郭建華，姜洪源，胡清明，李嘉博

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001；2.齊齊哈爾大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾161006）

0 引 言

同步帶傳動(dòng)屬多柔體系統(tǒng)傳動(dòng)范疇，由于影響同步帶傳動(dòng)嚙合干涉因素的復(fù)雜性（如節(jié)距差、帶齒變形和多邊形效應(yīng)等）以及嚙合狀態(tài)的多樣性（主、從動(dòng)輪嚙入、嚙出），同步帶與帶輪齒廓齒形設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。為實(shí)現(xiàn)帶齒廓與帶輪齒廓更為平滑地嚙合，自1946年發(fā)明同步帶傳動(dòng)以來，帶與輪齒廓齒形曲線的形狀處于不斷地變異、演化過程中。齒廓曲線由最早的直線、漸開線發(fā)展到圓弧曲線、拋物線、曳物線等不同曲線齒形，而齒形曲線由分段曲線連接而成。作為多柔體傳動(dòng)系統(tǒng)的帶與帶輪剛?cè)狁詈蠂Ш辖佑|干涉問題，直接影響傳動(dòng)噪聲、承載能力和傳動(dòng)精度。研究表明，同步帶與帶輪有適量的干涉，可以降低傳動(dòng)噪聲、消除多邊形效應(yīng)、提高傳動(dòng)精度、減少主從動(dòng)輪的速度波動(dòng)［1－2］；帶齒與輪齒齒形影響著側(cè)隙大小，降低側(cè)隙可以改善帶齒間的載荷分布，Gates公司8YU 同步帶，通過齒廓修形，使側(cè)隙從0.393 mm 減到0.135 mm，有利于提高同步帶承載能力［3］。

影響直齒同步帶傳動(dòng)嚙合因素眾多，如多邊形效應(yīng)、帶齒變形、節(jié)距差等。減小帶齒嚙入、嚙出干涉一直成為同步帶齒形研究的重點(diǎn)問題。目前同步帶齒廓齒形都為Gates、Goodyear等少數(shù)公司研制的專利產(chǎn)品［4－6］。

本文分別對(duì)新型人字齒同步帶和美國(guó)GoodYear公司Eagle PD 人字齒同步帶傳動(dòng)進(jìn)行建模，對(duì)比研究帶齒的共軛齒廓與帶輪齒槽的齒形干涉情況，為新型人字齒同步帶傳動(dòng)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 人字齒同步帶傳動(dòng)模型建立

多柔體組成的人字齒同步帶傳動(dòng)系統(tǒng)，因帶齒與輪齒人字排列，使帶齒槽底與帶輪齒頂沿輪齒在圓周方向連續(xù)接觸，消除了帶輪－帶（相當(dāng)齒條）模型中的多邊形效應(yīng)，因此人字齒帶與帶輪傳動(dòng)可以視為人字齒條與帶輪傳動(dòng)。

新型人字齒同步帶傳動(dòng)在齒形選型上，采用高階接觸嚙合理論，使帶齒具有更大接觸強(qiáng)度，接觸點(diǎn)附近間隙為3階無窮?。?－9］，滿足上述條件的簡(jiǎn)單齒廓曲線為圓心在節(jié)線上的圓弧曲線，并將圓弧齒廓作為新型人字齒同步帶傳動(dòng)法面基準(zhǔn)齒廓，如圖1（a）所示。帶齒廓由5 段圓弧曲線組成，帶輪刀具齒形由直線和3段圓弧組成；Eagle PD 人字齒同步帶端面為基準(zhǔn)齒形，如圖1（b）所示，帶齒是由直線和3段圓弧組成，帶輪刀具由5段圓弧曲線組成［10－11］。

圖1 帶與刀具齒形Fig.1 Belt and cutter tooth

為便于公式推導(dǎo)及建模，將基準(zhǔn)齒形為法面齒廓的新型人字齒同步帶與帶輪刀具齒廓，采用統(tǒng)一建模公式；將端面為基準(zhǔn)齒形的Eagle PD 人字齒同步帶和帶輪刀具齒廓采用統(tǒng)一建模公式。根據(jù)人字齒傳動(dòng)特點(diǎn)，簡(jiǎn)化建模，將人字齒傳動(dòng)模型轉(zhuǎn)化為斜齒與斜齒輪傳動(dòng)。研究齒廓是對(duì)稱的，故齒廓方程取一側(cè)齒廓建立。

1.1 建立帶齒或刀具的空間齒廓曲面Σ2 方程

如圖1（a）所示，參數(shù)在σn＝［on；xnynzn］法平面坐標(biāo)系，ρi 為第i 段曲線的圓弧半徑；（ρix，ρiy）對(duì)應(yīng)圓心坐標(biāo)；i＝1，2，…，n；θ為對(duì)應(yīng)圓弧曲線極坐標(biāo)的矢徑轉(zhuǎn)角；n ＝5 為帶齒齒廓方程；n＝3為帶輪刀具齒廓方程，帶輪直線段方程略，齒廓法面建模方程為：

