張向陽，廖桂生，許京偉，曾 操

（1．西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071；2．南昌航空大學信息工程學院，江西南昌330063）

概率約束MIMO雷達穩(wěn)健發(fā)射波形設(shè)計方法

張向陽1，2，廖桂生1，許京偉1，曾 操1

（1．西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室，陜西西安710071；2．南昌航空大學信息工程學院，江西南昌330063）

傳統(tǒng)多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）雷達發(fā)射波形設(shè)計方法對傳播矩陣誤差敏感，導致難以得到最優(yōu)的匹配波形，進而造成系統(tǒng)檢測性能嚴重下降。針對此問題，提出一種基于概率約束的MIMO雷達穩(wěn)健發(fā)射波形設(shè)計方法。該方法考慮最差情況的發(fā)生為小概率事件，基于輸出信噪比（signal noise ratio，SNR）低于可接受水平的概率小于中斷概率的約束條件，通過最大化輸出信噪比設(shè)計最優(yōu)波形。利用傳播矩陣誤差的概率分布特性，將概率約束轉(zhuǎn)化為凸約束，從而將統(tǒng)計優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化問題。該方法在傳播矩陣存在誤差情況下以高概率實現(xiàn)系統(tǒng)性能最優(yōu)化。仿真結(jié)果表明所提方法能夠提高輸出SNR，具有較好的檢測性能。

多輸入多輸出雷達；概率約束；波形設(shè)計；穩(wěn)健算法；最優(yōu)化

0 引 言

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）雷達作為一種新體制雷達，相對于傳統(tǒng)相控陣雷達而言具有獨特優(yōu)勢［1-2］，近年來一直是國內(nèi)外學者關(guān)注的熱點之一。傳統(tǒng)相控陣雷達發(fā)射相干波形，而MIMO雷達利用波形分集技術(shù)可獲得空間分集增益，有效改善系統(tǒng)性能［3］。與傳統(tǒng)相控陣雷達相比，共置天線MIMO雷達具有更高的分辨率，更好的低速動目標檢測能力［4］，因而在軍事和民用中具有廣泛的應(yīng)用前景。

MIMO雷達波形設(shè)計主要有基于協(xié)方差矩陣的波形設(shè)計方法［5］、基于模糊函數(shù)的波形設(shè)計方法［6］以及擴展目標的波形設(shè)計方法［7］。本文主要考慮基于協(xié)方差矩陣的波形設(shè)計方法。MIMO雷達發(fā)射波形設(shè)計通?；谀繕撕铜h(huán)境的先驗知識進行，而此先驗知識通過估計得到，因而不可避免的存在估計誤差。此時，波形設(shè)計難以實現(xiàn)最優(yōu)匹配，造成系統(tǒng)檢測性能下降。對角加載采樣矩陣求逆算法（loaded sample matrix inversion，LSMI）［8］是常見的自適應(yīng)穩(wěn)健方法之一，該方法通過對采樣協(xié)方差矩陣進行對角加載，可提高自適應(yīng)算法的收斂速度和穩(wěn)健性，但其加載量由經(jīng)驗參數(shù)給出，沒有解析解。最近，最差性能最優(yōu)化方法［910］利用求解約束問題得到該加載量的解析形式，大幅提高了系統(tǒng)的穩(wěn)健性。最差性能最優(yōu)化方法認為傳播矩陣誤差為確定的未知量，并提高系統(tǒng)最差情況下的性能，以保證系統(tǒng)的整體性能。實際中，最差情況的發(fā)生概率非常小，屬小概率事件，因此，該方法過于保守從而導致不必要的性能損失。文獻［11- 13］研究了基于統(tǒng)計分布特性的穩(wěn)健波形設(shè)計方法。統(tǒng)計方法認為傳播矩陣誤差為一服從某一分布的隨機變量，因此可以考慮信噪比低于可接受水平的概率小于中斷概率的條件下，只需保證系統(tǒng)在傳播矩陣誤差分布概率較高的范圍內(nèi)正常工作即可。當然，當小概率事件發(fā)生時（傳播矩陣誤差超出上述范圍），系統(tǒng)性能惡化。文獻［14］提出了基于通信系統(tǒng)服務(wù)質(zhì)量的概率約束方法，提高了系統(tǒng)的利用效率；文獻［15］基于概率約束考慮了穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成器和多用戶MIMO接收器的設(shè)計問題，在陣列誤差滿足一定概率分布函數(shù)條件下，得到確定的無失真響應(yīng)約束形式。文獻［16］考慮在非精確傳播矩陣條件下，提出MIMO通信系統(tǒng)中概率約束的波束形成方法。

