呂紅力

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

基于模糊C均值的水平集活動(dòng)輪廓模型

呂紅力

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

針對(duì)SPF模型的水平集函數(shù)初始化方式不靈活、容易發(fā)生邊界泄漏的問題，提出一個(gè)新的基于模糊C均值的水平集活動(dòng)輪廓模型．首先，用圖像灰度值與兩個(gè)模糊聚類中心的平均灰度值的差構(gòu)造一個(gè)模糊符號(hào)壓力函數(shù)，并證明它能夠調(diào)節(jié)目標(biāo)區(qū)域內(nèi)外的壓力符號(hào)，用模糊符號(hào)壓力函數(shù)取代SPF模型中的SPF函數(shù)；其次，使用正則化的Dirac函數(shù)δ( )φ取代|▽?duì)諀；最后，使用高斯濾波平滑水平集函數(shù)．實(shí)驗(yàn)表明，提出的方法精確有效．

SPF模型；模糊符號(hào)壓力函數(shù)；活動(dòng)輪廓模型；圖像分割；模糊C均值

圖像分割在圖像處理和圖像分析中具有非常重要的地位，在計(jì)算機(jī)視覺、物體追蹤、醫(yī)學(xué)圖像分割等方面有著廣泛的應(yīng)用[1]．目前關(guān)于圖像分割的方法已有很多，例如，直方圖閾值、區(qū)域增長(zhǎng)、聚類、活動(dòng)輪廓模型等方法，但是，由于圖像變化多樣，種類繁多，圖像分割依然是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的研究課題．模糊C均值（FCM）[2]是圖像分割的一種基本方法，它屬于軟分割法，相對(duì)于硬分割方法，F(xiàn)CM能保留更多的圖像信息，能更加真實(shí)地反映事物的模糊性與不確定性．活動(dòng)輪廓模型大致可分為兩類，基于邊緣的活動(dòng)輪廓模型[3-5]和基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型[6-8]．張開華等人結(jié)合基于邊緣的GAC模型[4]和基于區(qū)域的CV模型[6]提出了SPF模型[9]，該模型實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，抗噪性能較優(yōu)，但也具有如下缺點(diǎn)：1）隨著迭代次數(shù)的增加，容易產(chǎn)生邊緣泄漏，甚至演化曲線消失不見；2）水平集函數(shù)不可以采取更自由的初始化方式，例如，初始化為一個(gè)常值函數(shù)或者一個(gè)點(diǎn)；3）水平集函數(shù)初始化的位置不自由，不同的初始化位置可能得到不同的分割結(jié)果．

鑒于以上分析，本文提出一個(gè)新的基于區(qū)域的水平集活動(dòng)輪廓模型，利用輪廓內(nèi)外的模糊統(tǒng)計(jì)信息構(gòu)造一個(gè)基于區(qū)域的新符號(hào)壓力函數(shù)，它在分割目標(biāo)的內(nèi)部和外部具有符號(hào)相反的性質(zhì)，能夠自動(dòng)地控制輪廓線的收縮或者擴(kuò)張．為了保持水平集函數(shù)的光滑性和演化的穩(wěn)定性，采用高斯濾波正則化方法來平滑水平集函數(shù)．本文所提出的模型可以處理光滑或者不連續(xù)邊緣，具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、全局分、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，水平集函數(shù)的初始方式更加簡(jiǎn)單自由，初始化的位置可以設(shè)置在圖像中的任何一個(gè)地方．

1 背 景

1.1 SPF模型

文獻(xiàn)[9]提出一個(gè)結(jié)合了GAC模型與CV模型的優(yōu)點(diǎn)的基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型（SPF模型），構(gòu)造一個(gè)符號(hào)壓力函數(shù)并取代GAC模型中的邊緣停止函數(shù)．水平集函數(shù)的演化方程為：

其中，α為固定參數(shù)，spf( I( x))是利用區(qū)域統(tǒng)計(jì)信息定義的符號(hào)壓力函數(shù)，定義如下：

式中，c1, c2來自于CV模型，分別表示曲線C內(nèi)部和外部的圖像灰度均值，定義如下：

1.2 FCM算法

設(shè)圖像I包含N個(gè)像素點(diǎn)，假設(shè)圖像被分為兩類，每個(gè)點(diǎn)x∈I都對(duì)應(yīng)一個(gè)灰度值I( x)，隸屬度u( x)，在FCM算法中，分割圖像可以通過最小化如下能量函數(shù)：

