蘇玥瑩，高莉麗，竇霽虹，胡君豪

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127)

基于優(yōu)化模型的折疊桌設(shè)計(jì)

蘇玥瑩，高莉麗，竇霽虹，胡君豪

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西西安710127)

基于2014年高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題，研究了折疊桌的設(shè)計(jì)問題，運(yùn)用多目標(biāo)優(yōu)化模型，以穩(wěn)定性、易加工性、省材性為目標(biāo)，得到了平板折疊桌加工的各參數(shù)，并且分析了折疊桌折疊時(shí)的動(dòng)態(tài)變化過程。運(yùn)用Matlab軟件確定最優(yōu)設(shè)計(jì)，并用SolidWorks軟件繪制其實(shí)體模型。

折疊桌設(shè)計(jì)；多目標(biāo)優(yōu)化模型；SolidWorks軟件

折疊桌是一種輕巧耐用的便攜式日常家具，如何設(shè)計(jì)一款兼顧產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的折疊桌，一直是廠家最重要的問題之一。

該折疊桌的桌面呈圓形，桌腿有若干木條組成，隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板且由鋼筋連接。鋼筋兩端固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。任意給定折疊圓桌高度和其桌面的直徑設(shè)計(jì)要求，設(shè)計(jì)者希望據(jù)此確定折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程并確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

1 概念定義及符號(hào)說明

木板尺寸(2s×2r×δ)：原料木板的長為2s；寬為2r，即折疊桌桌面半徑為r；厚度為δ。

夾角大小(θ)：即邊緣桌腿與豎直方向的夾角大小，折疊到最大限度時(shí)為α，即θ∈[α，90°]。

折疊高度(h)：桌子折疊完全后桌面的高度，其中h包含桌面厚度δ。

桌面木條的根數(shù)(n)：即桌面是由n跟木條所組成。

桌面木條的半長度(di)：即作為桌面部分從中心向兩邊的第i根木條一半的長度，

其中，r是圓形桌面的半徑，即所給木板寬度的一半；w為每根木條的寬度，即w=r/n。

開槽長度(ki)：每根木條插入鋼筋處需要開槽的長度。

鋼筋位置(l1)：鏈接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿各組最外側(cè)木條距桌腿末端的長度。

切痕長度(L)：相鄰兩根木條間所需切割的長度的總和。

弦心距(a)：第一根木條的長度所對應(yīng)的弦到圓心的距離，0

2 模型假設(shè)

(1)厚度對模型結(jié)果的影響很小，假設(shè)木條的厚度為定值3cm。

(2)假設(shè)鋼筋能夠承受折疊桌以及其承擔(dān)物體的重量且鋼筋很細(xì)。

(4)不考慮加工過程中失誤導(dǎo)致材料的損失。

3 模型的建立

3.1 折疊桌的描述與加工參數(shù)的確定

給定長方形平板尺寸、木條寬度及折疊后桌高。要求建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，并給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)的數(shù)學(xué)描述。據(jù)此建立如下模型：

3.1.1 動(dòng)態(tài)變化過程模型：

為了方便描述，我們?yōu)檎郫B桌建立三維坐標(biāo)系[1]，以折疊桌下底面的中心為原點(diǎn)，x軸方向平行于木條放置方向，y軸垂直于桌面方向，z軸平行于鋼筋插入木條的方向。利用相似三角形的性質(zhì)得到桌腿末端所在位置的坐標(biāo)為：

其中，xp是鋼筋的位置的橫坐標(biāo)，yp是鋼筋的位置的縱坐標(biāo)。

(θ∈[α，90°])。

動(dòng)態(tài)變化過程需要用不同折疊狀態(tài)下的桌腿末端位置來表現(xiàn)，所以將鋼筋位置坐標(biāo)整合進(jìn)上式，建立動(dòng)態(tài)變化模型如下：

1、本數(shù)據(jù)系在近2個(gè)月內(nèi)，預(yù)測調(diào)整幅度大于10%、預(yù)測機(jī)構(gòu)數(shù)大于3家的股票，以2018年最新每股收益一致預(yù)期排名。

(θ∈[α，90°])。

3.1.2 加工參數(shù)模型

開槽長度：

設(shè)第i條木條的開槽長度為li，可以以通過折疊桌作為矩形平面時(shí)鋼筋穿過桌腿的位置與桌子折疊到最大限度時(shí)鋼筋穿過桌腿的位置來計(jì)算。

桌子未折疊時(shí)鋼筋位置為l1。

桌子折疊到最大限度時(shí)，鋼筋的位置表示為：

其中，xp、yp是折疊到最大程度時(shí)鋼筋的坐標(biāo)，即θ=α。

所以得到木條開槽長度模型為：

桌面木條長度模型：

對于該問題需要建立優(yōu)化模型，目標(biāo)是使桌面實(shí)際面積最接近于一個(gè)半徑為r圓形面積，決策變量是a。由幾何關(guān)系得出di的長度表達(dá)式為：

