張慶展，靳永強，康志宇，肖余之

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109）

服務航天器超近程逼近目標的相對姿軌耦合控制

張慶展，靳永強，康志宇，肖余之

（上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海201109）

針對服務航天器超近程逼近目標的相對姿態(tài)軌道耦合控制問題，推導了耦合動力學模型并設計了相應控制律。通過引入描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，將相對軌道跟蹤控制問題轉化為調節(jié)器的設計問題。推導了考慮對接機構安裝位置的相對姿態(tài)軌道耦合動力學模型。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，設計了考慮未知有界干擾的相對姿態(tài)軌道耦合控制律?？紤]控制輸入受限進行數(shù)學仿真，結果表明所設計的控制律是有效的，并具有較好的性能。

在軌服務；相對姿軌；耦合控制；動力學；期望相對位置矢量

0 引 言

在軌服務是通過一系列綜合在軌操作使在軌運行航天器的能力得到改善的過程［1］。服務航天器通過對目標在軌燃料補加、在軌維修或捕獲清除等服務操作，延長目標在軌壽命、提升工作能力或減少空間碎片數(shù)量。執(zhí)行上述操作的關鍵是服務航天器完成與目標的逼近至對接任務。在超近程逼近目標至對接過程中，需控制服務航天器使其沿目標被動對接口方向逼近，同時跟蹤目標的姿態(tài)，使其主動對接口沿逼近方向指向被動對接口。顯然，逼近過程中的相對位置和姿態(tài)是耦合的，其耦合性主要體現(xiàn)在：服務航天器期望相對位置隨目標航天器的姿態(tài)變化而變化［2］；服務航天器執(zhí)行機構產生的推力與目標航天器及其自身的姿態(tài)都有關。

相對姿軌耦合控制的研究是伴隨服務操作任務的需求提出的：文獻［3］采用T-H方程描述相對動力學模型，是較成熟的方法；文獻［4］以非線性軌道動力學描述航天器之間的相對運動，參考軌道為圓軌道；文獻［5］針對衛(wèi)星的編隊飛行問題，推導了追蹤星相對目標星的姿軌耦合動力學模型，并設計自適應跟蹤控制律；文獻［6- 7］針對航天器的繞飛任務設計了姿態(tài)或軌道的跟蹤控制律；文獻［8］針對交會對接問題，考慮參數(shù)不確定性，設計了相對姿軌輸出反饋控制律；文獻［9］設計了航天器間接近操作的最優(yōu)控制律；文獻［10- 11］研究了衛(wèi)星近距離相對運動的姿軌同步問題，并設計相應的姿軌跟蹤控制律；文獻［12］研究了接近翻滾目標的最優(yōu)控制問題。上述研究在相對動力學建模中未考慮航天任務中對相對運動構型設計需求的靈活性，并且多是基于航天器間相對運動的跟蹤控制來設計控制律的。

本文綜合考慮在軌服務操作任務的多樣性及對相對運動構型需求的靈活性，引入了描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量。通過此矢量描述的相對軌道誤差動力學方程將相對軌道跟蹤控制轉化為調節(jié)器設計?？紤]對接裝置安裝位置，建立了相對姿軌耦合動力學模型?；诖藙恿W模型設計了考慮姿軌耦合及未知有界干擾的控制律。考慮工程實際中控制量受限的約束，仿真中對控制加速度和力矩進行向量限幅。

1 問題描述

服務航天器超近程逼近目標的過程中，需要同時控制其相對目標的位置和姿態(tài)，來保證兩對接裝置之間的相對狀態(tài)滿足捕獲條件。為方便問題描述，定義以下坐標系：①地心慣性坐標系（OiXiYiZi）原點Oi位于地心，OiXi軸指向春分點，OiZi軸與地球的自轉軸一致，OiYi軸與OiXi、OiZi軸形成右手系；②相對軌道坐標系（OTXTYTZT）原點OT位于目標質心，OTXT軸沿地心與目標質心連線方向背離地心，OTYT軸在軌道平面內指向目標飛行方向，OTZT軸與OTXT、OTYT軸形成右手系；③ObtXbtYbtZbt和ObsXbsYbsZbs分別表示目標和服務航天器的本體坐標系。

1.1 相對軌道動力學

圖1為服務航天器與目標的相對位置關系示意圖，圖中，rt、rs分別為目標、服務航天器的位置矢量；l為服務航天器相對目標的位置矢量；ld為服務航天器的期望相對位置矢量；Δr為服務航天器實際位置與期望位置之間的位置誤差矢量。則有關系式