其中，m為隸屬指數(shù)．根據(jù)Lagrange數(shù)乘法，可得到使能量函數(shù)（5）取得極小值的必要條件為：

把（6）式和（7）式改寫為連續(xù)形式如下：

模糊C均值算法在分割圖像時(shí)，具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，無監(jiān)督等特點(diǎn)，得到了廣泛的研究和應(yīng)用．

2 基于模糊C均值的水平集模型

2.1 SPF函數(shù)構(gòu)造

SPF函數(shù)[10]能夠自動(dòng)調(diào)節(jié)目標(biāo)區(qū)域內(nèi)外的符號(hào)，使演化曲線能夠自動(dòng)收縮或者擴(kuò)張．受SPF模型的啟發(fā)，定義一個(gè)基于模糊統(tǒng)計(jì)信息的SPF函數(shù)如下：

其中v1和v2來自于式（9）式（10）式．為了方便討論所定義的符號(hào)壓力函數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)二值圖像：

其中，a和b是兩個(gè)互不相等的非負(fù)常數(shù)，ω和Ωω分別表示圖像的目標(biāo)區(qū)域和圖像的背景區(qū)域．本文推導(dǎo)出如下性質(zhì)（詳細(xì)證明見附錄）：

容易得到-1≤spf( I )≤1，并且在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)外異號(hào)，可以實(shí)現(xiàn)演化曲線的自動(dòng)收縮或者擴(kuò)張，因此初始化輪廓可以設(shè)置在圖像的任意位置．

2.2 本文模型

用式（11）中的fspf( I( x))取代式（1）的spf( I( x))，得到：

為了提高防邊緣泄漏的能力，用正則化的Dirac函數(shù)δε( φ)取代式（13）中的|▽?duì)諀，模型進(jìn)一步改寫為：

1）新模型中的v1和v2與SPF模型中的c1和c2有本質(zhì)上的不同，新模型是基于模糊集合理論，屬于軟分割的范疇，而SPF模型是基于經(jīng)典集合，屬于硬分割，新模型能保留更多的圖像信息；

2）本文模型用δε( φ)取代了|▽?duì)諀，提高了抗邊緣泄漏能力；

3）新模型對(duì)初始化輪廓不敏感，可以設(shè)置到圖像中的任意一個(gè)位置，可以靈活地選擇初始化方式．

2.3 水平集函數(shù)的初始化方式

初始化曲線一般可以選擇為圖像域中的一條封閉的曲線，這樣可以使活動(dòng)輪廓能更好地處理內(nèi)部區(qū)域，如，設(shè)置初始化曲線為符號(hào)距離函數(shù)．下面給出三種其它初始化方式：

1）初始曲線φ0(x)可以定義為一條封閉的曲線，例如圓或者矩形，定義可以為如下的二值函數(shù)：

其中，常數(shù)ρ≠0；

3）初始化為一個(gè)點(diǎn)．

2.4 算法步驟

主要的算法流程如下：

1）初始化水平集函數(shù)0φ；

3）根據(jù)（9）式和（10）式分別計(jì)算v1和v2；

4）根據(jù)（8）式更新隸屬函數(shù)；

5）根據(jù)（15）式演化水平集函數(shù)；

6）用高斯濾波平滑水平集函數(shù)，φ=Gσ*φ，其中，Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯核函數(shù)；

7）檢查水平集函數(shù)是否收斂，如果收斂，停止，否則，返回第3步．

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)采用Matlab編程，實(shí)驗(yàn)是在4G內(nèi)存的PC機(jī)上、Windows7、Matlab 2014a環(huán)境下完成的．本文主要從三個(gè)方面與SPF模型進(jìn)行比較：1）水平函數(shù)初始化方式的多樣性；2）水平函數(shù)初始化位置的任意性；3）抗邊緣泄漏能力．實(shí)驗(yàn)中，參照文獻(xiàn)[9]，選取參數(shù)為：ρ=1，ε=1.0，σ=1.0，K=5，α=25，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=1．

實(shí)驗(yàn)1 水平函數(shù)初始化方式的多樣性

圖1給出的是一副人工合成的圖像分割結(jié)果，圖像的左側(cè)邊緣有輕微的灰度不均勻，第一行依次采用了2.3中三種不同的初始化方式，第二行是本文模型的分割結(jié)果，第三行是SPF模型的分割結(jié)果．可以看出本文模型在三種不同的初始化方式下都取得了很好的分割效果，而SPF模型只有在第一種初始化方式下才能正確分割．說明本文模型的水平集函數(shù)初始化方式更自由，而且能處理輕度灰度不均的圖像．

