周慧波，宋申民，鄭 重

（1. 哈爾濱師范大學 數(shù)學科學學院，哈爾濱 150009；2. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

導彈編隊協(xié)同攻擊分布式魯棒自適應控制

周慧波1,2，宋申民2，鄭 重2

（1. 哈爾濱師范大學 數(shù)學科學學院，哈爾濱 150009；2. 哈爾濱工業(yè)大學 控制理論與制導技術(shù)研究中心，哈爾濱 150001）

在有向通信拓撲下研究了導彈編隊的魯棒自適應協(xié)同跟蹤控制問題。針對導彈編隊系統(tǒng)中隊形跟蹤、外部擾動和模型不確定性的情況，通過選取包含位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的輔助變量，提出了一種基于有向通信拓撲的魯棒自適應編隊控制策略。提出了自適應律對未知參數(shù)進行估計，并且利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。進一步，對于通信時滯的情況，給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要滿足的條件。與滑?？刂频葌鹘y(tǒng)魯棒控制不同，所設計的魯棒自適應控制器是連續(xù)的，更便于導彈編隊系統(tǒng)的實現(xiàn)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，隊形跟蹤誤差小于0.03 m，隊形保持誤差小于0.07 m，所設計的控制器能實現(xiàn)高精度的編隊跟蹤控制。

導彈編隊；協(xié)同攻擊；通信時滯；魯棒自適應控制；有向圖

由于反導防御系統(tǒng)的迅速發(fā)展，單枚導彈攻擊目標已經(jīng)越來越難以獨立完成作戰(zhàn)任務，難以適應現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的需要。多枚導彈組成編隊飛行系統(tǒng)，同時在作戰(zhàn)過程中導彈通過信息交互進行協(xié)同攻擊，共同完成作戰(zhàn)任務，極大地增強了打擊能力和摧毀目標的概率，顯著提高導彈的突防能力，因此對多彈協(xié)同攻擊的研究具有非常重要的現(xiàn)實意義。

在導彈協(xié)同攻擊過程中，為了合理有效地利用陸、海、空的地形信息形成有掩護的攻擊或規(guī)避，需要考慮所處的戰(zhàn)場環(huán)境，實時根據(jù)不同的地形和目標信息設計編隊隊形控制律[1]。簡單地說，隊形控制就是指利用多個導彈在編隊飛行過程中組成一定的編隊構(gòu)形，并實時地保持或收縮。編隊成員通過通信相互聯(lián)系，進行協(xié)同工作，控制編隊成員間的相對距離和方向，并保持所要求的幾何構(gòu)形。為了實現(xiàn)高精度的編隊飛行任務，需要對各編隊成員進行有效的協(xié)同控制。編隊協(xié)同控制方法一般包括多輸入多輸出控制、虛擬結(jié)構(gòu)控制和基于行為的控制[2]。目前這些方法在機器人編隊[3-4]、航天器編隊[5-6]和導彈編隊[7]中得到了應用。對于多導彈協(xié)同攻擊的方法主要有動態(tài)面控制法[8-9]、最優(yōu)控制理論等[10-11]。

對于導彈編隊協(xié)同問題，目前大多文獻主要研究基于到達時間一致的協(xié)同制導[12-14]，其主要思想是利用一致性算法的思想，通過設計制導律使得各導彈能夠同時到達目標，即實現(xiàn)了對目標的協(xié)同攻擊。然而，當導彈編隊執(zhí)行協(xié)同作戰(zhàn)任務時，需要進行隊形的調(diào)整：初始隊形的生成，隊形的保持、收縮、擴展和重構(gòu)等等。因此對導彈編隊飛行控制系統(tǒng)的研究十分重要，直接決定上述導彈編隊動作能否實現(xiàn)，以致影響到作戰(zhàn)任務能否順利完成[12]。文獻[15]利用線性LQ最優(yōu)控制理論設計了一種導彈編隊隊形最優(yōu)保持控制器，能夠?qū)崿F(xiàn)導彈編隊隊形快速、穩(wěn)定的調(diào)整與保持控制。文獻[16]通過解黎卡提矩陣微分方程的形式設計了一種導彈協(xié)同攻擊編隊非線性最優(yōu)控制器。

然而以上文獻在設計導彈編隊控制器時并沒有考慮外界擾動的影響。在導彈飛行過程中，氣流、強風等外界擾動往往是不可忽略的，在導彈編隊控制器設計中必須考慮抑制擾動的要求。同時，為了形成編隊隊形，導彈之間往往會通過通信進行協(xié)同控制，在此過程中可能發(fā)生通信時滯。因此在設計控制器時必須要考慮通信時滯的影響。