針對傳統(tǒng)MIMO雷達波形設(shè)計為傳播矩陣誤差敏感的問題，本文提出一種基于概率約束的MIMO雷達穩(wěn)健波形設(shè)計方法。該方法考慮傳播矩陣誤差服從一定的統(tǒng)計分布形式條件下，保證系統(tǒng)輸出信噪比（signal to noise ratio，SNR）小于可接受水平的概率小于中斷概率，適當縮小傳播矩陣誤差約束范圍，提高系統(tǒng)性能。該方法克服了傳統(tǒng)最差性能最優(yōu)化方法過于保守的缺陷，使得系統(tǒng)性能以高概率接近最優(yōu)。同樣，當傳播矩陣誤差超過一定范圍時（小概率事件），系統(tǒng)性能難以保證?？紤]傳播矩陣誤差服從一定的概率分布形式，因此可將概率約束條件轉(zhuǎn)化為確定的凸約束，從而將統(tǒng)計問題轉(zhuǎn)化為確定的凸優(yōu)化問題，實現(xiàn)了系統(tǒng)整體性能的最優(yōu)化。仿真結(jié)果表明所提方法提高MIMO雷達平均輸出SNR和目標的檢測性能。

1 系統(tǒng)模型

考慮發(fā)射、接收陣元數(shù)分別為Mt，Mr的共置MIMO雷達系統(tǒng)，設(shè)第i（i＝1，2，…，Mt）個發(fā)射陣元的發(fā)射波形可表示為si∈CN×1，其中N為快拍數(shù)，則發(fā)射波形可表示為表示轉(zhuǎn)置。假設(shè)發(fā)射窄帶信號，且傳輸過程中沒有色散，則對于單個點目標，MIMO雷達接收信號矩陣Y∈CMr×N為

式中，β為目標復幅度，與目標雷達散射面積（radar cross section，RCS）成正比，其相位在［0，2π］之間均勻分布；θ為目標方位角度；H＝b（θ）aT（θ），H∈CMr×Mt為傳播矩陣；Z表示加性白噪聲，服從均值為0，相關(guān)矩陣為σ20IMr的高斯分布；a（θ）∈CMt×1和b（θ）∈CMr×1分別為陣列的發(fā)射及接收導向矢量：

式中，f0為雷達載頻；τm（θ）（m＝1，2，…，Mt）表示第m個發(fā)射陣元的信號傳播至目標所需要的時間；τ～n（θ）（n＝1，2，…，Mr）則表示信號從目標傳播至第n個接收陣元所需要的時間。假設(shè)傳播矩陣精確已知，目標幅度β＝1，平均輸出SNR為

式中，（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置。由式（4）可知，平均輸出SNR依賴于傳播矩陣H和發(fā)射波形S。實際中，傳播矩陣H只能通過估計得到，而估計不可避免的存在誤差。假設(shè)估計得到的傳播矩陣為^H∈CMr×Mt，真實傳播矩陣H和估計傳播矩陣^H滿足如下關(guān)系：

式中，E為傳播矩陣誤差，其每列為服從獨立同分布的復高斯變量，即：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），σ2e為誤差方差。由于估計誤差的存在，傳統(tǒng)基于傳播矩陣的波形設(shè)計方法性能下降，難以實現(xiàn)最優(yōu)匹配。

2 基于概率約束優(yōu)化的穩(wěn)健設(shè)計

本節(jié)考慮系統(tǒng)輸出信噪比低于可接受水平的系統(tǒng)小于中斷概率的條件下，通過概率約束方法實現(xiàn)最優(yōu)波形設(shè)計，提高系統(tǒng)檢測性能。同時考慮傳播矩陣誤差服從一定的概率分布形式，并通過松弛約束條件將概率約束問題轉(zhuǎn)化為確定的凸優(yōu)化問題，以實現(xiàn)高效求解。

將式（5）代入式（4），得SNR為傳播矩陣估計值^H和傳播矩陣誤差E的函數(shù)為

式中，Rs＝SSH為發(fā)射信號相關(guān)矩陣。為簡化式（6），利用特征值分解：

結(jié)構(gòu)與式（7）類似的函數(shù)可對特征值的模Us及Dh分別最大化［17］。實際中估計得到的傳播矩陣是先驗已知的，因此，給定，最優(yōu)解U*s滿足，將最優(yōu)解代入式（7），可得目標函數(shù)為