從而可以建立木條長度模型如下：

3.1.3 邊緣線模型的確立

觀察折疊桌的圖像可以看出邊緣線是一條三維曲線，我們對該曲線尋找數(shù)學(xué)模型。首先根據(jù)3.1.1建立空間坐標(biāo)系。

根據(jù)幾何關(guān)系，寫出邊緣線的數(shù)學(xué)模型：

其中xp，yp為3.1.1中確定的鋼筋的位置坐標(biāo)：

我們所建立的邊緣線數(shù)學(xué)模型以z為變量，x，y之間相互表達(dá)即為桌角邊緣線的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

3.2 最優(yōu)設(shè)計(jì)的確定

需要討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，包括平板尺寸，鋼筋位置，開槽長度，組成桌面的木條長度等。根據(jù)設(shè)計(jì)折疊桌的要求可知該問題是一個(gè)典型的優(yōu)化問題，應(yīng)利用規(guī)劃模型對問題進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化[2]。

由于需要優(yōu)化的變量個(gè)數(shù)較多，共有5個(gè)變量，分別為：木板的總長度、觸地桌腿形成的面積、發(fā)生形變的趨勢(力矩)、重心與木條開槽長度，本文中我們將問題設(shè)置為兩層多目標(biāo)優(yōu)化問題，先滿足第一層模型，在此基礎(chǔ)上求解第二層模型。

第一層優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型將木板長度s、四條桌腿所確定矩形的面積p、切痕長度L及力矩作為目標(biāo)變量，以邊緣桌腿與豎直方向最大夾角α、木條數(shù)目n作為決策變量建立數(shù)學(xué)模型。

為了節(jié)約成本，減少用材，我們希望木板長度2 s越小越好：

觸地桌腿形成的面積是桌子穩(wěn)定性的衡量指標(biāo)之一，這個(gè)矩形面積越大則桌子的穩(wěn)定性越好：

p=2r·2[dn+(h-δ)tanα]。

力矩是地面支持力在垂直于桌腿方向的分力與桌腿長度的乘積，力矩越大桌子的形變趨勢越大：

t=ρδsrg·sinα·(s-dn)，

式中ρ是木條的密度為0.5，g為重力加速度9.8N/kg，根據(jù)選材的確定性為一定值，所以ρsδrg就是桌子每條邊緣桌腿所承受的重力，s-dn就是邊緣桌腿的長度。

通過上述分析，可以建立第一層模型為：

maxp=2r·2[dn+(h-δ)tanα]，

mint=ρδsrg·sinα·(s-dn)，

第二層模型中目標(biāo)變量是重心G與開槽長度k，決策變量是鋼筋位置l1。模型如下：

(((s-dn-l1)·sinθ+dn-di)2+

其中yi是桌腿末端的縱坐標(biāo)：

yi=

4 舉例

4.1 對以下模型的求解

對模型一，給定長方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。

之后利用MATLAB程序?qū)δＰ瓦M(jìn)行求解，得到最優(yōu)結(jié)果如表1和表2所示。

表1 木條開槽長度

表2 桌面木條的長度

a的最優(yōu)取值為1.328。

根據(jù)該數(shù)據(jù)所繪制的三維設(shè)計(jì)圖如圖1和圖2所示。

圖1 完全折疊時(shí)的折疊桌

圖2 未完全折疊時(shí)的折疊桌

模型建立恰當(dāng)。

對模型二，給定桌高70cm，桌面直徑80cm，用MATLAB對第一層模型進(jìn)行求解[3]。

為了方便計(jì)算，我們將目標(biāo)函數(shù)表現(xiàn)在同一個(gè)式中變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問題。因?yàn)槊總€(gè)目標(biāo)變量對結(jié)果的影響程度不同，在這里我們對每個(gè)變量設(shè)置權(quán)重βi，

其中bi是0，1，2，3，4，分別表示不同的影響程度(見表3)。

表3 不同取值的影響程度

解得：

平板尺寸：169.28cm×80cm×3cm，

鋼筋位置：l1=22.55cm，

木條數(shù)目：n=13。

表4 桌面木條的長度

4.2 結(jié)果分析

在本文中，模型多為利用幾何關(guān)系與三角函數(shù)推導(dǎo)，簡便易行，算法效率高，具有嚴(yán)謹(jǐn)性并且普適性強(qiáng)的特點(diǎn)[4]。

通過對桌面尺寸的建模求解力求讓折疊桌更加美觀。

引入多目標(biāo)優(yōu)化模型，進(jìn)行兩層優(yōu)化分析，將如此多的目標(biāo)兼顧取其相對最優(yōu)的結(jié)果(見圖3)。

圖3 木條的開槽長度

在此，我們提出關(guān)于模型改進(jìn)和拓展思路：在決定模型權(quán)重時(shí)較為主觀，可以根據(jù)市場調(diào)查與分析獲得較精確的權(quán)重。

[1]胡良劍，孫曉軍，等.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]章紹輝.數(shù)學(xué)建模[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[3]姜啟源，謝金星，等.數(shù)學(xué)建模[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]壽紀(jì)鱗.數(shù)學(xué)建?！椒ㄅc范例[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，1993.

[責(zé)任編輯 畢 偉]

2015-07-20

蘇玥瑩(1994—)，女，河南民權(quán)人，西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生。

O221.6

A

1004-602X(2015)04-0004-04