針對導彈編隊飛行系統(tǒng)，本文提出了魯棒自適應導彈編隊協(xié)同控制策略，并嚴格分析了閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov 穩(wěn)定性。首先，在無通信時滯的情況下提出了自適應律對擾動的上界進行估計，并進一步設計了導彈隊形控制算法。在此基礎上，考慮到外部擾動和通信時滯的情況，通過Lyapunov 穩(wěn)定性分析給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要的條件。最后數(shù)值仿真驗證了所提出的魯棒自適應控制器的有效性。

1 導彈編隊飛行系統(tǒng)

假設n枚導彈在三維空間中組成編隊飛行系統(tǒng)，則第i枚導彈的運動可由下面方程描述[1]：

式中：(xi,yi,zi)表示導彈的位置；Vi、θi和ψi分別表示導彈速度、彈道傾角和彈道偏角；mi為導彈的質(zhì)量；Xi為阻力，具體數(shù)值與阻力系數(shù)cx、空氣密度ρ、速度Vi和導彈特征面積Si有關(guān)，計算公式為

Fi=[FxiFyiFzi]T表示導彈控制力向量；di=[di1di2di3]T表示導彈受到的擾動，并假設di有界且滿足di∞≤。令pi=[xiyizi]T表示導彈的位置，vi=[iii]T表示導彈速度。則式(1)可表示為[1]

在導彈編隊進行機動控制中，往往有隊形保持要求。記第i枚編隊導彈期望位置=+piF，其中：為編隊中心的期望位置，為事先規(guī)劃好的路徑；piF為第i枚導彈相對于編隊中心的期望位置。注意到，pi→pid和i→意味著實現(xiàn)了跟蹤的要求，意味著實現(xiàn)了隊形保持要求。因此本文目的為針對導彈編隊運動模型(3)，設計控制器Fi，使得對于?i,j=1,2,…,n，當t→∞時，有pi→和vi→；同時在跟蹤誤差pi-和vi-的暫態(tài)收斂過程中，在一定程度上保證pi-piF→pj-pjF和vi-viF→vj-vjF。

在導彈編隊系統(tǒng)中，導彈通過信息交互獲得其它導彈的狀態(tài)信息以完成編隊任務，這種信息交互可以通過圖論來描述。加權(quán)圖G=(ν, ζ, C)由節(jié)點集ν={1,2,…n}、邊集ζ和加權(quán)鄰接矩陣C=[cij]∈Rn×n組成。如果第j個節(jié)點有信息傳遞到第i個節(jié)點，則第j個節(jié)點有一條邊指向第i個節(jié)點，記為(j,i)∈ζ。同時C中元素cij定義為：如果(j,i)∈ζ，則cij＞0，否則cij=0。有向圖的路徑指一列節(jié)點v0,…vr，(vi,vi+1)都是有向圖中的邊，i=0,…,r-1。如果有向圖中任意兩個節(jié)點均有路徑相連，則稱為強連通的。

引理 1[17]圖G的Laplace矩陣L定義為

如果L是一個強連通的有向圖的Laplace矩陣，則存在一個所有元素均為正的向量使得ηTL=0。

2 隊形協(xié)同跟蹤控制器

為了實現(xiàn)導彈編隊的要求，導彈編隊成員需要跟蹤各自的期望位置和期望速度。本節(jié)首先給出無通信時滯的魯棒協(xié)同控制器；在此基礎上，考慮到通信時滯的情況，設計時滯魯棒自適應協(xié)同控制器。

記跟蹤誤差ei=pi-，則˙i=vi-，定義輔助誤差變量為

式中：λi＞0為常數(shù)。首先給出下面引理。

引理2[18]對于任意的實數(shù)x和非零實數(shù)y，下面不等式成立：

式中：α＞0，其最小值α*滿足α*=x*(1-tanhx*)，x*滿足方程e-2x*+1-2x*=0。

2.1 無通信時滯控制器設計

假設導彈質(zhì)量已知且導彈之間的信息交互無通信時延，即導彈可以實時獲取相鄰導彈的信息。由式(3)和式(4)可得：設計自適應魯棒控制器為

式中：常數(shù)ki＞0；cij表示加權(quán)鄰接矩陣C的第i行j列元素；i為擾動上界i的估計值，且滿足i(0)＞0；常數(shù)γd＞0；參數(shù)qi是時變的且滿足qi(0)＞0；常數(shù)α如引理2所定義。把式(7)代入到式(6)，可得系統(tǒng)閉環(huán)方程為

