付長靜， 李國英，陳 亮，趙天龍

(1. 南京水利科學研究院，江蘇南京 210029； 2. 河海大學土木與交通學院，江蘇南京 210098)

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利用溫度場計算滲透流速的數(shù)學模型

付長靜1,2， 李國英1，陳 亮2，趙天龍1

(1. 南京水利科學研究院，江蘇南京 210029； 2. 河海大學土木與交通學院，江蘇南京 210098)

通過溫度場探測堤壩滲漏的技術已經得到了廣泛應用，利用溫度場求解相關滲流參數(shù)的理論也得到快速發(fā)展。利用溫度場計算滲流參數(shù)時通常假定存在一條或多條集中的滲漏通道，并在此基礎上建立數(shù)學模型，計算滲漏通道的滲透流速及滲漏流量，但這種處理方式僅對滲漏通道進行研究，得到的近似結果并不一定符合工程實際。部分學者利用熱傳導理論及滲流理論建立數(shù)學模型，但由于其邊界條件假定過于理想，模型在應用過程中存在局限性。在總結前人研究成果的基礎上，設定了更符合實際情況的邊界條件，建立有限空間內基于滲流問題的二維溫度場數(shù)學模型，并在一定初始條件和邊界條件下解出模型的解析解，最后以西藏某水庫為例，驗證了該數(shù)學模型的合理性。

溫度場； 滲流場； 滲透流速； 邊界條件； 數(shù)學模型

圖1 不同原因造成大壩事故統(tǒng)計Fig.1 Statistical data of dam failure caused by different factors

近年來全球自然災害頻繁發(fā)生，Allianz SE近期發(fā)布的一個自然災害風險預測報告指出，洪水災害是目前世界最頻發(fā)的自然災害之一，堤壩建設成為治理洪水災害的一個重要舉措。大壩事故和垮壩的原因主要有漫頂、管涌和滲漏、滑坡、泄洪道損壞等。根據(jù)大壩失事數(shù)據(jù)， 大壩由于管涌和滲漏導致的事故和垮壩遠比其他原因導致的事故要多，各種原因在大壩事故和垮壩中所占的比例見圖1所示。

滲透流速是重要的滲流參數(shù)，滲透流速的確定在實際工程應用中有重要意義。一般情況下，堤壩的滲透流速可在不同的試驗條件下采用傳統(tǒng)點稀釋定理確定，但點稀釋法測量地層滲透性分析理論存在局限性，同時采用放射性同位素作為示蹤劑的方法不能大范圍推廣[1]。鑒于溫度測量簡單，參數(shù)容易獲取，且溫度作為天然示蹤劑，不會對環(huán)境造成污染[2]，近年來利用溫度分析堤壩滲流參數(shù)的新方法得以迅速發(fā)展。R. G. Niswonger[3]介紹了幾種溫度示蹤方法來估算河床滲漏和水力傳導系數(shù)的概念框架，對用于溫度場研究的數(shù)學模型進行了探討，列出了相關建模方法，并給出了模型校正的方法，同時進行了靈敏度和不確定性分析； 瑞典學者研究了土壩中熱力學-滲流水的過程，由能量守恒方程、質量守恒方程、滲流運動方程以及初始條件、邊界條件，定量描述壩基中的熱流和滲流場，推導出相關的計算公式，并設計了數(shù)據(jù)計算方法及程序[4]；陳建生等[5-6]將地層中集中滲漏通道看作線熱源，根據(jù)滲漏通道內部的溫度變化是由水流帶來的，其外部溫度靠熱傳導進行，以及熱傳導及能量守恒理論，推導出溫度在地層中的分布趨勢，建立了線熱源法模型；孫蘇才等[7]在線熱源模型研究基礎上，對該模型進一步優(yōu)化，并利用室內試驗對優(yōu)化后的方法進行了驗證。曾明明等[8]考慮了水與壩體之間同時存在熱傳導與熱對流，建立了堤壩滲漏的溫度場瞬態(tài)模型，并將之應用到工程中。本文在前人研究的基礎上，建立了有限空間內基于滲流問題的二維溫度場數(shù)學模型，并根據(jù)初邊值條件解得其解析表達式。最后以西藏某水庫為例，利用該數(shù)學模型解析表達式編程求解滲透流速，并與現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)對比，驗證了該數(shù)學模型的合理性。

