郭 志，董春云，蔡遠利，于振華

（1．西安交通大學電子與信息工程學院，陜西西安710049；2．空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

時變轉(zhuǎn)移概率IMM-SRCKF機動目標跟蹤算法

郭 志1，董春云1，蔡遠利1，于振華2

（1．西安交通大學電子與信息工程學院，陜西西安710049；2．空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

給出了一種交互多模型（interacting multiple model，IMM）算法中Markov轉(zhuǎn)移概率矩陣在線修正的方法，并將平方根容積卡爾曼濾波器（square-root cubature Kalman filter，SRCKF）引入到IMM算法中，提出一種時變轉(zhuǎn)移概率的機動目標跟蹤IMM-SRCKF算法。該算法利用當前量測中包含的模式信息，對IMM算法中的轉(zhuǎn)移概率矩陣進行實時遞推估計，避免了常規(guī)IMM算法中轉(zhuǎn)移概率先驗確定的困難，提高了模型切換速度和跟蹤精度；同時，SRCKF以目標狀態(tài)協(xié)方差的平方根進行迭代更新，確保了濾波過程中協(xié)方差矩陣的對稱性和半正定性，改善了數(shù)值精度和穩(wěn)定性。仿真實驗結(jié)果表明，該算法對機動目標的跟蹤性能優(yōu)于常規(guī)的IMM及IMM-CKF算法。

機動目標跟蹤；交互多模型；平方根容積卡爾曼濾波；Markov轉(zhuǎn)移概率

0 引 言

機動目標跟蹤是狀態(tài)估計與信息融合領(lǐng)域的研究熱點之一，一直被研究者所關(guān)注，其難點在于機動模型的設(shè)計和濾波器的選擇［1］。由于目標機動的不可預測性，采用單一模型的濾波器常因模型選擇與目標實際運動不匹配而導致濾波發(fā)散，交互多模型（interacting multiple model，IM M）算法較好地解決了這一問題。它以一組不同的子模型描述目標的運動過程，各子模型并行濾波運算，模型之間的切換服從Markov過程，最終將各模型濾波器輸出的加權(quán)和作為目標運動狀態(tài)的最終估計［2］。IM M算法已廣泛應用于機動目標跟蹤領(lǐng)域［310］。

Markov轉(zhuǎn)移概率矩陣（以下簡稱Markov矩陣）是IMM算法的重要參數(shù)之一，影響模型之間的交互與切換，一般根據(jù)先驗信息人為選取為固定的主對角占優(yōu)矩陣［11］。研究表明，由于目標運動的不確定性，該固定先驗假設(shè)的模型概率轉(zhuǎn)換方式是模式切換與未切換情況下的折衷［12］。由于Markov矩陣先驗信息的不確定會使濾波跟蹤精度下降［9］，因此，轉(zhuǎn)移概率的在線自適應估計一直是國內(nèi)外研究的熱點問題，文獻［8，11，13- 14］分別給出了幾種不同的設(shè)計方法。考慮到系統(tǒng)當前的模式信息隱含在當前量測中，為了提高模型的切換速度和濾波精度，應充分利用當前的量測信息，在線更新多模型濾波器的轉(zhuǎn)移概率參數(shù)。本文討論了一種簡單有效的利用量測數(shù)據(jù)在線估計模型轉(zhuǎn)移概率的方法，并給出了遞推公式。

濾波器的選擇是IMM算法中另一個重要問題，濾波器的性能直接影響著濾波與跟蹤的精度。實際目標跟蹤過程中，量測值多在極坐標系中得到，而目標的運動狀態(tài)信息常常用直角坐標描述，二者之間的關(guān)系是非線性的，需要選擇合適的非線性濾波器。最經(jīng)典的非線性濾波方法是擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF），思路和實現(xiàn)都比較簡單，但由于一階線性化過程中會引入近似誤差，而且需要計算Jacobian矩陣，影響了濾波的精度和實時性，對于強非線性問題濾波容易發(fā)散。粒子濾波算法（particle filter，PF）計算量過大，難以滿足目標跟蹤的實時性要求。文獻［15］提出的無跡卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）利用UT變換對非線性概率密度進行近似，對任何非線性系統(tǒng)的近似精度都能達到二階以上，精度高于EKF，計算量遠小于PF。將UKF作為IMM算法中濾波器的IMM-UKF算法已經(jīng)得到了廣泛的應用［1，3］。但運用UKF濾波器處理高維系統(tǒng)（n≥4）時必須合理地選擇參數(shù)才能達到較高的精度［15］。