定理1 對于導彈編隊系統(tǒng)(3)，設計魯棒控制器(7)-(9)，如果導彈之間的通信拓撲為強連通的有向圖，則系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界，并且當t→∞時，有ei→0和˙i→0成立，從而有pi-piF→pj-pjF，成立。即實現(xiàn)導彈對期望軌跡的跟蹤，同時形成并保持所期望的隊形。

證明 引理2中的不等式(5)可以寫為

式中，常數(shù)ηi＞0如引理1所定義。對式(13)求導，并且利用式(8)～(10)，可得：

把式(12)代入式(14)可得

由式(16)可以看出V有界，因此系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界。

由于V有界，則si,i∈L∞。由于擾動di有界，由式(10)可得˙i∈L∞。此外，由V是有界的并且≤0可得，這表明si∈L2。因此由Barbalat>引理[19]可得，當t→∞時，si→0，因而由si的定義可得ei→0和e˙i→0。由于因此pi-piF→pj-pjF成立。同理可得vi-→vj-。因此魯棒編隊控制器(7)-(9)能夠?qū)崿F(xiàn)導彈對期望軌跡的跟蹤，同時形成并保持所期望的隊形。

2.2 通信時滯情況下的控制器設計

為了實現(xiàn)導彈的編隊控制，要求導彈獲得相鄰導彈的狀態(tài)信息，這些信息一般是通過無線傳輸進行信息交互。由于導彈之間的距離和傳輸設備物理限制的影響，信息傳輸中不可避免地存在通信時滯，并且時滯一般是不可忽略的。在2.1節(jié)基礎上，本節(jié)進一步考慮編隊系統(tǒng)中存在通信時滯的情況，即實際情況中第i枚導彈只能獲取時滯后的信息sj(t-Tij)，即此時控制器(7)變?yōu)?/p>

式中：Tij(t)≥0是時變的并且不要求Tij=Tji。假設Tij的精確值是未知的，而T˙ij的上界是已知的，且滿足ij≤hij＜1。下面給出了考慮通信時滯的導彈編隊控制器(17)的穩(wěn)定性分析，表明在控制器參數(shù)滿足一定條件下，對于時變的通信時滯，系統(tǒng)仍然能夠?qū)崿F(xiàn)導彈的編隊跟蹤控制。

定理 2 對于導彈編隊系統(tǒng)(3)，設計魯棒自適應控制器(17)和(8)(9)，如果導彈之間的通信拓撲為強連通的有向圖，且對于任意的i,j=1,2,…,n，控制器參數(shù)滿足

式中：常數(shù)ρ＞1，則系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界，并且當t→∞時，有ei→0和˙i→0成立，從而有pi-piF→pj-pjF，vi-v→vj-v成立。即存在通訊時滯情況下，導彈仍然能實現(xiàn)對期望軌跡的跟蹤，同時形成并保持所期望的隊形。

證明 選取Lyapunov函數(shù)

由式(17)和定理1的證明過程可得，V的導數(shù)為

注意到

把式(21)和式(22)代入到式(20)中，可得

因此，如果條件(18)成立，則有

從而V有界，系統(tǒng)狀態(tài)pi和vi全局一致有界。由于V有界，則si,i∈L∞。由于擾動di有界，由式(10)可得˙i∈L∞。此外，由V是有界的并且≤0可得這表明si∈L2。因此由Barbalat引理[16]可得，當t→∞時，si→0，因而由si的定義可得由于因此pi-piF→pj-pjF成立。同理可得

3 數(shù)值仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設定

為了驗證本文所設計控制器的有效性，下面針對存在通信時滯情況下的控制器(17)及(8)(9)進行仿真驗證。

2016年8月，新的北辰基督教堂建成啟用。新教堂建筑面積12000平方米，最高處24米，階梯式大廳可容納2500人。

4枚導彈進行正方形編隊，設導彈質(zhì)量分別為m1=150 kg, m2=200 kg, m3=180 kg, m4=160 kg。令wi=[Viθiψi]T，編隊導彈初始狀態(tài)和速度設為

