孟彥廷，孟渝.重慶交通大學；.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院

和

分部積分法在非連續(xù)函數(shù)中的應用

孟彥廷1，孟渝2
1.重慶交通大學；2.重慶工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院

近年來，對于積分區(qū)間上不連續(xù)的函數(shù)應用牛頓-萊布尼茲公式求定積分的探討很多。實際上，對于條件更加嚴苛的定積分的分部積分法也可以進行更深入分析和研究。本文通過對幾種不滿足定積分分部積分法條件的情況進行探討和分析，并得出相應的結(jié)論，從而擴大了該公式的應用范圍，并且這些結(jié)論在像傅里葉級數(shù)和變換的運算等方面能發(fā)揮實際的作用。

分部積分法；非連續(xù)；第一類間斷點，其中為任意常數(shù)。證明：根據(jù)可積性理論，g(x)在[a,b]上可積，那么∫axg(t)dt就在[a,b]上連續(xù)（文獻1），但注意到由條件②并非[a,b]上g(x)是連續(xù)函數(shù)，實際上G(x)在[a,b]上不一定處處可導，為了證明簡便，假設g(x)在[a,b]上只有唯一一個第一類間斷點x0，即

由條件②則

定積分的計算是數(shù)學分析的重要內(nèi)容，而這部分所依賴的唯一理論工具是牛頓-萊布尼茲公式，而該公式的條件要求非常嚴苛，要求被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)[1]。在現(xiàn)實世界的實際應用中，這些要求幾乎很難達到，所以近年來很多文獻[2-5]對積分區(qū)間上非連續(xù)函數(shù)的對牛頓-萊布尼茲公式的應用的一些探討和研究，主要總結(jié)一系列非連續(xù)函數(shù)的定積分計算方法，這些討論總體來說只是對分段連續(xù)函數(shù)對牛頓-萊布尼茲公式的適應性的分析，總而擴大該公式的應用范圍。但是，對于建立在該公式上，并且條件更加嚴苛的定積分分部積分法公式未作更深入的探討。本文將從這方面入手，分幾種情況進行討論，通過分析證明出這個公式的更廣泛的應用形式。

定義：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義，且只有有限個第一類間斷點，則稱f(x)在[a,b]上分段連續(xù)。

定理一

設①F(x)在[a,b]上有連續(xù)的導數(shù)值，記為f(x)，②g(x)[a,b]上分段連續(xù)，則均存在，不妨記為t1和t2，定義g1(x0)=t1，g2(x0)=t2，這時g1(x)和g2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)，那么若t1≠t2時，G(x)在x0點不可導，但在[a,x0]和[x0,b]均可導，且導數(shù)都為g(x)。由條件①和②得知，F(xiàn)(x)g(x)、f(x)G(x)均在[a,x0]和[x0,b]上可積。應用定積分分部積分法公式，則有

考慮到F(x)與G(x)的連續(xù)性，F(xiàn)(x)G(x)在[a,b]上連續(xù)，則其中Fˉ(x)=∫axf(t)dt+C。

證明：類似定理一，假設f(x)只有一個第一類間斷點x0，在[a,x0]和[x0,b]上f(x)分別為f1(x)和f2(x)。由條件

故上述定理得證。

定理二

設①F(x)在[a,b]上連續(xù)且有分段連續(xù)的導數(shù)，記為f(x)；②g(x)在[a,b]上連續(xù)且G′(x)=g(x)。均存在，記為t1和t2，定義f1(x0)=t1，f2(x0)=t2，則f1(x)、 f2(x)分別在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)，那么F′(x)在除x0以外的點與-F′(x)相等，由條件①②F(x)g(x)、f(x)G(x)在[a,b]上可積，考慮到

Fˉ(x)的連續(xù)性以及Fˉ′(x)（F(x)）在[a,x0]、[x0,b]上連續(xù)性。故

例1：設f(x)在[-l,l]上分段連續(xù)，且：

由于f(x)只有第一類間斷點，則F(x)在[-l,l]要么存在有限導數(shù)，要么存在有限的單側(cè)導數(shù)，則

實際上，以上三個定理也可以推廣到無限區(qū)間的廣義（反常）積分上去。

例2：求f′(x)的傅里葉變換，設f(x)在(-∞,+∞)分段連續(xù)，f(x)存在且只有有限個第一類間斷點且

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孟彥廷（1993-），女，重慶人，2013年在“第一屆重慶市大學生物理創(chuàng)新競賽”中榮獲論文類二等獎，2014年在第六屆全國大學生數(shù)學競賽中榮獲重慶賽區(qū)一等獎，在2014年全國大學生數(shù)學建模競賽中榮獲重慶市二等獎。

孟渝（1963-），男，遼寧鐵嶺人，碩士，講師，從事高等數(shù)學的教學與研究。