1 有限空間內二維溫度場模型的建立及求解

1.1 模型假設

利用傳熱理論研究滲流問題時，一般只需考慮滲透流速等宏觀物理量，不需要了解流體質點運動的細節(jié)，將滲流介質作為多孔介質進行研究分析。由于滲流由壓力差所引起，因此傳熱形式屬于強制對流換熱。流體的速度場在強制對流換熱中不依賴于溫度場[9]，因此模型假定： ①壩體材料均勻且各向同性；②任一橫截面上水的流量與溫度保持不變。③巖(土)中水的熱、物性參數(shù)不隨傳熱的進行而發(fā)生變化；④水是不可壓縮的；⑤壓力功黏滯損耗忽略不計。

1.2 模型邊界條件

在研究地層溫度場和建立溫度場數(shù)學模型時，都需要確定溫度邊界。溫度場內部的溫度變化是由外界氣溫水溫變化、內部滲流水通過以及地溫梯度引起變化的總和。

通常外界水溫和氣溫的周期性變化，對土體內部溫度有一定影響，影響深度與溫度變化的周期有關。隨著影響深度的增加，溫度變化幅度呈指數(shù)減小。因此對于淺層土，這種影響不能忽略，模型考慮了外界水溫和氣溫的影響，并且選用當?shù)氐娜掌骄鶞囟茸鳛榈乇頊囟?。土與水接觸時可按第一類邊界條件分析，假定表面溫度等于水溫，對于研究堤壩問題，可通過監(jiān)測現(xiàn)場庫水的溫度作為邊界條件。由于大地熱流的熱傳導主要發(fā)生在垂直方向，因此地熱的基流向上運動，地熱流動通常比較小，文中取q0=0.02 W/m2[10]。

1.3 模型求解

模型原理和幾何計算模型見圖2。

圖2 幾何計算模型Fig.2 A computational geometry model

本文不考慮水沿土體垂直方向的流動，根據(jù)滲流理論、傳熱理論及給出的邊界條件，研究區(qū)域的溫度場的數(shù)學物理方程可以描述為：

(1)

式中:T為土體溫度(℃);ρw為水密度(kg/m3);cw為水比熱(J/(kg·℃));ρ為土體密度(kg/m3);c為土體比熱(J/(kg·℃));λ為土體熱傳導系數(shù)(W/(m·℃));vx為沿土體水平方向的流速(m/s);T0,T1,T2,T3為土體的初始溫度、地表的溫度、水流出土體的溫度和水流入土體的溫度；h1為土體與大氣壓下氣體之間的對流換熱系數(shù)(W/(m2·℃))，h2為土體與水之間的對流換熱系數(shù)(W/(m2·℃));解T(x,y,t)得到基于有限空間內基于滲流的二維溫度場模型的解析表達式:

(2)

圖3 勘探孔、出水口示意Fig.3 Schematic diagram of borehole and water outlet

2 模型驗證

2.1 現(xiàn)場試驗

某水庫位于西藏，壩址高程3 790 m，是以灌溉為主的中型水庫。大壩建成以來壩腳處出現(xiàn)了滲水現(xiàn)象，開挖結果顯示有滲水從排水棱體中流出，由于滲漏范圍大，無法判斷具體的滲漏位置及滲透流速，因此需要進行檢查。

現(xiàn)場進行了滲透流速測定，流速測試的主要過程是在裸孔或帶有濾水管的鉆孔中投放示蹤劑，每米測定示蹤劑在鉆孔中的濃度，利用一定時間后鉆孔中示蹤劑的濃度變化來求得鉆孔滲透流速，結合多個鉆孔不同深度的流速數(shù)據(jù)可以得到流速在深度方向與平面方向上的分布。現(xiàn)場流速測試主要在大壩觀測孔及壩上勘探孔中進行，觀測孔編號Y1～Y8(見圖3)。

通過對現(xiàn)場單孔稀釋試驗得到的勘測孔的實際滲透流速分析，可得Y4～Y6地表下20 m附近存在滲漏區(qū)域。本文擬利用所推數(shù)學模型主要計算Y4，Y5，Y6的滲透流速，并與實測值進行對比，驗證模型的合理性。

2.2 理論計算

圖4 理論計算模型簡圖Fig.4 Simplified figure of a theoretical model

在實際工程中，壩體浸潤線通常為土體中滲流水的自由表面，在橫斷面上為一條曲線，但在土體內局部區(qū)域，可將其視為多條平行的直線，同時按浸潤線將土層分成若干個單元土層，根據(jù)各單元土層內實測的溫度值、庫水實測溫度及排水溝實測溫度，利用式(2)可求得每個單元土層的滲透流速，進而得出整個壩體的橫剖面內的流場分布。計算模型簡圖見圖4。