設定編隊導彈相對于編隊中心的期望位置為

編隊中心的期望位置和速度為

則編隊導彈要跟蹤的期望位置和速度為

控制器的參數(shù)選取為：λi=2，ki=0.2，

3.2 仿真結(jié)果與分析

圖1 編隊導彈相對運動軌跡Fig.1 Trajectory of relative motion of formation missiles

從4枚導彈編隊初始位置和期望的正四邊形編隊構(gòu)形可知，暫態(tài)過程中1μ越小，隊形跟蹤誤差越?。?μ越小，隊形保持性能越好。

控制器(17)及(8)(9)作用下的編隊系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。在仿真圖中角標i表示第i枚導彈。圖1給出了4枚編隊導彈在慣性坐標系下的三維運動軌跡，可以看到編隊導彈實現(xiàn)了正四邊形的隊形要求。圖2和圖3分別給出了編隊導彈位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差曲線。從圖2中可以看出，在設計的控制器(17)及(8)(9)作用下，即使存在外部擾動和通信時滯的限制，位置跟蹤誤差仍能夠較快收斂到零附近。從圖3可以看出，編隊導彈速度跟蹤誤差最終也收斂到零附近，同時具有較高的跟蹤精度。圖4進一步給出了控制器(17)及(8)(9)作用下的隊形跟蹤誤差μ1和隊形保持誤差μ2的變化曲線，從圖中可以看出隊形跟蹤誤差和隊形保持誤差收斂速度較快，同時最終隊形跟蹤誤差小于0.03 m，隊形保持誤差小于0.07 m，具有較高的精度。圖5給出了控制器中自適應參數(shù)i和的變化曲線。從圖5中可以看出，自適應參數(shù)i最終收斂到常值，單調(diào)下降，由于下降速度遠小于位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差的收斂速度，既保證了抑制外界干擾的魯棒性又避免了控制器抖振。

圖2 位置跟蹤誤差Fig.2 Position tracking errors

圖3 速度跟蹤誤差Fig.3 Velocity tracking errors

圖4 隊形跟蹤誤差和隊形保持誤差Fig.4 Errors of formation tracking and formation keeping

圖5 自適應參數(shù)i和的變化曲線Fig.5 Adaptive parametersiand

4 結(jié) 論

針對導彈編隊協(xié)同攻擊問題，本文提出了魯棒自適應編隊控制策略，能夠克服外部干擾和內(nèi)部參數(shù)不確定性的影響，同時滿足導彈編隊控制的要求。對于有無通信時滯的情況，均給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定所需要的條件。與傳統(tǒng)的滑模控制等非連續(xù)魯棒控制不同的是，本文提出的控制器是連續(xù)的，更便于導彈編隊系統(tǒng)的實現(xiàn)。數(shù)值仿真驗證了文中給出的控制方法的有效性，各編隊導彈穩(wěn)態(tài)誤差較小，能夠滿足導彈編隊飛行控制精度要求。在僅有部分導彈獲取期望信息的情況下，設計魯棒自適應隊形控制策略，是今后進一步需要做的工作。

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Distributed robust adaptive control for missile cooperative engagement within formation

ZHOU Hui-bo1,2, SONG Shen-min2, ZHENG Zhong2
(1. School of Mathematical Sciences, Harbin Normal University, Harbin 150009, China; 2. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The problem of robust adaptive cooperative tracking control of missile formation is investigated under directed communication topology. According to the formation tracking, external disturbance and model uncertainties in the system of missile formation, a robust adaptive formation control scheme with directed communication topology is proposed by selecting an auxiliary variable including position tracking error and velocity tracking error. The adaptive laws are presented to estimate the unknown parameters, and the asymptotical stability of closed-loop system is analyzed using Lyapunov stability theory. Furthermore, the conditions to satisfy the asymptotical stability of the system are given for the case of communication delays. Being different from traditional robust controls such as sliding mode control, the designed robust adaptive controller is continuous, so it is convenient to be implemented in the system of missile formation. Simulation results show that the tracking error and the keeping error of the formation are less than 0.03 m and 0.07 m, respectively, so the designed controller can achieve high-precision formation tracking control.

missile formation; cooperative engagement; communication delay; robust adaptive control; directed graph

V448.133

A

1005-6734(2015)04-0516-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.04.018

2015-02-26；

2015-06-12

國家自然科學基金（61174037）；國家自然科學基金創(chuàng)新群體項目（61021002）；上海航天科技創(chuàng)新基金項目（SAST201402）；航空科學基金項目（20140177002）

周慧波（1977—），女，博士研究生，研究方向為飛行器制導與控制。E-mail：zhouhb0306@sina.com

聯(lián) 系 人：宋申民（1968—）男，教授，博士生導師，研究方向為非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、魯棒控制、導彈制導與飛行器控制。E-mail：songshenmin@hit.edu.cn