容積卡爾曼濾波器（cubature Kalman filter，CKF）是文獻［16］提出的一種新的非線性濾波器，它采用一組等權(quán)值的Cubature點，基于球面徑向準則求解Bayesian濾波的積分，與EKF、UKF等相比具有更好的非線性逼近能力，數(shù)值精度更高，穩(wěn)定性更好。文獻［5］首次將CKF濾波器應用到IMM算法中，設(shè)計了一種用于機動目標跟蹤的IMMCKF算法，取得了比IMM-UKF更好的跟蹤效果。此后，IMM-CKF算法已經(jīng)越來越受到國內(nèi)外學者的關(guān)注［4，6，10，17］。但由于IMM-CKF采用的是常規(guī)的CKF濾波器，而常規(guī)CKF在計算中，每步迭代都需要進行矩陣開方運算，計算機舍入誤差的積累容易引起誤差協(xié)方差矩陣失去非負定性甚至對稱性，甚至導致濾波結(jié)果發(fā)散，嚴重影響目標的跟蹤性能。平方根CKF算法［18］（square-root cubature Kalman filter，SRCKF）通過引入正交三角分解，避免了每步迭代的矩陣開方運算，而是直接對協(xié)方差矩陣的平方根進行迭代計算，解決了常規(guī)CKF算法中濾波結(jié)果易發(fā)散的問題，提高了濾波的精度和穩(wěn)定性。

本文在IMM-CKF算法的基礎(chǔ)上，借鑒平方根UKF改善常規(guī)UKF濾波計算數(shù)值精度和穩(wěn)定性的思想［3，19］，將一種新的更具數(shù)值穩(wěn)定性的SRCKF濾波器與IMM算法相結(jié)合，并引入一種時變轉(zhuǎn)移概率的技巧，提出了帶有轉(zhuǎn)移概率在線修正的IMM-SRCKF機動目標跟蹤算法，為解決目標跟蹤中非線性系統(tǒng)的動態(tài)濾波問題提供了一種新的思路與方法。計算機仿真結(jié)果表明，與IMM-CKF相比，本文算法能有效提高濾波精度和穩(wěn)定性，實時性更好，具有更好的目標機動跟蹤能力。

1 SRCKF算法

對于離散時間動態(tài)系統(tǒng)

式中，xk∈Rnx為目標狀態(tài)向量；zk為傳感器量測向量。假設(shè)過程噪聲wk－1～N（0，Qk－1），量測噪聲vk～N（0，Rk），且wk－1和vk相互獨立。

SRCKF算法首先要計算Cubature點和對應的權(quán)值。3階容積準則下的基本Cubature點和對應權(quán)重為

式中，m表示Cubature點總數(shù)，且m＝2nx，記nx維單位向量為e＝［1，0，…，0］T；符號［1］表示對e中元素進行全排列和取反所生成的點集，稱為完整全對稱點集，［1］j表示點集［1］中的第j個點。以nx＝2為例，［1］表示為

如果k－1時刻狀態(tài)估計的后驗概率分布為p（xk－1| z1∶k－1）～N（xk－1；^xk－1，Pk－1），方差Pk－1的Cholesky分解因子為Sk－1，即Sk－1＝Chol｛Pk－1｝。SRCKF算法步驟如下：

步驟1 時間更新

步驟1.1 計算狀態(tài)Cubature點

步驟1.2 計算狀態(tài)Cubature點的傳播

步驟1.3 計算狀態(tài)一步預測和預測方差的平方根

式中，Tria（·）為三角分解；SQ，k－1＝Chol（Qk－1）；ˉSk為下三角陣；矩陣χ*k定義為

步驟2 量測更新

步驟2.1 計算量測Cubature點

步驟2.2 計算量測Cubature點的傳播

步驟2.3 計算量測一步預測、預測誤差協(xié)方差的平方根和協(xié)方差

式中，矩陣γk、χk定義為

步驟2.4 計算濾波增益矩陣

式中，“／”表示矩陣的右除。

步驟2.5 計算k時刻的最優(yōu)狀態(tài)估計和協(xié)方差的平方根

2 IMM-SRCKF算法

IMM算法包含交互作用器、卡爾曼濾波器、模型概率估計器和估計混合器4個部分。采用第1節(jié)給出的SRCKF算法作為IMM算法中的卡爾曼濾波器，便可得到IMM-SRCKF算法?，F(xiàn)給出IM M-SRCKF算法從k－1到k時刻的遞推步驟。

步驟1 輸入初值交互

令^xj（k－1|k－1）為k－1時刻濾波器j的狀態(tài)估計，Pj（k－1|k－1）為相應的狀態(tài)協(xié)方差陣，且假設(shè)系統(tǒng)r個模型間的轉(zhuǎn)移服從Markov鏈，其轉(zhuǎn)移概率為則交互計算后濾波器j

