□ 王 琦 □ 趙 飛 □ 張 馳 □ 謝質(zhì)彬

1.中國科學院 寧波材料技術與工程研究所 浙江寧波 315201

2.寧波大學 機械工程與力學學院 浙江寧波 315211

滾珠絲杠是實現(xiàn)直線和旋轉(zhuǎn)運動相互轉(zhuǎn)換的重要部件，一般由絲杠、螺母、滾珠、回珠器等構成，其傳動具有平穩(wěn)、效率高、精度高、負載能力強、壽命長等特點，因此在機床直線進給系統(tǒng)中廣泛應用。然而，隨著數(shù)控機床向高精度、高速度方向的發(fā)展，使絲杠-滾珠-螺母在運動傳遞過程中的動力學和運動學狀態(tài)參數(shù)變得復雜，影響到滾珠絲杠運動平穩(wěn)性［1］。Chin Chung Wei等［2］，對滾珠絲杠傳動過程中各部件間的相對速度、摩擦力、效率、滑動速度等進行了分析，指出了滾珠絲杠的接觸角、變形等在外力影響時的變化規(guī)律。Yang T C等［3］利用第二類拉格朗日方程，建立滾珠絲杠傳動系統(tǒng)動力學模型，對絲杠螺母的接觸剛度等進行了研究。筆者通過對滾珠絲杠的傳動特性和剛度特性的研究，重點分析了影響傳動精度的因素，滾珠與螺母和絲杠接觸點速度偏差對運動平穩(wěn)性的影響，以及螺旋升角、接觸角、負載變化等參數(shù)與接觸變形的關系。

1 滾珠絲杠傳動特性

1.1 滾珠絲杠傳動精度影響因素

在絲杠旋轉(zhuǎn)使?jié)L珠推動螺母運動的過程中，滾珠產(chǎn)生繞絲杠的公轉(zhuǎn)和自身在滾道中的自旋運動。在絲杠-滾珠-螺母的運動傳遞過程中，絲杠、滾珠、螺母間將產(chǎn)生接觸彈性變形。將絲杠、螺母、滾珠作為剛體，對其空間運動過程進行建模，如圖1所示，建立相對運動坐標系，并對其空間運動進行描述。在此，建立3個空間坐標系。

第一坐標系X′（x′，y′，z′）的 Z′軸與滾珠絲杠的軸線重合，坐標原點設在軸線與滾珠絲杠某一橫截面的交點處，X′Y′平面與該橫截面重合，用于描述各零部件的相對空間位置。第二坐標系X（x，y，z）用于描述滾珠絲杠繞軸線的旋轉(zhuǎn)運動，第一、二坐標系間相差角度Ω。按照剛體運動學，由第二坐標系X到第一坐標系X′的變換為：

▲圖1 滾珠絲杠零部件相對位置坐標系

式中：cΩ=cosΩ，sΩ=sinΩ，以下各處均采用相同標記。

假設滾道內(nèi)其中一個滾珠沿滾道在X坐標系下旋轉(zhuǎn)了θ角，根據(jù)式（1）可知，滾珠球心與X坐標系原點構成的矢量坐標在絕對坐標系X′下的坐標為：

式中：tanα=L/（2πrm），rm為滾珠絲杠的公稱半徑； L 為滾珠絲杠導程；α為滾道的螺旋升角。

定義 Frenet坐標系 Y（t，n，b），如圖 1 所示，T 軸沿滾道的切向，NB平面位于滾道的截面，N軸指向球心方向坐標系X與坐標系Y間的歐拉角為［π/2，α，θ］。因此，坐標系X與坐標系Y間的坐標變換關系為：

由于滾道的限制，滾珠只能沿滾道在Y坐標系的T方向運動，受驅(qū)動力與負載的作用，滾珠、螺母和絲杠均會產(chǎn)生接觸變形，滾珠與絲杠和螺母的接觸形式如圖2所示。假設變形僅會改變絲杠的相對轉(zhuǎn)動角度和螺母在絕對坐標系下Ptz=0的位置，而不會改變滾珠球心在Y坐標系中的位置?？紤]滾珠的接觸變形δj（j=A，B），絲杠與滾珠接觸點在Frenet坐標系下的坐標為:

▲圖2 滾珠與絲杠和螺母的接觸形式

同樣，螺母與滾珠接觸點在Frenet坐標系下的坐標為:

式中：βi（i=A，B）為接觸矢量與坐標軸N間構成的接觸角；rb為滾珠半徑。

對式（4）、式（5）進行坐標變換，可知接觸點 A、B在絕對坐標系X′下的坐標分別為:

由式（6）、式（7）可知，螺母和絲杠間的相對位置將因接觸變形而發(fā)生變化，因此在運動傳遞過程中，動態(tài)傳動精度將受負載波動及驅(qū)動力變化的影響，而靜態(tài)定位精度及重復定位精度不會受到影響。在動態(tài)傳動過程中，滾珠絲杠的傳動精度將受接觸變形、接觸角、螺旋升角、滾珠半徑、絲杠半徑、導程等參數(shù)的影響。

