趙玉新，賈韌鋒，劉廠

（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

一種基于確定度的決策概率轉(zhuǎn)換方法

趙玉新，賈韌鋒，劉廠

（哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001）

針對現(xiàn)有將基本概率賦值轉(zhuǎn)換為決策概率方法的不足，提出一種基于確定度的決策概率轉(zhuǎn)換方法。該方法根據(jù)基本概率賦值的特點(diǎn)，將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統(tǒng)對命題的確定度，并用其對比例信度轉(zhuǎn)換方法和比例似真度轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行線性組合，得出命題的決策概率。通過算例對比新方法與已有方法，結(jié)果表明新方法更加合理有效。

確定度；基本概率賦值；信度；似真度；決策概率

證據(jù)理論是Dempster［1］于1967年首先提出，后經(jīng)他的學(xué)生Shafer［2］進(jìn)一步擴(kuò)充和完善，所以通常被稱作Dempster?Shafer理論（簡稱D?S證據(jù)理論）。由于D?S證據(jù)理論在處理不確定、不精確信息方面，具有較大的靈活性，因而被廣泛應(yīng)用在威脅判斷［3］、故障診斷［4］、信息融合［5］、風(fēng)險評估［6?7］等諸多領(lǐng)域。D?S證據(jù)理論在識別框架下用基本概率賦值（basic probability assignment，BPA）來對命題進(jìn)行表示，這種表示方法不僅通過在單子集命題上分配概率來表示精確信息；也通過在多子集命題上分配概率來表示不精確信息，能夠比較全面地表達(dá)命題信息。在不確定決策系統(tǒng)中，為了能夠合理地做出決策，需要將多子集命題上的BPA分配給單子集命題，以便得到合適的決策概率，這就需要對BPA進(jìn)行決策概率轉(zhuǎn)換。

目前，對BPA進(jìn)行決策概率轉(zhuǎn)換的方法有很多［8?19］。Smets［8］在可轉(zhuǎn)移信度模型中提出了轉(zhuǎn)換方法，但該方法沒有很好地利用已知信息，將多子集命題上的BPA均分到單子集命題上，容易造成信息損失，不利于決策。Cuzzolin［9］的方法是將多子集命題上的BPA按照不確定比均分給單子集命題，該方法在Ai∩A＝?時，不能合理地分配不確定信息。例如已知識別框架Θ＝A，B，C{}，其中有m（A∪B）＞0，在計算C的決策概率時，TNSM中的m（A∪B），也會按照比例分給C，這明顯是不合理的，因為A∪B中不包括C。Cobb［10］提出了基于似真度函數(shù)的轉(zhuǎn)換，該方法僅僅將各個命題的似真度所占的比例作為它們的決策概率，而沒有考慮信度對轉(zhuǎn)換過程的影響，轉(zhuǎn)換過程比較保守。Sudano［14］在DST框架下，利用信度函數(shù)和似真度函數(shù)提出了一系列的轉(zhuǎn)換方法。蔣雯［15］利用命題的信度和似真度的特點(diǎn)，對多子集命題信息進(jìn)行分配，但是當(dāng)多子集命題和單子集命題沒有交集的時候，也會出現(xiàn)Cuzzolin方法中的不合理分配問題。Dezert［18］的方法是可轉(zhuǎn)移信度模型中轉(zhuǎn)換方法和比例信度轉(zhuǎn)換方法的非線性組合，通過調(diào)整參數(shù)ε來決定轉(zhuǎn)換態(tài)度，靈活度較好，但參數(shù)ε的選取不夠客觀。Daniel［19］的比例信度轉(zhuǎn)換方法利用單子集命題在多子集命題中的信度比來轉(zhuǎn)換決策概率，轉(zhuǎn)換時的態(tài)度比較樂觀，容易增大決策風(fēng)險。而他的比例似真度轉(zhuǎn)換方法利用單子集命題在多子集命題中的似真度比來轉(zhuǎn)換決策概率，轉(zhuǎn)換時的態(tài)度又比較保守，不利于決策。

本文針對Daniel的比例轉(zhuǎn)換方法的不足，提出了一種基于確定度的決策概率轉(zhuǎn)換方法。該方法將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統(tǒng)對命題的確定度，并用其對比例信度轉(zhuǎn)換方法和比例似真度轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行線性組合，得出命題的決策概率。

1 基于確定度的決策概率轉(zhuǎn)換方法

為了更好地發(fā)揮比例信度轉(zhuǎn)換方法和比例似真度轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)勢，克服它們的不足，本文對這2種方法進(jìn)行線性組合，使轉(zhuǎn)換時的態(tài)度既不樂觀也不保守，得出合理的決策概率。