通過約束所有可能的傳播矩陣誤差條件下的系統(tǒng)性能，可保證最差情況下，系統(tǒng)正常工作。然而最差情況（傳播矩陣誤差較大）出現(xiàn)的概率很小。因此，考慮將約束的傳播矩陣誤差的范圍適當縮小，保證系統(tǒng)平均輸出SNR小于可接受水平的概率小于中斷概率（系統(tǒng)能夠以較大的概率正常工作）即可。即，給定系統(tǒng)中斷概率pout，使得

式中，Pr｛A｝表示事件A發(fā)生的概率；γ為給定可接受的SNR水平，并且此時傳播矩陣誤差E的不確定范圍相比傳統(tǒng)最差性能情況要小。基于這一概率約束的波形優(yōu)化問題可表式為

式中，第2個條件約束發(fā)射總功率；第3個條件保證發(fā)射相關(guān)矩陣Rs的正定性；第1個約束條件即所謂概率約束：輸出SNR小于可接受水平γ的概率小于中斷概率pout，換言之，該約束條件保證系統(tǒng)輸出SNR以高概率超過γ；然而該約束為統(tǒng)計意義上的約束，需要大量樣本，工程中難以實現(xiàn)。本文基于傳播矩陣誤差服從復高斯分布的假設(shè)，考慮將該概率約束轉(zhuǎn)換為確定約束。由文獻［18］可知，實現(xiàn)SNR最大化即可實現(xiàn)檢測概率最大化，求解式（10）即可得檢測概率最大的發(fā)射波形。

由二元高斯分布隨機變量的性質(zhì)可知，式（6）中的SNR服從非中心χ2分布。利用Rs＝UsDs和矩陣跡的有關(guān)操作，式（6）可表示為獨立非中心（δi）分布隨機變量Zi（i＝1，…，Mt）的組合［8］，即

自由度ni＝2Mr；矢量代表矩陣的第i列。由此，式（10）可寫為

為了將式（12）中的概率約束轉(zhuǎn)換為確定約束，令

則

從而

又

因此

由式（16）～式（19）可得

由此，本文設(shè)計可轉(zhuǎn)化為如下概率約束下的優(yōu)化問題：

至此，已得到概率約束的平均SNR最大化表達式，并將概率約束轉(zhuǎn)換為確定約束，第3節(jié)中用仿真實驗驗證該方法性能。

3 仿真實驗

基于收發(fā)共置MIMO雷達，分別對等功率加載波束形成方法［5］、最差情況波束形成方法［13］和本文方法的檢測性能進行仿真分析，以驗證本文方法的有效性。其中，發(fā)射和接收陣元數(shù)分別為Mt＝Mr＝4，目標方位角為0。中斷概率pout＝10%，歸一化SNR門限ˉγ＝0.9。E的每列為服從獨立同分布的復高斯變量：eij～N（0，σ2e）（i＝1，…，Mr；j＝1，…，Mt），誤差方差0≤σ2e≤1。選擇最差情況誤差邊界確保它能覆蓋90%的不確定區(qū)域，即：Pr｛‖E2‖≤εworst｝＝90%，其中‖E2‖為誤差模值，εworst為誤差邊界。仿真在傳播矩陣獨立同分布和相關(guān)衰落兩種情況下進行，每個實驗都進行了1 000次蒙特卡羅實驗。

3.1 傳播矩陣獨立同分布

圖1 傳播矩陣獨立同分布時平均輸出SNR和曲線

為進一步考察該方法的性能，圖3給出了本文方法和最差情況方法在＝0.2，0.5，0.9這3種誤差方差下歸一化SNR的直方圖，圖3（a）、（b）和（c）為本文方法結(jié)果，圖3（d）、（e）和（f）為最差情況方法結(jié)果。σ2e較小時，兩種方法的SNR分布都集中在0．9以上，以較高的概率分布在較高的SNR。隨著誤差方差的增加，概率約束方法SNR分布無明顯變化，而對于最差情況方法來說，其SNR分布集中在更高的誤差附近。說明隨著誤差方差的增加，概率約束方法仍然以較高的概率分布在較高的SNR，而最差情況方法輸出SNR分布左移。