因單元土層厚度足夠小，因此在誤差允許范圍內，表達式中T值可由現(xiàn)場監(jiān)測孔的溫度監(jiān)測值(表)代替。表達式的其他計算參數(shù)Pw=1 000 kg/m3，Cw=4 200 J/(kg·K)，h1=8.8 W/(m2·℃)，ρ=2 200 kg/m3，h2=4.19×103W/(m2·K)，q0=0.02 W/m2，λ=0.988 W/(m·℃)。

根據(jù)模型假定，實際計算過程中T1由當?shù)厝掌骄鶜鉁乇O(jiān)測資料獲得。T3為庫水溫度，經測量庫水溫度值為14.4 ℃。T2為排水溝測孔溫度，P4，P5，P6的排水溝溫度實測值分別為13.6, 14.3和14.5 ℃。q0=0.02 W/m2，由于計算結果過多，此處將不再詳細列出滲透流速計算結果。

表1 各鉆孔溫度實測值

本文利用Y4～Y6孔的滲透流速實際測定值與理論計算值繪制出相應的流速對比圖，如圖5所示。

圖5 勘探孔Y4～Y6流速曲線對比Fig.5 Contrast figure of permeability velocity curves in Y4～Y6

由圖5可見，在實際滲透流速曲線中，孔深25 m左右出現(xiàn)一處約2 m/d的大流速。利用模型計算的流速值也可看出該點流速大于其他測點流速，說明該處存在滲漏問題。Y5實際流速較小，但20～25 m深度區(qū)域相對其他區(qū)域流速較大，約0.2 m/d。通過模型計算也可看出該區(qū)流速異常，最大流速值為0.16 m/d。Y6孔也顯示出相同情況。

通過以上3孔可以看出，理論分布曲線與實測曲線趨勢大致相同，且理論流速值與實測值數(shù)量級大致相同，在誤差允許范圍內。以上結果論證了理論模型的合理性，說明其具有工程實用性。

3 結 語

本文在前人研究的基礎上，建立了有限空間內基于堤壩滲流問題的二維溫度場數(shù)學模型，并在初邊界條件下，得到該數(shù)學模型的解析表達式。結合工程實例針對建立的二維模型進行驗證。通過工程實例對比分析可知，利用該數(shù)學模型求解的滲透流速值與現(xiàn)場試驗測得的流速值數(shù)量級大致相同，在誤差允許的范圍內，該模型合理，且具有工程應用價值。

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(河海大學《水利大辭典》修編辦公室供稿)

(聯(lián)系人：馬敏峰，025-83787381)

A mathematical model for calculating penetration velocity using temperature field

FU Chang-jing1,2, LI Guo-ying1, CHEN Liang2, ZHAO Tian-long1

(1.NanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029,China; 2.CollegeofCivilandTransportationEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

Detecting dam leakage through the temperature field has a wide range of applications to practical works, and the theory using temperature field to solve seepage parameters is also developed rapidly. Scholars use temperature field to calculate seepage parameters. They assume that there are one or more leakage passages to establish a mathematical model which is used to calculate seepage velocity and seepage discharge. But this approach is only for dealing with problems of leakage channel, and this computation can’t be applied to all projects. Some of the scholars have established the mathematical models by using heat transport theory and percolation theory. However, those models are difficult to apply to solving all practical problems in engineering works because their boundary conditions are too ideal. Based on the summarization of previous findings, we have established a two-dimensional temperature model of the dam in semi-infinite space, and obtained the analytical expressions of the temperature in the initial boundary conditions in this study. At last, taking a reservoir project in Tibet as an example, the rationality of the application of this model to practical works is verified.

temperature field; seepage field; permeability velocity; boundary conditions; mathematical model

10.16198/j.cnki.1009-640X.2015.06.013

付長靜， 李國英， 陳亮， 等. 利用溫度場計算滲透流速的數(shù)學模型[J]. 水利水運工程學報, 2015(6): 88-93. (FU Chang-jing, LI Guo-ying, CHEN Liang, et al. A mathematical model for calculating penetration velocity using temperature field[J]. Hydro-Science and Engineering, 2015(6): 88-93.)

2015-01-12

付長靜(1987—)，女，吉林遼源人, 博士研究生，主要從事巖土工程測試和數(shù)值模擬研究。 E-mail：nhri_fuchangjing@163.com

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1009-640X(2015)06-0088-06