圖1 服務航天器與目標的相對位置關系示意圖

由服務航天器與目標在慣性系下的軌道動力學方程相減，并結合式（1）可得

式中，d／d ti表示在慣性系中的導數(shù)；μ為地球引力常數(shù)；ut為目標的機動加速度矢量；us為服務航天器的控制加速度矢量；dt、ds分別為目標、服務航天器的攝動加速度矢量。

由式（2），并結合矢量在動坐標系中的求導公式，在相對軌道坐標系中建立服務航天器對目標的相對軌道誤差動力學模型

式中，Δ¨r、Δ˙r和¨ld˙、ld分別為Δr和ld在相對軌道系中的導數(shù)；ωT×為ωT的反對稱矩陣，且ωT＝［0 0˙ft］T為相對軌道系相對慣性系的角速度，˙ft為目標真近點角ft的導數(shù)；ubs為服務航天器本體系中的控制加速度矢量；RTs為服務航天器本體系到相對軌道系的坐標轉換矩陣；uTt、dTs和dTt分別為ut、dt和ds在相對軌道系中的表示。由式中RTsubs可見，服務航天器執(zhí)行機構在本體系中產生的控制加速度與目標及自身姿態(tài)之間存在著耦合。

對于任意的a∈R3，a×定義為

令

則由式（3）表示的相對軌道誤差動力學模型可轉化為

式中

對航天器間的相對運動而言，ld描述了期望相對運動構型的變化。相對運動的軌道控制實質上是狀態(tài)跟蹤控制，式（4）是由位置誤差Δr描述的相對軌道誤差動力學方程，它的平衡狀態(tài)是零狀態(tài)。本文引入由ld和Δr建立的相對軌道誤差動力學方程，把狀態(tài)跟蹤控制轉化為了調節(jié)器設計。這樣做的好處是：期望相對位置矢量和位置誤差矢量將航天器間的相對運動控制分解為描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量ld的設計和由位置誤差矢量Δr描述的二階系統(tǒng)調節(jié)器的設計，簡化問題的描述和控制。

服務航天器超近程逼近目標至對接的相對軌道控制與通常意義的軌道控制有區(qū)別。軌道控制一般是控制航天器的質心運動，而超近程逼近目標至對接的軌道控制是控制兩航天器對接裝置之間的相對運動狀態(tài)。圖2為捕獲裝置間的相對位置示意圖。

圖2 對接裝置間的相對位置關系示意圖

圖2中，rdt、rds分別為目標、服務航天器對接裝置在本體系中的安裝矢量；rdt／s為兩航天器對接裝置間在相對軌道系中的位置矢量。則在相對軌道坐標系中有

式中，RTt、Rst分別為目標航天器本體坐標系到相對軌道坐標系、服務航天器本體坐標系的坐標轉換矩陣。

1.2 相對姿態(tài)運動學和動力學

采用修正羅德里格參數(shù)（modified Rodrigues parameters，MRP）作為姿態(tài)描述參數(shù)，則服務航天器相對目標的姿態(tài)運動學方程［1314］為

式中，，其中σst為服務航天器本體系相對目標本體的姿態(tài)，I3×3為3×3維的單位矩陣；ωst＝ωs－Rstωt為服務航天器本體系相對目標本體系的姿態(tài)角速度，其中ωt、ωs分別表示目標、服務航天器本體系相對慣性系的姿態(tài)角速度。

對式（7）求導，并聯(lián)合歐拉方程描述的姿態(tài)動力學方程，可建立服務航天器相對目標的姿態(tài)動力學方程為

式中，利用了等式˙Rst＝－ω×stRst。

對式（7）求導，并聯(lián)合式（8）進一步可得以¨σst表示的相對姿態(tài)動力學方程

式中

由式（6）和式（9）表示的相對位置誤差和姿態(tài)動力學模型可知，控制系統(tǒng)的目的是設計相對軌道和姿態(tài)控制律，使Δr→0，Δ˙r→0，σst→0，˙σst→0。

2 相對姿軌耦合控制律設計

為方便相對姿軌耦合控制律設計，建立服務航天器相對目標的姿軌一體化耦合動力學模型。選取狀態(tài)x＝［ΔrTσTst］T，結合式（6）和式（9）建立相對姿軌一體化耦合動力學模型