圖2 傳播矩陣獨立同分布時SNR超過門限的概率和曲線

圖3 傳播矩陣獨立同分布時歸一化SNR直方圖，＝0.2，0.5，0.9

圖4 發(fā)射方向圖θ＝0°，＝0.2，0.5，0.9

3.2 傳播矩陣存在相關(guān)衰落

由于路徑損耗，多徑傳播等原因會引起傳播矩陣的衰落。下文的相關(guān)矩陣根據(jù)文獻［9］的模型確定，固定天線間距d＝0.5λ，角度擴展δθ＝3°。

期望傳播矩陣相關(guān)矩陣HHH的特征值為0.945 5，0.046 1，0.000 3。平均輸出SNR與σe2的曲線如圖5所示。由圖5可知：隨著σe2的增加，3種方法的輸出SNR下降，概率約束方法的整體性能最佳，最差情況方法次之，等功率加載方法最差，并且在高不確定區(qū)域性能改進明顯。對于大的方差，σe2＞0.9，概率約束方法和最差情況方法之間差別可達1.5 dB。說明在加大誤差方差時，本文方法仍能保持較高的輸出SNR，而最常情況方法SNR損失嚴重。圖6給出了平均輸出SNR超過設(shè)定門限的概率隨σe2變化的曲線。圖6的結(jié)果表明概率約束方法總能滿足概率約束并且保證概率大于等于98%。相反，隨著誤差水平的增加，最差情況方法曲線下降明顯。在＝0.9時二者差別可達70%。

為了進一步考察該方法的性能，圖7給出了本文方法和最差情況方法在＝0.2，0.5，0.9這3種誤差方差下歸一化SNR的直方圖，圖7（a）、（b）和（c）為本文方法結(jié)果，圖7（d）、（e）和（f）為最差情況方法結(jié)果。σ2e較小時，兩種方法的SNR分布都集中在0．9以上，以較高的概率分布在較高的SNR。隨著誤差方差的增加，概率約束方法SNR分布無明顯變化，而對于最差情況方法來說，其SNR分布集中在更高的誤差附近。說明隨著誤差方差的增加，概率約束方法仍然以較高的概率分布在較高的SNR，而最差情況方法輸出SNR分布左移。

圖5 傳播矩陣相關(guān)衰落時平均SNR和曲線

圖6 傳播矩陣相關(guān)衰落時SNR超過設(shè)定門限的概率和曲線

圖7 傳播矩陣相關(guān)衰落時歸一化SNR直方圖，σ0．2，0．5，0．9

4 結(jié) 論

本文提出概率約束的MIMO雷達發(fā)射波形設(shè)計方法，在最大化平均輸出SNR同時對傳播矩陣估計誤差穩(wěn)健。該方法被建模為一個概率約束優(yōu)化問題，所以接收端輸出SNR低于設(shè)定門限的概率才能小于設(shè)定值，假設(shè)傳播矩陣估計誤差服從復高斯分布，將概率約束轉(zhuǎn)化為一個凸約束。得到的凸優(yōu)化問題可利用現(xiàn)有方法高效求解。仿真結(jié)果表明提出的方法的優(yōu)于流行的最差情況方法。因為其優(yōu)越的整體性能和穩(wěn)健性，概率約束方法為傳播矩陣信息不準確時的發(fā)射波形設(shè)計提供了一種備用方法。

［1］Sammartino P F，Baker C J，Griffiths H D．Frequency diverse MIMO techniques for radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2013，49（1）：201- 222．

［2］Krieger G．MIMO-SAR：opportunities and pitfalls［J］．IEEE Trans.on Geoscience and Remote Sensing，2014，52（5）：2628- 2645．

［3］Qu Y，Liao G S，Li J，et al．Constrictive total least square improved algorithm in MIMO radars［J］．Systems Engineering and Electronics，2009，31（2）：319- 322．（曲毅，廖桂生，李軍，等．MIMO雷達約束總體最小二乘改進算法［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，31（2）：319- 322．）

［4］Li C C，Liao G S，Zhu S L，et al．Study of subarray domain m-Capon method for MIMO radar［J］．Systems Engineering and Electronics，2010，32（6）：1117- 1120．（李彩彩，廖桂生，朱圣棋，等．MIMO雷達子陣級m-Caopn方法研究［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32（6）：1117- 1120．）

［5］Friedlander B．On transmit beamforming for MIMO radar［J］．IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（4）：3376- 3388．

