李行達

摘 要：函數(shù)是在探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的基礎(chǔ)上抽象出的重要數(shù)學概念，是研究現(xiàn)實世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。通過對2014年部分省市中考試題的分析，探討了函數(shù)這一部分內(nèi)容在中考命題中呈現(xiàn)出的新動向。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；綜合；實踐

近幾年的中考函數(shù)內(nèi)容試題主要關(guān)注：將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學模型；滲透函數(shù)的思想；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系；通過實際問題情境分析確定函數(shù)的表達式等?，F(xiàn)探討二次函數(shù)知識的考查新動向：

一、將函數(shù)與幾何變換相結(jié)合

例：（2014·溫州）如圖1，矩形ABCD的頂點A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對角線的交點與原點O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的周長始終保持不變，則經(jīng)過動點A的反比例函數(shù)y=（k≠0）中k的值的變化情況是（ ）

A.一直增大 B.一直減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

分析：設(shè)矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長始終保持不變，則a+b為定值.根據(jù)矩形對角線的交點與原點O重合及反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義可知k=AB·AD=ab，再根據(jù)a+b一定時，當a=b時，ab最大，可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.

把圖形與變換與函數(shù)相結(jié)合，既考查了學生幾何建模以及探究活動的能力，又考查了學生對幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系、多角度、多層次綜合運用數(shù)學知識、數(shù)學思想方法分析和解決問題的能力，是近幾年命題的重點.

二、突出考查數(shù)形結(jié)合的思想

“數(shù)”與“形”是數(shù)學中的兩個最基本的概念。每一個幾何圖形都蘊含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形予以直觀的反應和描述，所以數(shù)形結(jié)合也就成為研究數(shù)學問題的重要思想方法。函數(shù)是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，其結(jié)構(gòu)特點主要體現(xiàn)為更高的抽象性，體現(xiàn)著“數(shù)與式”“圖形”和“圖表”的結(jié)合及轉(zhuǎn)化的關(guān)系，體現(xiàn)著相互依賴的兩個變量之間的變化規(guī)律。

例：（2014·瀘州）如圖2，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是（3，a）（a>3），半徑為3，函數(shù)y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為4，則a的值是（ ）

A.4 B.3+

C.3 D.3+

解：如圖3，作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連接PB，如圖，

∵⊙P的圓心坐標是（3，a），

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D點坐標為（3，3），

∴CD=3，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴△PED也為等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE==1，

∴PD=PE=，

∴a=3+.

故選B.

平面幾何與函數(shù)相結(jié)合，既考查了學生幾何建模以及探究活動的能力，又考查了學生對幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系、多角度、多層次綜合運用數(shù)學知識、數(shù)學思想方法分析和解決問題的能力，是近幾年來全國各地數(shù)學中考的熱點題型，備受命題者的青睞。其基本的命題立意是通過在平面直角坐標系中將函數(shù)與平面幾何中的三角形、四邊形以及圓等知識結(jié)合起來。解這類問題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題的目的。

三、建立數(shù)學模型，解決應用問題

數(shù)學建模是培養(yǎng)學生實際應用能力的重要途徑，是數(shù)學教育改革發(fā)展的方向。在新課標高中教材中還將學習數(shù)學模型、建模方法以及用數(shù)學建模來解決實際問題的步驟。這就要求教師在平時教學中要引導學生逐步養(yǎng)成用數(shù)學的眼光看待周圍事物和現(xiàn)象的習慣，激勵學生將所學數(shù)學知識和方法應用于現(xiàn)實生活，體會數(shù)學應用的價值，進而形成數(shù)學建模意識，促進數(shù)學素質(zhì)提高。

例如，（2014年四川資陽）某商家計劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調(diào)的采購單價y1（元/臺）與采購數(shù)量x1（臺）滿足y1=-20x1+1500（0

（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價不低于1200元，問該商家共有幾種進貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調(diào)和冰箱，且全部售完.在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺時總利潤最大？并求最大利潤.

