王許丞 高軍暉

摘 要：該文用數(shù)值方法研究二維滲流模型中不同導(dǎo)通比例下最大團(tuán)簇的變化規(guī)律。我們先介紹了滲流模型的兩種形式——鍵模型和位模型；然后通過數(shù)值模擬的方法產(chǎn)生邊長(zhǎng)為L(zhǎng)個(gè)單位、導(dǎo)通比例為P的二維正方形位滲流，最后統(tǒng)計(jì)出最大團(tuán)簇的面積與P的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，無(wú)論L取何值，最大團(tuán)簇的面積都會(huì)隨著P值的增加而增加，并且隨著L值的增大，曲線變得越陡。同時(shí)，P值在0.6附近，最大團(tuán)簇面積顯著增加。我們?cè)谧詈蟮挠懻摬糠郑懻摿伺R界概率及其三種計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：滲流模型位 滲流導(dǎo)通比例 最大團(tuán)簇?cái)?shù)值 模擬

中圖分類號(hào)：O346 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）12（c）-0156-02

1 滲流與滲流模型

在多空介質(zhì)中存在大量隨機(jī)分布的細(xì)小通道（毛細(xì)管），流體能否穿透介質(zhì)就歸結(jié)為這些細(xì)小的通道是否聯(lián)通的問題，是一種隨機(jī)性問題。

滲流模型，也稱為逾滲模型，是Simon Broadbent 和 John Hammersley在1957年提出的一種模擬流體能否穿透一塊多空介質(zhì)（如火山巖）的數(shù)學(xué)模型[1]。而滲流狀態(tài)，是指系統(tǒng)中出現(xiàn)了一個(gè)大的團(tuán)簇，能夠?qū)⑦@些格點(diǎn)的上下兩個(gè)邊界或左右兩個(gè)邊界滲透或打通。滲流模型是臨界現(xiàn)象的概率模型。由于其研究方法和結(jié)果易推廣到其他的隨機(jī)媒介以及本身含有大量容易描述但難處理的公開問題而備受數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的青睞。

滲流模型在很多應(yīng)用科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有廣泛作用。如土壤力學(xué)、地下水水文學(xué)、石油工程、地?zé)峁こ?、給水工程、環(huán)境工程、化工和微機(jī)械等等。

2 滲流模型的構(gòu)建

滲流模型的空間結(jié)構(gòu)是規(guī)整的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，該文討論的是二維正方形網(wǎng)格上的滲流模型。

滲流模型有兩種，分別是鍵滲流模型和位滲流模型[2]。

鍵滲流模型關(guān)注的是網(wǎng)格的邊，稱為鍵。網(wǎng)格上的每根鍵獨(dú)立地以概率P開通，以概率1-P閉鎖。用黑線表示網(wǎng)格的邊是開通的鍵，而空白的邊是閉鎖的鍵。圖1是P=0.25的一個(gè)例子，圖2是P=0.75的一個(gè)例子。顯然，P的值越大，鍵的密度就越大。

相互連通的黑線鍵構(gòu)成一個(gè)簇。其中有一個(gè)連通介質(zhì)左右邊界的最大簇（稱為巨簇），形成了介質(zhì)的穿透（即滲流）。這種模型也被稱為鍵滲流。

滲流模型的另一種方式是位滲流，它關(guān)注網(wǎng)格的格點(diǎn)（稱為位）是否被占據(jù)，而不是邊的開通與否。假設(shè)每個(gè)格點(diǎn)獨(dú)立地以概率P被占據(jù)，以概率1-P未被占據(jù)[3]。

如果那些被占據(jù)的格點(diǎn)彼此相鄰，則它們就形成一個(gè)簇。相鄰的判斷準(zhǔn)則與元胞自動(dòng)機(jī)一致，這里采用馮-諾依曼（Von.Neumann）型，即一個(gè)元胞的上、下、左、右相鄰四個(gè)元胞為該元胞的鄰居[4]。

圖3中，一共有5個(gè)團(tuán)簇，從上往下、從左往右，5個(gè)團(tuán)簇的面積分別是2、7、1、4、1個(gè)單位。最大團(tuán)簇的面積為7。