［6］Antonio S G，F(xiàn)uhrmann D R，Robey F C．MIMO radar ambiguity functions［J］．IEEE Journal Selected Topics Signal Processing，2007，1（1）：167- 177．

［7］Li J，Stoica P．MIMO radar signal processing［M］．New Jersey：Wiley，2009．

［8］Paulraj A，Nabar R，Gore D．Introduction to space-time wireless communications［M］．1st ed．Cambridge：Cambridge University Press，2003．

［9］Yang Y，Blum R S．Minimax robust MIMO radar waveform design［J］．IEEE Journal Selected Areas Communications，2007，1（1）：147- 155．

［10］Grossi E，Lops M，Venturino L．Robust waveform design for MIMO radars［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（7）：3262- 3271．

［11］Chung P J，Du H Q，Gondzio J．A probabilistic constraint approach for robust transmit beamforming with imperfect channel information［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（6）：2773- 2782．

［12］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel mean feedback［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2002，50（10）：2599- 2613．

［13］Zhou S，Giannakis G B．Optimal transmitter eigen-beamforming and space-time blocking based on channel covariance［J］．IEEE Trans.on Information Theory，2003，49（7）：1673- 1690．

［14］Xin H，Chen J W，Wu Y C．QoS constrained robust MIMO transceiver design under unknown interference［C］∥Proc.of the 7th International ICST Conference on Communications and Networking，2012．

［15］Vorobyov S A，Rong Y，Gershman A B．Robust minimum variance adaptive beamformer and multiuser MIMO receiver：from the worst-case to probabilistically constrained designs［C］∥Proc.of the International Conference on Acoustics，Speechand Signal Processing，2006：977- 980．

［16］Du H Q，Chung P J．A probabilistic approach for robust leakage-based MU-MIMO downlink beamforming with imperfect channel state information［J］．IEEE Trans.on Wireless Communications，2012，11（3）：1239- 1247．

［17］Pascual-Iserte A，Palomar D P，Perez-Neira A I，et al．A robust maximin approach for MIMO communications with imperfect channel state information based on convex optimization［J］．IEEE Trans.on Signal Processing，2006，54（1）：346- 360．

［18］Mark A R．Fundamentals of radar signal processing［M］．New York：McGraw-Hills，2005．

Design of robust transmit waveform for MIMO radars based on probabilistic constraint

ZHANG Xiang-yang1，2，LIAO Gui-sheng1，XU Jing-wei1，ZENG Cao1
（1.National Lab of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China；2.School of Information Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China）

Conventional waveform design methods for multiple-input multiple-output（MIMO）radars are sensitive to transport matrix errors，so the optimal matched-waveform is hard to achieve，and the detection performance degrades dramatically．To mitigate this problem，a novel robust waveform design method is introduced for MIMO radars based on probabilistic constraint．In this method，the probability of the worst case is considered very small．Therefore，the probability of the output signal noise ratio（SNR）less than the acceptable level is constrained no more than the outage probability，and the optimal waveforms are designed to maximize the output SNR．Using the characters of statistical distribution of transport matrix errors，the probabilistic constraint is transformed to a deterministic convex constraint．So the statistical optimization problem is converted to a convex optimization problem．This method maximizes the performance with high probability under transport matrix errors．The simulation results show that the method increases the output SNR and detection performance．

multi-input multi-output（MIMO）radar；probabilistic constraint；waveform design；robust arithmetic；optimization

TN 958

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．08

張向陽（1980-），男，講師，博士研究生，主要研究方向為MIMO雷達技術(shù)。

E-mail：zxyky2002＠163．com

廖桂生（1963-），男，教授，博士，主要研究方向為雷達探測系統(tǒng)信號處理、空時自適應(yīng)處理、天基預(yù)警和陣列信號處理。

E-mail：liaogs＠xidian．edu．cn

許京偉（1987-），男，博士研究生，主要研究方向為空時自適應(yīng)處理。E-mail：xujingwei1987＠163．com

曾 操（1979-），男，副教授，博士，主要研究方向為陣列信號處理、雷達地面動目標檢測。

E-mail：czeng＠m(xù)ail．xidian．edu．cn

1001-506X（2015）01-0042-06

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 01- 16；

2014- 03- 28；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 06- 27。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140627．0947．004．html

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（973計劃）（2011CB707001）；國家自然科學基金（61101243）；航空科學基金（2014056005）；江西省教育廳青年科學基金（GJJ14544）資助課題