基準(zhǔn)齒形為端面齒廓的Eagle PD 人字齒同步帶與帶輪刀具齒廓，如圖1（b）所示，端平面坐標(biāo)系σ2＝［o2；x2y2］。n＝5為Eagle PD 帶輪刀具齒廓方程，n ＝3為齒廓方程。齒廓法面建模方程為：

新型人字齒同步帶和帶輪刀具，由法面σn轉(zhuǎn)β 角變換為端面σ2＝［o2；x2y2z2］，如圖2所示，對(duì)應(yīng)空間曲面Σ2方程為：

同理Eagle PD 的人字齒同步帶輪刀具、同步帶在σ2坐標(biāo)系的空間曲面Σ2方程為：

式中：u為齒面曲線坐標(biāo)之一，為齒廓在齒向上的位移。

1.2 建立空間齒廓曲面嚙合方程

研究帶或刀具的共軛齒廓，采用齒輪齒條模型，如圖2所示。由帶或刀具曲面Σ2，利用瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸法確定嚙合函數(shù)，齒輪齒條傳動(dòng)模型嚙合方程為：

式中：R1和φ1 分別代表共軛輪的節(jié)圓半徑和轉(zhuǎn)角。

圖2 傳動(dòng)嚙合模型Fig.2 Model of gear meshing transmission

根據(jù)曲面法矢n2定義，新型人字齒同步帶、帶輪刀具在空間曲面Σ2上有相同形式法矢表達(dá)式：

同理Eagle PD 同步帶、帶輪刀具齒廓在空間曲面Σ2上統(tǒng)一法矢表達(dá)式為：

將式（6）代入式（5）中，新型人字齒同步帶、帶輪刀具嚙合方程為：

將式（7）代入式（5）中，Eagle PD 同步帶、帶輪刀具嚙合方程為：

1.3 確立空間齒廓曲面Σ1 共軛方程

利用坐標(biāo)系σ2到坐標(biāo)系σ1的變換關(guān)系，得出新型人字齒同步帶包絡(luò)齒廓或帶輪齒廓曲面Σ1方程為：

將人字齒同步帶法面齒廓參數(shù)和帶輪刀具參數(shù)分別代入方程（10）可得出帶共軛齒廓和帶輪齒廓。同理，Eagle PD 帶輪齒廓或帶齒的共軛齒廓曲面Σ1方程為：

將帶輪刀具端面參數(shù)和帶輪齒廓參數(shù)分別代入方程（11）得到帶輪齒廓和帶的共軛齒廓。

2 嚙合干涉仿真分析

圖3 帶齒與帶輪靜態(tài)嚙入圖Fig.3 Meshing graph of belt tooth and pulley

圖3 所示為Gates公司W(wǎng)esthoff在分析了現(xiàn)有同步帶、帶輪齒形與傳動(dòng)干涉關(guān)系［4］的基礎(chǔ)上，研究了同步帶（齒條）與帶輪（Z＝34）靜態(tài)嚙合狀態(tài)下帶與輪齒齒形與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系得出的結(jié)論：當(dāng)帶齒較低，帶與輪齒存在間隙，不易產(chǎn)生嚙合干涉，沖擊噪聲低，但自鎖性差，載荷變化時(shí)易爬齒，如圖3（a）所示。當(dāng)帶齒較高，帶與輪齒側(cè)曲線斜率大，自鎖好，抗爬齒能力強(qiáng)，但帶與輪齒間有嚙合干涉，沖擊噪聲大，如圖3（b）所示。Gates公司的G 型同步帶，帶齒高（節(jié)距8mm，齒高3.43mm），具有很好的抗爬齒特性；但嚙合無干涉，沖擊噪聲小，如圖3（c）所示，適合高速、重載、低噪聲傳動(dòng)。

Westhoff［4］對(duì)帶與輪齒齒形與結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系的研究模型存在兩個(gè)不足：一是模型忽略了傳動(dòng)的多邊形效應(yīng)；二是模型僅反映某位置帶與輪齒接觸狀態(tài)，沒有反映帶齒與輪齒嵌入過程中的情況。通常帶齒相對(duì)于輪齒做嚙入運(yùn)動(dòng)，形成的包絡(luò)齒廓隨輪的半徑變化，一般比實(shí)際帶齒廓寬。包絡(luò)齒廓與輪齒槽產(chǎn)生齒形干涉，可以判定帶齒與輪齒嚙合傳動(dòng)就不會(huì)干涉。

新型人字齒同步帶與帶輪齒形特點(diǎn)：帶齒曲面與帶輪齒曲面在齒的法面齒側(cè)弧為共軛齒廓，其他曲線部分為非共軛齒廓。表1表示兩種帶與帶輪齒廓參數(shù)。為了便于研究齒形對(duì)干涉的影響，令齒側(cè)間隙為零。圖4表示新型人字齒同步帶節(jié)線與帶輪節(jié)圓相切條件下傳動(dòng)模型。因側(cè)隙為零，帶齒根寬與輪齒槽頂相等，齒條（帶）嵌入帶輪齒槽中，沒有齒形干涉發(fā)生。