圖1 本文模型與SPF模型的分割結(jié)果 (不同的初始化方式)

實(shí)驗(yàn)2 水平集函數(shù)初始化位置的任意性

圖2給出了一副灰度輕微不均的書法漢字圖像分割結(jié)果．第一列是初始化位置，第二列是本文模型的分割結(jié)果，第三列是SPF模型分割結(jié)果．從分割結(jié)果可以看出，SPF模型在情況b和c下才取得了正確分割，而本文模型在四種情況下都取得了正確分割．說明本文的模型對(duì)水平集函數(shù)的初始化位置不敏感．

實(shí)驗(yàn)3 抗邊緣泄漏能力

圖3是一副書法圖像在不同的迭代次數(shù)下兩種模型的分割結(jié)果．圖3中圖b是本文模型迭代3次的分割結(jié)果，耗時(shí)0.013 s，圖d是SPF模型迭代50次的分割結(jié)果，耗時(shí)0.483 s，可看出本文模型耗時(shí)少，收斂速度快．本文模型迭代2 500次（圖c）沒有出現(xiàn)邊緣泄漏，而SPF模型迭代170次（圖f）輪廓線就部分消失，190次（圖h）完全消失，說明本文模型抗邊緣泄漏能力強(qiáng)．

圖2 本文模型與SPF模型的分割結(jié)果 (不同的初始化位置)

實(shí)驗(yàn)4 醫(yī)學(xué)圖像分割

圖4是一副手骨X光圖像的分割結(jié)果．手骨X光圖像中呈現(xiàn)出灰度分布不均勻的情況，而且兩根手指中有六個(gè)不同的骨節(jié)，其中左側(cè)骨尖處基本與肌肉的圖像融合在了一起．圖a是水平集初始化的位置，圖b是本文模型的分割結(jié)果，圖c是SPF模型的分割結(jié)果．從分割結(jié)果可以看出，本文模型可以正確地分割六段骨節(jié)，在指尖處也得到了正確的分割，而SPF模型沒有分割出指尖處的兩段骨節(jié)，且在右側(cè)中間骨節(jié)的上端沒有正確的定位骨節(jié)邊緣．實(shí)驗(yàn)4的結(jié)果表明本文模型在分割灰度不均和多目標(biāo)圖像上比SPF模型具有優(yōu)勢(shì)．

圖3 本文模型與SPF模型在不同的迭代次數(shù)下的分割結(jié)果

圖4 手骨X光圖像的分割結(jié)果

4 結(jié)束語

本文提出一種新的基于模糊C均值的活動(dòng)輪廓模型，與SPF模型相比，該模型的水平集函數(shù)初始化方式靈活，初始化位置自由，無邊緣泄漏問題，計(jì)算效率高，收斂速度快，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，可以得到全局最優(yōu)分割，這些在對(duì)合成圖像、真實(shí)圖像的分割實(shí)驗(yàn)中已經(jīng)得到了驗(yàn)證，同時(shí)實(shí)驗(yàn)結(jié)果也顯示出本文模型能分割輕度不均圖像．

[1] Shyu K K, Pham V T, Lee P L. Global and local fuzzy energy-based active contours for image segmentation [J]. Nonlinear Dynamics, 2012, 67: 1559-1578.

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附錄：

證明：在ω內(nèi)，有：

在Ωω內(nèi)，有：

又有如下事實(shí)：

因此有：

(編輯：王一芳)

Level Set Active Contour Model Based on Fuzzy C-means

LV Hongli
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

In this paper a new level set active contour model based on fuzzy C-means is raised in allusion to the problem of SPF model that the way of level set initialization is inflexible and boundary is prone to leak. The experiment is made as follows: Firstly, a fuzzy signed pressure force (FSPF) function is constructed by the difference between the image gray value and the average gray value of the two fuzzy clustering centers, and shown to modulate the signs of pressure forces inside and outside the region of object. The fuzzy signed pressure force function is substituted for the SPF function of SPF model. Secondly,|▽?duì)諀is replaced by regularization Dirac functionδ( )φ. Finally, level set function is smoothed by Gaussian filter. Experimental results indicate that the proposed method is accurate and effective.

SPF Model; Fuzzy Sign Pressure Function; Active Contour Model; Image Segmentation; Fuzzy C-means

TP319.41

A

1674-3563(2015)03-0025-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.03.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2014-06-23

呂紅力(1982- )，男，河南商丘人，碩士研究生，研究方向：數(shù)字圖像處理