下面，將分析P值對(duì)位滲流最大團(tuán)簇大小的影響。

3 模擬方法與結(jié)果

用數(shù)值方法進(jìn)行模擬，可以得到L值以及P值變化時(shí)模型的整體情況。

對(duì)P取0.1～0.9之間的整十分位數(shù)，對(duì)于每個(gè)P值都進(jìn)行了20次模擬，然后計(jì)算出與每個(gè)P值對(duì)應(yīng)的最大團(tuán)簇的平均面積，最后將其與總面積相比得到相對(duì)值。

模擬了L值分別為10、20、50、100以及200時(shí)，最大團(tuán)簇的面積隨P值而變化的情況。統(tǒng)計(jì)得到的結(jié)果見表1。表1中，L值分別為10、20、50、100、200。

4 結(jié)果分析

接下來(lái)，對(duì)所有得到的數(shù)據(jù)描點(diǎn)作圖，就可以得到L取某值時(shí)，最大團(tuán)簇面積與總面積比值的變化規(guī)律，見圖4。

圖4中，橫坐標(biāo)是P值，縱坐標(biāo)是最大團(tuán)簇的平均面積與總面積相比得到相對(duì)值。從圖4中可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論L取何值，最大團(tuán)簇的面積都會(huì)隨著P值的增加而增加，并且隨著L值的增大，曲線變得越陡。圖5描述了不同P值情況下，最大團(tuán)簇面積的變化值。

從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，除了L=10，變化值最大出現(xiàn)在P值為0.7的位置，其余四種尺度下，變化值最大均出現(xiàn)在P值為0.6的位置。并且隨著L值的增大，最大的變化值也增大。

5 討論

事實(shí)上，在二維正方形方格上的位相變臨界概率Pc出現(xiàn)在0.6附近，為0.59274621。

當(dāng)存在一個(gè)連通左右邊界的簇時(shí)，我們就說(shuō)出現(xiàn)了滲流。很顯然，概率P將會(huì)是一個(gè)決定染色格子和鍵數(shù)量的關(guān)鍵參數(shù)。如果初始染色格子或鍵密度較大，則容易形成較大的團(tuán)簇，反之，如果密度較小，就很難形成大的團(tuán)簇。

在一個(gè)無(wú)限大的格點(diǎn)世界中（L無(wú)窮大），存在一個(gè)臨界的概率Pc，當(dāng)P小于Pc的時(shí)候，系統(tǒng)不能形成滲流，而當(dāng)P大于Pc的時(shí)候，系統(tǒng)可以形成滲流。那么這個(gè)Pc就是臨界概率。

計(jì)算臨界概率的方法有多種。第一種方法是通過一種叫重整化的方法近似計(jì)算出臨界概率[5]。第二種方法是通過寫出在L無(wú)窮大情況下，任意一個(gè)格點(diǎn)隸屬于一個(gè)無(wú)窮大的滲流團(tuán)簇的概率表達(dá)式，來(lái)求得臨界概率的Pc大小。第三種方法，即該文采用的數(shù)值方法，通過研究二維滲流模型中不同導(dǎo)通比例下最大團(tuán)簇的變化規(guī)律，可以認(rèn)為，最大團(tuán)簇面積變化值最大處對(duì)應(yīng)的P值，就是臨界概率Pc。

參考文獻(xiàn)

[1] Broadbent，Simon；Hammersley，John，“Percolation processes I.Crystals and mazes”[Z].Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1957，53：629-641，

[2] 肖柳青，周石鵬.隨機(jī)模擬方法與應(yīng)用[M].北京大學(xué)出版社，2014.

Xiao L Q and Zhou S P， Stochastic simulation method and its application[Z].Peking University Press，2014，246-249.

[3] Kim Christensen and Nicholas R. Moloney，Complexity and Criticality[Z].Published October by Imperial College，2005：3-4.

[4] Burks A W（editor）.Essay on Cellular Automata.Urbana， IL： University of Illinois Press，1970.Yoshio YugeH，Renormalization-group approach for critical percolation behavior in two dimesions[J].Phys Rev（B），1978，18：1514-1517.