分析：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺，然后根據(jù)數(shù)量和單價列出不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺數(shù)是正整數(shù)確定進貨方案；

（2）設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于空調(diào)和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式并整理成頂點式形式，然后根據(jù)函數(shù)的增減性求出最大值即可.

解答：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺，

由題意得，x≥（20-x） ①-20x+1500≥1200 ②，不等式組的解集是11≤x≤15，

∵x為正整數(shù)，

∴x可取的值為11、12、13、14、15，所以，該商家共有5種進貨方案.

（2）設(shè)總利潤為W元，

y2=-10x2+1300=-10（20-x）+1300=10x+1100，

則W=（1760-y1）x1+（1700-y2）x2，

=1760x-（-20x+1500）x+（1700-10x-1100）（20-x），

=30（x-9）2+9570，

當x>9時，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當x=15時，W最大值=30（15-9）2+9570=10650（元），

答：采購空調(diào)15臺時，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元.

本題考查了二次函數(shù)的應用，一元一次不等式組的應用：（1）關(guān)鍵在于確定出兩個不等關(guān)系；（2）難點在于用空調(diào)的臺數(shù)表示出冰箱的臺數(shù)并列出利潤的表達式.

四、突出函數(shù)知識的探究性

近年來，中考試卷加強了對探究能力、獲取信息和處理信息能力、空間觀念操作能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題能力的考查力度，加強對學生數(shù)學思維過程和思維方法的考查。課標中對函數(shù)的基本性質(zhì)達到Ⅲ級（探究性理解水平）。要求能把握函數(shù)的本質(zhì)及其內(nèi)容、形式的變化；能從實際問題中抽象出函數(shù)模型或作出歸納假設(shè)進行探索，能把具體的現(xiàn)象上升為函數(shù)本質(zhì)聯(lián)系，從而解決問題；會對函數(shù)進行擴展或?qū)?shù)學問題進行延伸，會對解決函數(shù)過程中的合理性、完整性、簡潔性的評價和追求作有效的思考。

例如，（2014·揚州）某店因為經(jīng)營不善欠下38400元的無息貸款的債務，想轉(zhuǎn)行經(jīng)營服裝專賣店又缺少資金.“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經(jīng)營的利潤償還債務（所有債務均不計利息）.已知該店代理的品牌服裝的進價為每件40元，該品牌服裝日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的關(guān)系可用圖4中的一條折線（實線）來表示.該店應支付員工的工資為每人每天82元，每天還應支付其他費用為106元（不包含債務）.

（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該店暫不考慮償還債務，當某天的銷售價為48元/件時，當天正好收支平衡（收入=支出），求該店員工的人數(shù)；

（3）若該店只有2名員工，則該店最早需要多少天能還清所有債務，此時每件服裝的價格應定為多少元？

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)收入等于支出，可得一元一次方程，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；

（3）分類討論40≤x≤58，或58≤x≤71，根據(jù)收入減去支出大于或等于債務，可得不等式，根據(jù)解不等式，可得答案.

從中考探究性試題設(shè)計的實踐來看，此類試題的設(shè)計不應孤立地對基礎(chǔ)知識和基本技能進行測試，而應放在分析和解決數(shù)學問題的背景中去評價，應體現(xiàn)情境性、探究性、開放性和實踐性的統(tǒng)一，為那些在日常教學中實實在在進行過探究式學習的學生提供施展才能的機會.

總之，在函數(shù)教學中，應加強問題變式的研究。數(shù)學問題的演變是從基礎(chǔ)問題出發(fā)進行變化，對學生的思維能力要求較高，但仍有一定的方法可循。教師應引導學生根據(jù)現(xiàn)有的思維水平，把碰到的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的數(shù)學問題，變中求解、解中求變。

參考文獻：

王偉.數(shù)學變式百例精講[M].寧波出版社，2006.

編輯 王團蘭