在k時刻的輸入初值為

步驟2 卡爾曼濾波

根據(jù)步驟1求得k時刻模型初始條件^xoj（k－1|k－1）和Poj（k－1|k－1），利用第1節(jié)所述的SRCKF算法可以計算出第j個模型的狀態(tài)估計^xj（k|k）及相應的協(xié)方差矩陣Pj（k|k），其中Pj（k|k）＝Sj（k|k）STj（k|k）。

步驟3 模型概率更新

假定模型j的濾波殘差服從高斯分布，則其似然函數(shù)和模型概率更新分別為

式中，；濾波殘差vj（k）及其協(xié)方差Sj（k）分別表示為

步驟4 狀態(tài)估計與協(xié)方差組合

設(shè)^x（k|k）、P（k|k）分別為k時刻的狀態(tài)估計及其協(xié)方差，則有

3 模型轉(zhuǎn)移概率實時修正算法

上述IMM算法假定輸入交互過程為一Markov過程，模型之間的跳變規(guī)律服從Markov鏈［2021］，即

式中，M（k）＝Mj表示j時刻系統(tǒng)模式為Mj；pij是系統(tǒng)由模型i轉(zhuǎn)移到模型j的轉(zhuǎn)移概率。

轉(zhuǎn)移概率決定著輸入交互的作用程度，而標準IMM中Markov矩陣Pt是根據(jù)歷史先驗信息或主觀決策在濾波開始前確定并保持不變的，由于目標的機動性和先驗信息的失真，這種先驗假設(shè)的Markov矩陣并不能反映實際目標運動模式的轉(zhuǎn)換，給跟蹤濾波器帶來了誤差［9］。為此，我們考慮用后驗信息對其進行實時修正。由于目標的實時運動模型影響著當前的量測信息，所以可以充分利用當前的量測，在線更新IMM算法中模型轉(zhuǎn)移概率，使之符合實際情況。

對于IMM算法的r個子模型，k時刻子模型j的概率uj（k）越大，說明此子模型與真實的目標運動模式越匹配，那么其他子模型向這一匹配模型轉(zhuǎn)移的概率應越大。基于這種思想對Markov矩陣Pt進行修正。

假設(shè)k－1時刻模型j概率為uj（k－1），k時刻的模型概率為uj（k），那么相鄰時刻的模型概率之差反映了某一模型與實際運動模式的匹配程度的變化，這種后驗信息可以用來修正模型之間的轉(zhuǎn)移概率?？紤]到轉(zhuǎn)移概率值的非負性，取對數(shù)形式的模型概率變化率為

從式（21）可以看出，當模型j的概率增大時，κj（k）＞1；當模型j的概率減小時，κj（k）＜1?；诖耍梢岳忙蔶（k）與Markov矩陣Pt中的元素相乘對其進行修正。假設(shè)k－1時刻Markov矩陣第i行第j列的元素為pij（k－1），用κj（k）對其進行修正，可得

考慮到k時刻某一模型向所有其他模型（包括自身）的轉(zhuǎn)移概率之和應該為1，為滿足這一性質(zhì)需對式（22）進行歸一化。對于i，j＝1，2，…，r，最終得到k時刻修正后的轉(zhuǎn)移概率計算公式為

從式（23）可知，當模型j的概率隨時間增大時，修正后的Markov矩陣Pt的第j列元素隨之增大，那么在下一時刻濾波進行前的模型相互交互中，模型概率大的子模型（匹配模型）的估計輸出在交互過程中所占的比重更大；相反，模型概率較小（非匹配模型）的子模型濾波器的估計輸出在交互過程中所占的比重減小。通過這種利用量測數(shù)據(jù)自適應地修正模型轉(zhuǎn)移概率的方法，放大了匹配模型的作用，抑制了非匹配模型的作用。模型轉(zhuǎn)換過程中更多地利用匹配模型的信息，而減小非匹配模型的影響，使收斂速度得到提高［14］。不難看出，修正之后的轉(zhuǎn)移概率仍然滿足轉(zhuǎn)移概率的兩條基本性質(zhì)［8］，即

帶轉(zhuǎn)移概率修正的IMM-SRCKF算法流程如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)移概率修正IMM-SRCKF算法流程圖

4 仿真與結(jié)果分析

以二維平面坐標系內(nèi)的單雷達單機動目標跟蹤為例，目標x和y方向初始位置和速度分別為（10 km，35 km）和（－270 m／s，290 m／s），在平面內(nèi)做直線-轉(zhuǎn)彎機動，仿真周期T＝5 s，仿真時長100T。目標實際運動過程如下：