式中

由式（10）可知，控制系統(tǒng)的目的是設計相對姿軌一體化耦合控制律，使

假設系統(tǒng)存在未知有界干擾，即

式中，di（i＝1，2，…，6）分別為干擾的分量；dmax為干擾的上界。為了獲得較好的控制性能，增加對未知干擾的估計，設計控制律u為

式中，kp、kd為正定對稱矩陣；sgn（·）為符號函數(shù)，且對于，定義

穩(wěn)定性證明如下：

式中，γ為大于零的常數(shù)。

對V沿狀態(tài)軌跡求導，可得

選取干擾的自適應律

將式（14）代入式（13），可得

由˙V≤0，可知V有界，故x、˙x有界。由式（10）可知¨x有界。則¨V＝－2˙xTkd¨x有界，因此˙V一致連續(xù)。由Barbalat引理可知，˙V→0，˙x→0?？紤]到閉環(huán)系統(tǒng)式（10），當t→∞時，x→0。因此當t→∞時，x→0，˙x→0，且當‖x‖→∞時，V→∞，所以由李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可知，閉環(huán)系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定［15-16］。證畢

可得作用在服務航天器本體的控制加速度為

3 數(shù)學仿真

考慮工程實際約束，為了使控制輸入不超出實際的可用執(zhí)行機構最大輸出，對控制加速度ubs和力矩Tc分別進行向量限幅［2，17］。定義

式中，umax為執(zhí)行機構可利用的最大輸出加速度；Tmax為執(zhí)行機構可利用的最大輸出力矩；其中ubsj和Tcj分別為ubs和Tc的分量。

假設閉環(huán)系統(tǒng)受到的干擾［18］具有如下形式：

式中，d0、dc和ds為未知的干擾幅值；ωo為軌道角速度。

選擇目標為地球同步軌道的航天器，服務航天器初始位置在目標后方150 m處，以0．1 m／s的速度沿直線逼近目標。服務航天器的轉動慣量矩陣為

其他仿真參數(shù)見表1。表中，at、et、it、Ωt、ωt和ft為目標航天器的初始軌道根數(shù)；ld0和˙ld0分別為服務航天器期望相對位置矢量的初值和逼近目標的速度；Δr0和Δ˙r0分別為服務航天器的初始位置誤差和速度誤差；σst0為服務航天器的初始姿態(tài)誤差；do0、doc和dos為相對干擾加速度幅值；Td0、Tdc和Tds為作用在服務航天器上的干擾力矩幅值。

表1 仿真參數(shù)

利用上述仿真參數(shù)，得仿真結果如圖3～圖7所示。圖中，rx、ry、rz為對接裝置間相對位置rdt／s的分量；Vx、Vy、Vz為對接裝置間相對速度˙rdt／s的分量；Δrx、Δry、Δrz為對接裝置間相對位置跟蹤誤差Δr的分量；ΔVx、ΔVy、ΔVz為對接裝置間相對速度跟蹤誤差Δ˙r的分量；d1、d2、d3、d4、d5和d6為估計誤差d～的分量。

圖3 對接裝置間的相對位置和速度（OTXTYTZT）

為減小式（11）中符號函數(shù)引起的抖振問題，用飽和函數(shù)sat（BT˙x，ε）來近似［19］，并定義

式中，（BT˙x）i（i＝1，2，3）為BT˙x的各個分量；ε＞0為邊界層厚度。由于飽和函數(shù)近似符號函數(shù)帶來的誤差，系統(tǒng)不再是漸近穩(wěn)定，而是漸近有界的。