由于單子集命題的基本概率賦值反映了系統(tǒng)對命題的精確信任程度，單子集命題的基本概率賦值越大，說明系統(tǒng)對該命題的確定程度也就越高；單子集命題的基本概率賦值越小，說明系統(tǒng)對該命題的確定程度也就越低。所以，根據(jù)系統(tǒng)的局部與整體之間的相似性質(zhì)，可以將單子集命題的基本概率賦值之和作為系統(tǒng)對命題的確定度，并將該確定度作為組合權(quán)重，用來對比例信度轉(zhuǎn)換方法和比例似真度轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行線性組合，得出命題的決策概率。當(dāng)系統(tǒng)對命題的確定度大時，轉(zhuǎn)換過程的態(tài)度應(yīng)該相對樂觀，反之，轉(zhuǎn)換時的態(tài)度應(yīng)該保守一些。

根據(jù)前面所述，本文方法的轉(zhuǎn)換公式如下：

式中：

因為A是單子集命題，所以式（1）也可以寫成：

Daniel在文獻(xiàn)［20］中給出了決策概率轉(zhuǎn)換函數(shù)PT（·）的定義，下面通過該定義對本文方法的合理性進(jìn)行說明。

式（3）可以轉(zhuǎn)化為

定理1 PT（·）需滿足上下邊界一致性，即

所以，Bel（A）≤P1（A）≤Pl（A），同理可證，Bel（A）≤P2（A）≤Pl（A），又因為，NewP（A）是P1（A）和P2（A）的線性組合，所以，Bel（A）≤NewP（A）≤Pl（A）。

推論1 針對貝葉斯BPA，PT（·）需滿足概率一致性，即

證明：因為，m（A）是貝葉斯BPA，所以，m（X）＝0，所以，由式（4）可得，NewP（A）＝m（A）。

推論2 對于不可能事件A，PT（·）需滿足：

證明：因為，A為不可能事件，

所以，Bel（A）＝0，Pl（A）＝0，

所以，由Bel（A）≤NewP（A）≤Pl（A）可得，NewP（A）＝0。

即Θ中的元素A經(jīng)過排列函數(shù)R作用后的像R（A）的決策概率PT?（R（A）），和A在排列函數(shù)R作用前的決策概率PT（A）相等。

證明：因為，R為從Θ→Θ?的排列函數(shù)，

所以，R（A）＝A，

所以，R（A）的基本概率賦值m?（R（A））＝m（A），所以，NewP?（R（A））＝m?（R（A））+g（A）］m（X）＝NewP（A）。

綜上所述，本文方法滿足Daniel給出的決策概率轉(zhuǎn)換函數(shù)定義。

2 決策概率轉(zhuǎn)換評價標(biāo)準(zhǔn)

由于多子集命題是對單子集命題支持的一種表現(xiàn)，決策概率轉(zhuǎn)換是將這種表現(xiàn)給予了量化。所以可以利用它們之間的這種內(nèi)在聯(lián)系，來評價轉(zhuǎn)換方法的優(yōu)劣。本文引入隨機(jī)變量的關(guān)聯(lián)系數(shù)的概念［21］，將單子集命題的BPA和轉(zhuǎn)換后的決策概率之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)，用于度量轉(zhuǎn)換后的決策概率與原BPA之間的關(guān)聯(lián)程度，也依此作為評價轉(zhuǎn)換方法好壞的標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說明轉(zhuǎn)換后的決策概率與原BPA之間的關(guān)聯(lián)程度也就越好，也就越能反映原BPA的信息，轉(zhuǎn)換方法也就越好。

定義1設(shè)隨機(jī)變量X與Y的分布為

隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的偏熵定義為

定義2 隨機(jī)變量X與Y之間的關(guān)聯(lián)熵定義為它們的偏熵之和，即

定義3 隨機(jī)變量X與Y的偏關(guān)聯(lián)系數(shù)與關(guān)聯(lián)系數(shù)分別定義為

3 實例分析

例1 現(xiàn)用一雷達(dá)傳感器觀測空中的飛行目標(biāo)，其觀測到的結(jié)果可能有F?15和Mig?27，則它們構(gòu)成的識別框架Θ＝｛θ1，θ2｝，其中θ1、θ2分別代表F?15、Mig?27，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)可知它們的基本概率賦值如下：