（1）t＝0～26T，直線運動；

（2）t＝27T～43T，以角速度ω1＝1°／s向左做慢速轉(zhuǎn)彎機動；

（3）t＝44T～68T，直線運動；

（4）t＝69T～73T，以角速度ω2＝3°／s向右做快速轉(zhuǎn)彎機動；

（5）t＝74T～100T，直線運動。

實際跟蹤過程中，目標的機動形式和發(fā)生的時刻等信息對于跟蹤雷達來說是未知的，因此機動目標模型集的建立是IMM算法研究的熱門，本文不做詳細論述，這里假設(shè)所建立的模型集可以覆蓋目標可能的運動模式，但目標機動時刻和機動大小對于雷達仍具有很強的不確定性。文中采用CV模型和CT模型對目標進行建模［5，22］，即模型個數(shù)r＝2。取狀態(tài)向量x＝［x，x·，y，˙y，ω］，其中x和y分別為目標在x軸和y軸的位置分量，x·和˙y分別為目標在x軸和y軸的速度分量，ω為轉(zhuǎn)彎角速度。對于勻速直線運動，其狀態(tài)方程為

其中

系統(tǒng)過程噪聲為

式中，q1和q2分別為x和y方向的過程噪聲系數(shù)，這里取q1＝q2＝0.01。

對于圓周轉(zhuǎn)彎運動，其狀態(tài)方程為

其中

相應地可計算其過程噪聲

式中，q1，q2同上，q3為轉(zhuǎn)彎速度噪聲系數(shù)，且q3＝10－6。

假設(shè)量測雷達位于二維平面（x0，y0）坐標處，這里x0＝y(tǒng)0＝20 km，并可以對目標的距離和方位角進行實時量測，量測方程［23］為

假設(shè)量測誤差服從正態(tài)分布并相互獨立，即vk～N（0，R），且R＝diag（σr2，σθ2），這里σr＝10 m，σθ＝0．1°。

濾波器的初值計算方法為：由1時刻的量測解算目標位置坐標，由0時刻和1時刻的量測數(shù)據(jù)利用差分法求速度，并令初始轉(zhuǎn)彎速率ω＝0，可得1時刻目標的狀態(tài)初值為

狀態(tài)初值估計協(xié)方差［24］可由下式確定：

式中

a為轉(zhuǎn)彎速率初值估計方差，這里取a＝1。

文獻［5］和文獻［10］已經(jīng)證實IMM-CKF比IMMUKF和IMM-EKF等具有更強的跟蹤性能，因此，這里僅將本文算法與IMM-CKF進行比較。進行N＝100次蒙特卡羅仿真，設(shè)定IMM算法中兩個子模型的初始概率均為0．5，且初始Markov矩陣取為

算法的跟蹤性能可以通過位置分量和速度分量的均方根誤差（root mean square error，RMSE）［6］和累計均方根誤差（accumulative root mean square error，ARMSE）［25］曲線做比較進行評價，位置RMSE和ARMSE的表達式為

式中，k＝1，2，…，K為仿真時間序列；n＝1，2，…，N為蒙特卡羅仿真次數(shù)。同理可得速度相應公式。

圖2給出了本文算法的目標跟蹤軌跡與真實運動軌跡，為了更清楚地展示算法跟蹤效果，圖3和圖4對圖2中兩個轉(zhuǎn)彎機動時刻附近的雷達跟蹤效果進行了局部放大。圖5～圖8為本文算法與IMM-CKF的對比，其中位置RMSE和速度RMSE分別如圖5和圖6所示，模型概率變化曲線如圖7和圖8所示。表1給出了兩種算法跟蹤性能指標的統(tǒng)計對比。仿真平臺是2．33G主頻CPU、2G內(nèi)存的PC機，軟件環(huán)境是Matlab 2009。

圖2 目標真實運動軌跡與雷達跟蹤軌跡

圖3 目標第1次轉(zhuǎn)彎機動時刻附近跟蹤軌跡

圖4 目標第2次轉(zhuǎn)彎機動時刻附近跟蹤軌跡

圖5 位置均方根誤差變化曲線

仿真結(jié)果表明，本文算法和IMM-CKF算法均得到了較好的目標跟蹤效果，沒有出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象。但本文算法優(yōu)于常規(guī)IMM-CKF，具體表現(xiàn)在：