1.2 傳動過程速度分析

在滾珠絲杠運動轉(zhuǎn)換過程中，由于驅(qū)動力波動，制造誤差等因素會造成滾珠受力幅值的變化，從而導致工作臺速度的波動。同時，在運動轉(zhuǎn)換過程中，滾珠不僅有繞絲杠的旋轉(zhuǎn)運動，還有自身繞球心的旋轉(zhuǎn)運動。設其自旋運動的角速度為 ω=［ωtωnωb］T， 其中 ωi（i=t，n，b）為滾珠繞 Y 坐標系的 T、N、B 各軸旋轉(zhuǎn)的角速度。

在X′坐標系下，滾珠（上）與絲杠接觸點Bb的速度為：

顯然，式（8）和式（9）并不相等，因此，在接觸點 B處絲杠和滾珠間必然存在相對運動。由于滾珠繞T坐標軸的旋轉(zhuǎn)速度幾乎為0，可以忽略不計。則接觸點B處絲杠和滾珠間相對運動速度為：

其中：

同樣，螺母和滾珠的接觸點A處也存在相對運動，其相對運動速度為：

由式（10）、式（11）知，絲杠和螺母間存在速度偏差，速度偏差與接觸角、滾珠半徑、螺旋升角絲杠半徑等相關。速度偏差的存在，使?jié)L珠絲杠在傳動過程中，工作臺的運動不平穩(wěn)，出現(xiàn)位置波動，不僅對動態(tài)定位精度有影響，還會加速滾珠絲杠的磨損，影響滾珠絲杠的壽命。因此，減小螺旋升角、增大接觸角以及提高材料的彈性模量等，可以降低絲杠和螺母的速度波動，提高滾珠絲杠的運動平穩(wěn)性。

2 滾珠絲杠副接觸剛度

2.1 滾珠絲杠副接觸變形

2.1.1 接觸力分析

▲圖3 滾珠絲杠-滾珠-螺母接觸力分析

滾珠絲杠副的滾珠與螺母、絲杠的接觸問題可以視為典型的滾動接觸問題，利用赫茲接觸理論進行分析。接觸點中心位于NB平面，如圖 3所示，在運動轉(zhuǎn)換過程中，滾道中的滾珠承受4個外力，分別為與絲杠接觸產(chǎn)生的接觸變形力qA和摩擦力fA，與螺母接觸產(chǎn)生的接觸變形力qB和摩擦力fB。假設在NB平面內(nèi)，滾珠與絲杠接觸點處的摩擦角為φA，與螺母接觸點處的摩擦角為φB，則滾珠所受外力在T、N和B方向的分力分別為：

對滾珠的運動過程進行分析，獲得滾珠質(zhì)量m在各方向的加速度，通過牛頓第二定律，獲得滾珠在運動過程中的外力為：

假設與螺母固連的工作臺上受一外力Fa，不考慮制造誤差等影響，則外力Fa將被平均分配到滾道中的每一個滾珠體上，在滾珠與絲杠和螺母接觸點處的受力平衡方程分別為：

式中：z為滾道中滾珠的個數(shù)。

2.1.2 接觸變形分析

滾珠絲杠副滾珠與絲杠、螺母的接觸情況可以視為球軸承接觸情況并對其進行分析。滾動接觸分析模型可以視為兩個相互接觸的半球體，如圖4所示，由赫茲接觸理論可知，在此情形下的接觸區(qū)域形狀為一橢圓。假設兩個半球體分別受大小相等的外力P的作用，在同一個平面內(nèi)，兩個半球體通過接觸點的主曲率和曲率半徑與未受外部載荷時的主曲率與曲率半徑相同，在XZ平面和YZ平面內(nèi)的接觸點處的相對曲率分別通過下式進行計算。