圖4 對接裝置間的相對位置狀態(tài)跟蹤誤差（OTXTYTZT）

圖5 對接裝置間的相對姿態(tài)狀態(tài)跟蹤誤差（ObsXbsYbsZbs）

圖6 服務航天器的控制加速度和力矩

圖7 干擾估計誤差

由圖3可見，在期望相對位置矢量ld導引下，服務航天器從目標后方150 m處沿著被動對接端口方向以0．1 m／s的速度接近，經1 500 s平穩(wěn)逼近到目標被動對接端口。由圖4可以看出，經過60 s左右服務航天器對接裝置跟蹤上期望相對位置狀態(tài)（包括位置和速度）的變化，即Δr→0和Δ˙r→0。由圖5可見，經過70 s左右服務航天器跟蹤上目標航天器的姿態(tài)狀態(tài)（包括姿態(tài)和角速度）變化，即σst→0和ωst→0。由圖6可以看出，在服務航天器實現(xiàn)對目標的相對位置狀態(tài)和相對姿態(tài)狀態(tài)跟蹤之前，其控制加速度和力矩相對較大，完成跟蹤后迅速減小，并以相對較小的控制加速度和力矩維持相對位置狀態(tài)和相對姿態(tài)狀態(tài)的跟蹤。由圖7的干擾估計誤差可知，相對位置和姿態(tài)的干擾估值分別在80 s和85 s左右趨于干擾的真值。由于主動對接端口期望的相對位置狀態(tài)受到服務航天器本身姿態(tài)及目標航天器姿態(tài)的影響以及系統(tǒng)干擾的影響，使其在相對位置和速度的跟蹤過程中出現(xiàn)微誤差量突變，如圖4所示。

為考察航天器對接機構的安裝位置誤差、轉動慣量的不確定性誤差和其他未考慮的誤差因素對所設計的相對姿態(tài)軌道耦合控制器的影響，將標稱慣量陣增加15%的不確定性，將干擾放大10倍進行仿真（對接機構的安裝位置誤差和其他未考慮的誤差等效為干擾放大），其他的仿真參數(shù)不變，結果如圖8和圖9所示。仿真結果顯示，服務航天器相對位置狀態(tài)和相對姿態(tài)狀態(tài)的跟蹤過程依然平穩(wěn)。對比圖4和圖5，穩(wěn)態(tài)時位置跟蹤精度下降10倍，姿態(tài)跟蹤精度下降103倍，表明慣量陣不確定性對姿態(tài)控制精度影響較大。但仿真結果顯示所設計控制器仍然具有較高的控制精度，這說明本文所設計的控制律是有效的，并具有較好的魯棒性。

圖8 干擾放大后的相對位置狀態(tài)跟蹤誤差（OTXTYTZT）

圖9 干擾放大后的相對姿態(tài)狀態(tài)跟蹤誤差（ObsXbsYbsZbs）

4 結 論

服務航天器超近程逼近目標至對接的過程中相對姿態(tài)和軌道是耦合的。本文建立了考慮對接裝置安裝位置的相對姿軌一體化耦合動力學模型。通過引入描述相對運動構型變化的期望相對位置矢量和位置誤差矢量，將相對軌道跟蹤控制問題轉化為調節(jié)器設計問題。考慮了相對姿軌耦合性及未知干擾影響，設計了相對姿軌耦合控制律。仿真中考慮控制輸入受限，仿真結果表明本文所設計的控制算法是有效的，并具有較好的控制性能，且對外界干擾具有一定的魯棒性。本文提出的通過設計期望相對位置矢量來描述相對運動構型變化的方法，同樣適用于其他空間操作的控制實現(xiàn)，如航天器的空間快速繞飛及編隊飛行隊形保持等。

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Coupled control of relative position and attitude for servicing spacecraft approaching the target in close proximity

ZHANG Qing-zhan，JIN Yong-qiang，KANG Zhi-yu，XIAO Yu-zhi
（Aerospace System Engineering Shanghai，Shanghai 201109，China）

Considering the relative position and attitude coupled control problem for servicing spacecraft approaching the target in close proximity，a novel coupled dynamic model is derived and an effective control law is designed．Via introducing the desired relative position vector and position error vector，which describe the relative motion configuration，the relative position tracking control is transformed to the regulator design．Considering installation location of docking mechanisms，the coupled relative position and attitude dynamic equations are derived．And considering unknown bounded interference，the coupled relative position and attitude control law is proposed by using the Lyapunov stability theory．Under the condition of bounded control inputs in numerical simulations，the results indicate that the coupled control law is effective with perfect performance．

on-orbit servicing；relative position and attitude；coupled control；dynamics；desired relative position vector

V 448．2

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．23

張慶展（1987-），男，工程師，碩士，主要研究方向為航天器姿態(tài)、軌道控制。

E-mail：zh．q．zh＠163．com

靳永強（1981-），男，高級工程師，博士，主要研究方向為航天器姿態(tài)、軌道控制。

E-mail：jinyong_qiang＠126．com

康志宇（1976-），男，研究員，博士，主要研究方向為航天器總體設計。

E-mail：kzy＠126．com

肖余之（1964-），男，研究員，碩士，主要研究方向為航天器總體設計。

E-mail：xyz＠126．com

1001-506X（2015）01-0141-07

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 02- 25；

2014- 07- 01；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2014- 08- 15。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140815．1315．001．html

上海市科學技術委員會（13QB1404000）資助課題