陸亞哲，黃衛(wèi)華，胡 艷

（1.文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000；2.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125）

懸鏈面上各種曲線的研究

陸亞哲1，黃衛(wèi)華1，胡 艷2

（1.文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 文山 663000；2.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125）

懸鏈面是微分幾何中很重要的一種曲面.主要借助曲面的第一、第二類基本量及曲面上的各種曲率用各種方法來(lái)研究懸鏈面上各種曲線，例如漸近線、曲率線、測(cè)地線，得出曲線的形狀、方程和曲線具有的一些性質(zhì).

漸近線；曲率線；測(cè)地線；曲紋坐標(biāo)

懸鏈線是一種曲線，因形狀與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名.適當(dāng)選擇坐標(biāo)系后，懸鏈線的方程是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)［1］.它在數(shù)學(xué)中和工程中都有很重要的應(yīng)用.懸鏈線圍繞其水平準(zhǔn)線旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為懸鏈面，其參數(shù)方程表示為：．本文就懸鏈面上的各種曲線加以研究．

懸鏈面的重要性在于它既是不尋常的極小曲面［3］，又是旋轉(zhuǎn)曲面．它滿足極小曲面的性質(zhì)，根據(jù)極小曲面的性質(zhì)，可知懸鏈面的平均曲率為0．并且懸鏈面和正螺面之間存在保長(zhǎng)變換，那么它和正螺面之間也是有密切聯(lián)系的．它上面特殊的曲線如漸近線、測(cè)地線等具有一些性質(zhì)．現(xiàn)在就它上面的一些特殊的曲線如漸近線，測(cè)地線，曲率線及坐標(biāo)曲線進(jìn)行研究．

1 懸鏈面中的第一、第二基本形式

2 懸鏈面上的漸近線［4］

正螺面上一族漸近線是直線，另一族漸近是螺旋線．那么對(duì)于懸鏈面，會(huì)不會(huì)有相似的結(jié)論呢？

結(jié)論1 懸鏈面上的漸近線是直線，并且兩直線是正交的．即懸鏈面上的漸近網(wǎng)是正交網(wǎng)．

證明 把懸鏈面的第二類基本量代入漸近曲線的微分方程：

解上面的微分方程，得到兩條直線，所以懸鏈面上的漸近線是直線．

由第一類基本量F＝0可知兩直線是正交的，即懸鏈面上的漸近網(wǎng)是正交網(wǎng)．

3 懸鏈面上的曲率線

根據(jù)懸鏈面是旋轉(zhuǎn)曲面，可知懸鏈面上的曲率線［5］一族是懸鏈線，一族是平行圓．根據(jù)第一、第二類基本量F＝M＝0，可知懸鏈面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線網(wǎng)．

根據(jù)主曲率、高斯曲率和平均曲率的計(jì)算公式，可知：

可知懸鏈面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)，也可根據(jù)LN－M2＝－1＜0恒成立．

推得懸鏈面上的所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)，Dupin指標(biāo)線是一對(duì)共軛的雙曲線.

4 懸鏈面上的測(cè)地線［6］

關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面的測(cè)地線，有下面的結(jié)論成立：

引理1［7］旋轉(zhuǎn)曲面上的平行圓為測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)是平行圓上每點(diǎn)處的子午線的切線平行于旋轉(zhuǎn)軸．

引理2［8］旋轉(zhuǎn)曲面上一非平行圓c為測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)c上每點(diǎn)處均滿足ρ·cosθ＝0（ρ表示平行圓上的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)軸的距離）．

引理3［7］曲面上非直線的曲線是測(cè)地線的充要條件是除曲率為0的點(diǎn)外，曲面的主法線重合與曲面的法線．

對(duì)于懸鏈面，F(xiàn)＝0時(shí)，可以用測(cè)地曲率kg＝0來(lái)找出它的測(cè)地線．根絕劉維爾公式：

由上可知，懸鏈面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的u－曲線即懸鏈線為測(cè)地線，v－曲線為測(cè)地線當(dāng)且僅當(dāng)雙曲正弦為0，即u＝0．

以上結(jié)論也可以通過(guò)引理3直接推出．通過(guò)引理1和引理2進(jìn)行驗(yàn)證．對(duì)于懸鏈面上的坐標(biāo)曲線，計(jì)算它們的基本單位向量：

對(duì)于v－曲線—平行圓，根據(jù)引理1，當(dāng)且僅當(dāng)v－曲線的基本向量α平行于旋轉(zhuǎn)軸．由上面計(jì)算知：α⊥β，α⊥n，根據(jù)定義，α，β，n在同一個(gè)平面內(nèi)，故β／／n．

若用微分方程組計(jì)算測(cè)地線的方程如下所示：

u－曲線和v－曲線為測(cè)地線時(shí)也滿足上述方程．

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)直接計(jì)算的方法，得出懸鏈面的漸近線為正交的直線，懸鏈面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率線網(wǎng)，最后給出懸鏈面上測(cè)地線的方程和坐標(biāo)曲線在何種情況下為測(cè)地線，為進(jìn)一步的研究提供了依據(jù).

［1］謝非，孫明珠.鏈線的幾何性質(zhì)研究［J］.長(zhǎng)春教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，30（4）：33－34.

［2］莫妮佳.懸鏈面與正螺面之間的內(nèi)在關(guān)系［J］.湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，34（1）：23－26.

［3］陳維桓.微分幾何初步［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990：156－170.

［4］孟道驥.微分幾何［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，1999：163－176.

［5］霍去娟.曲面上的曲率線與測(cè)地線的積分算法［J］.科教季刊（上旬刊），2014（3）：207－209.

［6］刑家省，高繼主，羅秀華.曲面上測(cè)地線方程程線的性質(zhì)［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，28（1）：63－66.［7］梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2008：15－54.

［8］黃保軍.幾類特殊曲面上的測(cè)地線［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（3）：136－139.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

Research of Curves on Catenoid

LU Yazhe1，HUANG Weihua1，HU Yan2
（1.School of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China；2.Department of Basic Courses，Xi′an Peihua University，Xi′an 710125，China）

Catenoid is a very important curve in differential geometry.In this paper，we research various curves，such as the asymptote，lines of curvature and geodesic.Then we obtain the shape，equation and some property of the curves using the various curvatures.

asymptote；lines of curvature；geodesic；curve coordinate

O186.11

A

1008－8423（2015）03－0252－04

10.13501／j.cnki.42－1569／n.2015.09.004

2015－07－10.

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11361074）；云南省教育廳基金項(xiàng)目（2015Y470）；文山學(xué)院科研基金項(xiàng)目“曲率和撓率相關(guān)問(wèn)題的研究”（14WSY01）；文山學(xué)院解析幾何精品課程建設(shè)項(xiàng)目.

陸亞哲（1985－），女，碩士，主要從事代數(shù)和幾何的研究.