表1 同步帶和帶輪刀具基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of synchronous belt and pulley mm

圖4 新型人字齒同步帶與輪嚙合傳動(dòng)模型Fig.4 Meshing transmission model of double helical synchronous belt and pulley

為顯示斜齒帶與螺旋輪齒間沿齒向嚙合狀態(tài)，圖5表示斜齒帶與帶輪螺旋齒槽沿齒向不同截面的嚙合狀態(tài)。在齒向方向，帶齒逐漸嚙入輪齒槽，帶齒頂與輪齒槽底接觸，齒側(cè)無干涉。齒頂干涉是有益的，因?yàn)閹X頂受力，可減緩齒根應(yīng)力集中。

圖6是新型人字齒同步帶的共軛齒廓與帶輪齒廓三維齒形圖，帶輪齒槽包容帶的共軛齒廓，齒形無干涉。圖7是圖6端面剖面圖，齒側(cè)共軛部分齒形吻合，齒頂和齒根非共軛部分齒形無干涉。圖8是Eagle PD 帶共軛齒廓與帶輪齒槽三維圖，輪齒槽中下部陰影部分和齒槽底部與帶共軛齒廓干涉。

圖5 新型人字齒同步帶與輪嚙合傳動(dòng)模型截面圖Fig.5 Section graph of meshing transmission model for double helical synchronous belt and pulley

圖6 新型人字齒同步帶共軛齒廓和帶輪齒槽齒廓Fig.6 Conjugate tooth profile and pulley groove profile of double helical synchronous belt

圖9 是圖8的端面剖面圖，實(shí)際嚙合中，帶齒觸及輪槽底就不會(huì)向下移動(dòng)，因此會(huì)產(chǎn)生嚙合干涉。這是Eagle PD 齒形特點(diǎn)，帶齒頂受接觸力，可以減緩齒根應(yīng)力集中。帶齒頂有較大干涉，帶齒嵌入到帶輪齒內(nèi)部實(shí)際不可能發(fā)生，干涉量引起帶齒節(jié)線徑向偏移，影響傳動(dòng)精度。

圖7 新型人字齒同步帶共軛齒廓和帶輪齒槽端面齒形Fig.7 Conjugate tooth profile and face profile of pulley groove for double helical synchronous belt

圖8 Eagle PD共軛齒廓和帶輪齒槽齒形Fig.8 Conjugate tooth profile and pulley groove profile of Eagle PD

圖9 Eagle PD共軛齒廓和帶輪齒槽端面齒形Fig.9 Conjugate tooth profile and face profile of pulley groove for Eagle PD

新型人字齒同步帶法向齒廓為圓弧齒，圖10（a）是圖1 法向剖面圖，帶齒2 與輪齒槽存在間隙。圖10（b）表示帶齒與輪齒側(cè)弧圓心過嚙合軸時(shí)，帶右側(cè)齒與輪齒槽形成的瞬時(shí)接觸線，因?yàn)閭?cè)弧半徑比Eagle PD 側(cè)弧半徑大，瞬時(shí)嚙合線比Eagle PD 更長(zhǎng)，提高了帶齒的接觸強(qiáng)度。

圖10 法截面上帶齒和帶輪嚙合關(guān)系與形成的瞬時(shí)接觸線Fig.10 Meshing relationship and instantaneous contact line of belt and pulley on normal plate

如圖11所示，新型人字齒同步帶齒比Eagle PD更高，齒廓截面積更大，因此帶齒可以承受更大的載荷和抗爬齒性能。

圖11 新型人字齒同步帶和Eagle PD的端面齒形Fig.11 Face profile of double helical synchronous belt and Eagle PD

3 結(jié) 論

（1）建立的以人字齒帶齒的包絡(luò)齒廓與帶輪齒槽不干涉作為評(píng)判帶與輪不產(chǎn)生嚙合干涉的新方法比Westhoff提出的干涉判據(jù)更合理和準(zhǔn)確。

（2）消除傳動(dòng)多邊形效應(yīng)，帶齒與輪齒嚙合傳動(dòng)更接近齒輪齒條傳動(dòng)原理，為人字齒同步帶傳動(dòng)齒形設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

（3）新型人字齒同步帶傳動(dòng)和Eagle PD 進(jìn)行的嚙合干涉對(duì)比分析表明，新型人字齒同步帶傳動(dòng)嚙合更順滑，帶齒與輪齒廓無齒形干涉，高帶齒使齒廓陡峭，抗爬齒性能更好。

（4）新型人字齒同步帶傳動(dòng)，齒廓的齒側(cè)齒形為圓弧齒廓，齒側(cè)半徑大，瞬時(shí)接觸線長(zhǎng)，有助于提高兩齒廓瞬時(shí)接觸強(qiáng)度。采用零側(cè)隙設(shè)計(jì)帶齒與輪齒的法面齒廓齒形，嚙合傳動(dòng)無干涉，表明帶齒與輪齒嚙合更順滑，可以實(shí)現(xiàn)比直齒同步帶更低的側(cè)隙傳動(dòng)。

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