（1）跟蹤精度更高。從表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，對于上述機動目標的跟蹤，無論是位置還是速度，本文算法的跟蹤精度都高于IMM-CKF，位置跟蹤誤差減小了9．71%，速度跟蹤誤差減小了32．41%。在軌跡跟蹤中，當目標不發(fā)生機動或機動較?。?7T）時，兩種算法跟蹤精度都較好，且跟蹤精度差別不大；但是在目標發(fā)生較大機動時（69 T），雖然兩種算法的位置和速度跟蹤誤差均較大，但本文算法精度明顯優(yōu)于IMM-CKF，表現(xiàn)在誤差超調(diào)更小，收斂更快。

（2）模型切換速度更快更合理。從圖7和圖8可以看出，在t＝27T，44T，69T，74T目標機動時刻，本文算法模型概率能很快地過渡切換到真實的模型，滯后比IMM-CKF算法要小得多，且兩個模型概率曲線與真實模型概率曲線十分接近。因此本文算法的模型切換速度更快，且模型轉(zhuǎn)換更合理。對實際目標運動模型跟蹤性能良好也是導致跟蹤精度高于IM M-CKF算法的主要原因。

（3）魯棒性、實時性更好。從表1的算法運行時間一欄可以看出，本文算法耗時0．167 s，低于IMM-CKF算法16．92%。因為本文SRCKF算法直接用協(xié)方差矩陣的平方根進行迭代計算，因此不僅避免了累計舍入誤差導致的協(xié)方差矩陣負定，提高了數(shù)值魯棒性［26］，而且不需要常規(guī)CKF算法中每次迭代需要的矩陣分解，所以實時性更好。進一步對仿真結(jié)果數(shù)據(jù)進行分析可知，本文算法跟蹤誤差方差更小，穩(wěn)定性更好。

圖7 CV模型概率變化曲線

圖8 CT模型概率變化曲線

表1 本文算法與IMM-CKF算法跟蹤性能對比

5 結(jié) 論

本文提出的時變轉(zhuǎn)移概率IM M-SRCKF算法融合了IMM算法對目標不同機動模式的自適應能力和SRCKF濾波精度高的優(yōu)點，有效克服了常規(guī)IMM-CKF算法模型轉(zhuǎn)移概率不準確、數(shù)值穩(wěn)定性差的缺點，跟蹤精度、模型切換速度和計算量都優(yōu)于常規(guī)IMM-CKF算法，是一種非常有效的機動目標跟蹤算法。如何進一步提高算法在目標模型切換時的估計精度，是我們下一步打算開展的工作。

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Time-varying transition probability based IMM-SRCKF algorithm for maneuvering target tracking

GUO Zhi1，DONG Chun-yun1，CAI Yuan-li1，YU Zhen-hua2
（1.School of Electronic and Information Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China；2.School of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xi’an 710077，China）

An on-line updating method of Markov transition probability for the interacting multiple model（IMM）algorithm is proposed，and the square-root cubature Kalman filter（SRCKF）is introduced into IMM，so a novel time-varying Markov transition IMM-SRCKF algorithm is obtained．Using real-time recursive estimation method based on the system mode information implicit in the current measurements，the proposed algorithm effectively avoids the problem of prior determination of the Markov transition probability matrix in traditional IMM．Furthermore，SRCKF propagates the square root of the covariance in filter interaction so that it guarantees the symmetry and positive semi-definiteness of the covariance matrix and greatly improves the numerical stability and numerical accuracy．Simulation results show that the proposed algorithm has better tracking performance and higher efficiency compared with the conventional IMM and IMM-CKF．

maneuvering target tracking；interacting multiple model（IMM）；square-root cubature Kalman filter（SRCKF）；Markov transition probability

TN 953

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．05

郭 志（1986-），男，碩士研究生，主要研究方向為目標跟蹤與非線性濾波。

E-mail：guo．zhi0621＠stu．xjtu．edu．cn

董春云（1989-），女，博士研究生，主要研究方向為飛行器軌跡優(yōu)化與優(yōu)化方法評估、飛行器跟蹤。

E-mail：dongdong_2007y＠163．com

蔡遠利（1963-），通訊作者，男，教授，博士，主要研究方向為飛行器制導控制與仿真、動態(tài)系統(tǒng)估計與濾波、復雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail：ylicai＠m(xù)ail．xjtu．edu．cn

于振華（1977-），男，副教授，博士，主要研究方向為信息物理融合系統(tǒng)形式化建模與分析、目標跟蹤。

E-mail：zhenhua_yu＠163．com

1001-506X（2015）01-0024-07

網(wǎng)址：www．sys-ele．com

2014- 03- 17；

2014- 06- 25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 07- 23。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140723．1812．001．html

國家自然科學基金（61202128）；宇航動力學國家重點實驗室開放基金（2011ADL－JD0202）資助課題