在誤差，這些誤差稱為擾動。在科學(xué)實驗和工科測量時，系數(shù)矩陣或則常數(shù)矩陣的一些微小變化可能會導(dǎo)致數(shù)值解的很大差距，因此我們要分析這些測量值得變化對結(jié)果的影響以及如何影響結(jié)果的?，F(xiàn)把這些擾動分為兩種情況分析，第一種情況：系數(shù)矩陣存在擾動，常數(shù)向量不存在擾動。第二種情況：系數(shù)矩陣不存在擾動，常數(shù)向量存在擾動。

4 雅克比迭代法收斂性分析

雅克比迭代法x（k+1）=Bx（k）+g適用于解大型的且系數(shù)陣為稀疏的方程組[4]，能減少運算次數(shù)，節(jié)約存儲。采用這種方法研究范德蒙矩陣A隨階數(shù)增大，矩陣的收斂性。求得迭代矩陣的譜半徑結(jié)果如圖4所示。

從上面程序可以看出Matlab的強大功能。僅僅只需要幾行簡單的代碼就能將枯燥乏味、冗雜抽象的數(shù)值計算問題輕易解決。不僅節(jié)約了時間，而且提高了效率，可見數(shù)值分析與Matlab相結(jié)合能促進(jìn)科學(xué)計算問題得到更好地解決。

參考文獻(xiàn)

[1]杜先能，葉郁，殷曉斌，等.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]劉長河，劉世祥.范德蒙矩陣的三角分解[J].北京建筑工程學(xué)院學(xué)報，2005，21（1）：2-5.

[3]陸全，任學(xué)明.一類廣義范德蒙矩陣求逆的快速算法[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報，2004，36（3）：2-4.

[4]袁東錦.計算方法-數(shù)值分析[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2004.

[5]周國標(biāo)，宋寶瑞，謝建利.數(shù)值計算[M].北京：高等教育出版社，2008.

[6]任玉杰.數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[7]吝維軍.符號計算系統(tǒng)與數(shù)學(xué)實驗[M].長春：吉林科學(xué)技術(shù)出版社，2005.