式中：rix、rjy分別為半球體i、j在XZ平面和YZ平面內(nèi)的曲率半徑。

相互接觸兩個半球形成的接觸區(qū)的有效半徑比γ和橢圓度κ為：

式中：a、b分別為橢圓形接觸區(qū)域在XZ平面和YZ平面內(nèi)的半徑。

在滾珠絲杠副接觸情形下，滾珠與滾道的接觸為凸-凹的接觸形式，接觸區(qū)曲率和為：

▲圖4 滾珠絲杠接觸模型

按照赫茲接觸理論［4］，接觸變形δ與法向接觸力P的關系為

已知 ζ、ξ、κ 的最優(yōu)估計方程［5］，將式（14）及最優(yōu)估計方程代入式（20），則變形與法向正壓力Fa的關系為：

由式（15）可知，螺母與絲杠接觸的法向接觸力不僅與絲杠螺母接觸的法向接觸力相關，還與滾珠、絲杠的轉(zhuǎn)動速度相關。

滾珠與螺母、絲杠接觸產(chǎn)生的變形在絲杠軸向的投影為：

以作用力F與變形δz′的商定義為滾珠絲杠軸向接觸剛度［6］：

則滾珠絲杠副的軸向接觸剛度將是一與外部負載、絲杠及滾珠轉(zhuǎn)速、接觸角、螺旋升角及材料特性等相關的非線性參數(shù)。

2.2 接觸剛度仿真

由式（21）可知，接觸變形與滾珠絲杠副的螺旋升角α、滾珠與絲杠接觸角βA、滾珠數(shù)量 z、曲率和R等結構參數(shù)相關，并受相互接觸兩結構的等效彈性模量E和等效泊松比γ的影響，變形隨外部負載力的變化呈現(xiàn)出非線性變化。因此，滾珠絲杠副接觸剛度將會因上述參數(shù)的變化而發(fā)生變化。為研究接觸剛度特性，筆者對上述參數(shù)中螺旋升角α、接觸角βA及負載變化導致的滾珠絲杠副接觸剛度變化進行仿真分析。

2.2.1 負載對接觸剛度的影響

對滾珠絲杠副接觸剛度進行仿真實驗，其具體參數(shù)見表1。由于螺母與滾珠間的接觸變形與運行速度等相關，因此，此處僅考慮絲杠與滾珠接觸來探討接觸剛度K與負載力F的關系。以MATLAB2008作為數(shù)值計算工具，以周期力 F=A［1+sin（ωft）］作為激勵對其進行仿真計算，在此設定周期力周期ωf=20 Hz，幅值A=1 000 N，t為時間,s。仿真結果如圖5所示。

由圖5可知，所計算的滾珠絲杠副接觸剛度幅值在108N/m量級，隨外部載荷的增加，滾珠絲杠副的接觸剛度將變大。在前半段剛度隨力的增加幅度較大，在后半段增加幅度放緩。這是由于隨著外部載荷的增加，接觸變形變大，滾珠和絲杠（螺母）接觸區(qū)域的面積也增大，增加的幅度隨力的增加而逐漸放緩。因此，可以通過在絲杠和螺母間施加一定幅度的預緊力，以減小由于接觸變形對滾珠絲杠運動精度帶來的影響。

2.2.2 接觸角和螺旋升角對變形的影響

由式（21）可知，滾珠絲杠副的彈性變形量與螺旋升角及接觸角相關。在實際選擇滾珠絲杠副時，為了實現(xiàn)高速傳動，通常會選用較大導程的絲杠。螺旋升角與絲杠導程直接相關，因此忽略了導程對滾珠絲杠副運動特性的影響。另外，滾珠與絲杠和螺母的接觸角極易受使用環(huán)境及安裝狀態(tài)的影響?；谝陨峡紤]，針對接觸角和螺旋升角對滾珠絲杠接觸變形的影響進行分析。

表1 滾珠絲杠仿真模型結構參數(shù)

▲圖5 滾珠絲杠接觸剛度與負載力的關系圖

▲圖6 螺旋升角與變形量的關系

▲圖7 接觸角與變形量的關系

基于表1參數(shù)，以步長1°改變螺旋升角，得到的變形量與螺旋升角的關系如圖6所示。絲杠一邊變形量隨螺旋升角的增大而增大。螺旋升角增大9°，變形量增加1.2×10-9m。由螺旋升角變化引起的變形量值較小，在實際選擇滾珠絲杠時可以忽略。

以步長5°改變接觸角得到變形量與接觸角的關系如圖7所示。隨著接觸角的增大，絲杠與滾珠的接觸變形在0～30°范圍內(nèi)減小較快，在＞30°范圍內(nèi)減小放緩。接觸角從5°增加到50°，接觸變形量降低了3×10-7m。因此，在選型及安裝過程中，選擇滾珠絲杠副的接觸角＞30°，可以明顯降低接觸變形。

3 結論

將絲杠、螺母、滾珠作為剛體，對其空間運動過程進行建模，分析了在動態(tài)傳動過程中接觸變形、接觸角、螺旋升角、滾珠半徑、絲杠半徑、導程等參數(shù)會影響滾珠絲杠的傳動精度。滾珠與螺母和絲杠接觸點的速度偏差會影響絲杠運動平穩(wěn)性。減小螺旋升角，增大接觸角以及提高材料的彈性模量等，可以有效降低絲杠和螺母的速度波動，提高滾珠絲杠的運動平穩(wěn)性。另外，可以通過在絲杠和螺母間施加一定幅度的預緊力，來減小由于接觸變形對滾珠絲杠運動精度帶來的影響。在選型及安裝過程中，通過選擇滾珠絲杠副的接觸角＞30°，可以明顯降低接觸變形。

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