根據(jù)本文的方法進(jìn)行如下計算：

1）根據(jù)比例信度轉(zhuǎn)換決策概率的方法，分別計算θ1、θ2的決策概率P1（θ1）、P1（θ2）：

2）根據(jù)比例似真度轉(zhuǎn)換決策概率的方法，分別計算θ1、θ2的決策概率P2（θ1）、P2（θ2）：

3）分別對P1（θ1）和P2（θ1）、P1（θ2）和P2（θ2）進(jìn)行線性組合，得出θ1、θ2最終的決策概率P（θ1）、P（θ2）。

首先，按照式（2）計算α＝0.2+0.1＝0.3。

然后，按照式（1）計算θ1、θ2最終的決策概率P（θ1）＝0.599 4， P（θ2）＝0.400 6。

例2 和例1在同一識別框架Θ＝｛θ1，θ2｝下，另有一組通過ESM傳感器獲得的基本概率賦值如下：

m（θ1）＝0.8， m（θ2）＝0.1， m（θ1∪θ2）＝0.1

按照本文方法計算結(jié)果如表1所示，并在表1中將例1的結(jié)果和例2的結(jié)果進(jìn)行對比。

表1 例1結(jié)果和例2結(jié)果對比Table 1 The comparison between example 1 and example 2

例1和例2雖屬于同一識別框架，但由于傳感器的精度不同，得到的結(jié)果也不同。通過計算m（θ1∪θ2）在θ1和θ2上的分配比，很容易看到例1中的分配比（0.5994-0.2）／（0.4006-0.1）＝1.3287，小于例2的（0.8882-0.8）／（0.1118-0.1）＝7.474 6。那是因為例2中確定度α＝0.9，大于例1中的確定度α＝0.3。可見，當(dāng)系統(tǒng)對命題的確定度越高，轉(zhuǎn)換結(jié)果就較為樂觀，分配多子集命題上的BPA也就越多；當(dāng)系統(tǒng)對命題的確定度越低，轉(zhuǎn)換結(jié)果就較為保守，分配多子集命題上的BPA也就越少。

例3現(xiàn)對一風(fēng)力發(fā)電機(jī)組進(jìn)行故障診斷，通過分析可知該發(fā)電機(jī)組可能發(fā)生的故障有主軸故障θ1、發(fā)電機(jī)故障θ2、葉片故障θ3、齒輪箱故障θ4，它們構(gòu)成的識別框架Θ＝｛θ1，θ2，θ3，θ4｝，經(jīng)專家測評得到該框架下的基本概率賦值如下：

按照本文方法計算的結(jié)果如表2所示，并且在表2中將本文方法與其他常用方法進(jìn)行了對比，由于DSmP方法中參數(shù)ε的選取不易確定，這里取中間值ε＝0.5。

從表2的結(jié)果可以看出，該例中的幾種方法得到的結(jié)果都是主軸故障的決策概率最大。PFT方法和PrNPl方法得到主軸故障的決策概率P（θ1）＝0.454 5＜m（θ1）＝0.6，這明顯是不合理的。Prop?BelP方法和PrBel方法得到的結(jié)果，看起來是最理想的，但是由于不確定度的存在，θ1∪θ2∪θ3∪θ4上的BPA不應(yīng)該全分配給故障θ1，也應(yīng)該分配給故障θ2、θ3和θ4一些，所以這2種方法得到的結(jié)果也不合理。本文方法的關(guān)聯(lián)系數(shù)高于其他常用方法的關(guān)聯(lián)系數(shù)，說明本文方法得到的轉(zhuǎn)換結(jié)果和原BPA之間的關(guān)聯(lián)程度更大，更能反映原BPA中的信息。并且本文方法得到主軸故障的決策概率P（θ1）＝0.912 7，要遠(yuǎn)大于其他故障的決策概率P（θ2）＝P（θ3）＝P（θ4）＝0.029 1，比其他常用方法得到的結(jié)果更一目了然，更利于決策。

表2 本文方法與其他常用方法對比Table 2 The comparison of different methods

4 結(jié)束語

本文提出的決策概率轉(zhuǎn)換方法充分利用了已知信息，將系統(tǒng)對命題的確定度作為組合權(quán)重，能夠客觀地、合理地分配多子集命題上的信息，使轉(zhuǎn)換時的態(tài)度既不樂觀也不保守，得到的轉(zhuǎn)換結(jié)果更加合理有效。該方法能夠增加決策的準(zhǔn)確度，降低決策風(fēng)險，便于決策者做出合理的決策，可以較好地應(yīng)用到信息融合、故障診斷等諸多的輔助決策系統(tǒng)中。

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Transformation method of decision-making probability based on the certainty degree

ZHAO Yuxin，JIA Renfeng，LIU Chang

（College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

In order to overcome the drawbacks in current transformation methods of basic probability assignment to decision?making probability，a decision?making probability transformation method based on the certainty degree is proposed.According to the characteristic of basic probability assignment，the sum of each the Singleton proposition' s basic probability assignments is regarded as the certainty degree of the system in this paper，and the decision?making probability of each proposition was achieved by linear combination，which is the transformation method of decision?making probability based on proportional belief and proportional plausibility.The proposed method was compared to the other usual methods with examples.The experimental results show that the proposed method is more reasonable and effective.

certainty degree；basic probability assignment；belief；plausibility；decision?making probability

但是，當(dāng)有變量值為0的時候，上述計算就會出現(xiàn)log0＝-∞的情況，為此鄧勇等人在文獻(xiàn)［22］中提出了一種類熵的概念，較好地解決了這個問題。即隨機(jī)變量X關(guān)于隨機(jī)變量Y的類偏熵定義為

10.3969／j.issn.1006?7043.201404042

TP391

：A

：1006?7043（2015）06?0801?05

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.u.20150428.1115.016.html

2014?04?12.網(wǎng)絡(luò)出版時間：2015?04?28.

國家自然科學(xué)基金資助項目（51379049）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目（HEUCFX41302，HEUCF041410）；黑龍江省留學(xué)歸國人員科學(xué)基金資助項目（LC2013C21）.

趙玉新（1980?），男，教授，博士生導(dǎo)師；賈韌鋒（1987?），男，博士研究生.

賈韌鋒，E?mail：jiarenfeng＠hrbeu.edu.cn.