桂水榮，張 超，陳水生

(1.華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌 330013；2.東南大學 交通學院，江蘇 南京 210096)

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車橋耦合振動縮尺模型試驗的相似律研究

桂水榮1,2，張 超1，陳水生1

(1.華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌 330013；2.東南大學 交通學院，江蘇 南京 210096)

基于公路橋梁車橋耦合振動特性及結(jié)構(gòu)動力模型試驗相似理論，提出了車橋耦合振動縮尺模型試驗相似關(guān)系。以某假設(shè)簡支梁橋為原型，根據(jù)原型結(jié)構(gòu)動力特性及相似比尺，計算了車輛與橋梁動力特性參數(shù)；對比分析了原型橋與模型橋的靜、動態(tài)響應，校驗所提出的車橋耦合振動縮尺模型相似律。結(jié)果表明：車橋耦合振動室內(nèi)縮尺模型需同時滿足彈性相似律及重力相似律。

橋梁工程；相似律；車橋耦合系統(tǒng)；動力縮尺模型

0 引 言

高速公路上重載車輛對橋梁的沖擊作用，加速了橋梁的破壞進程。移動車輛荷載對橋梁的動力作用最明顯的效應就是能引起比靜力作用更大的位移和應力。設(shè)計中，用沖擊系數(shù)來描述移動車輛荷載對橋梁沖擊效應，但車輛與橋梁相互作用影響因素較復雜，包括：橋梁結(jié)構(gòu)動力特性；車輛動力特性；橋頭引道、橋面不平順；車輛的行駛速度、橫向作用位置等[1]，這些因素相互摻雜影響。

國內(nèi)外學者對車橋耦合振動問題開展了大量的理論與現(xiàn)場試驗研究。采用簡化模型數(shù)值求解車橋耦合振動問題，橋梁一般離散為彈性梁(板)單元，車輛荷載一般簡化為移動的多自由度剛體振動體系，路面不平順激勵簡化為諧波三角級數(shù)疊加。李軍強，等[2]建立兩自由度車輛模型，結(jié)合Runge-kutta法，研究了簡支梁橋車橋耦合振動的簡便算法；陳燊，等[3]分析了多車作用下的剛架拱橋振動響應；K. Henchi，等[4]將模態(tài)綜合疊加法引入車橋耦合振動系統(tǒng)，推導了三維車橋耦合振動模型的求解算法，該算法被廣泛應用于車橋耦合振動的數(shù)值模擬[5-6]；吳銘漢，等[6]討論了4種車輛模型對T型剛構(gòu)橋振動響應的影響；李奇，等[7]考慮車體的柔性，研究了采用有限元方法求解車橋耦合振動問題的建模方法。上述研究表明，車輛簡化為平面(或空間)模型均能有效的體現(xiàn)車橋耦合振動特性，將車橋耦合系統(tǒng)簡化為移動彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，并結(jié)合迭代法求解車橋耦合振動問題是最快捷、最有效的方法。

目前，對車橋耦合振動問題的研究，主要采用數(shù)值模擬和現(xiàn)場試驗測試的方法。關(guān)于橋梁結(jié)構(gòu)開展的室內(nèi)模型試驗主要集中于靜力特性研究，動力縮尺模型試驗主要研究橋梁結(jié)構(gòu)動力性能、地震和風洞效應等[8-10]。T. H. T. Chan，等[11]以荷載響應識別為目的，制作了車橋耦合振動模型簡易試驗裝置，但該試驗未按相似關(guān)系對車輛和橋梁的動力特性參數(shù)予以設(shè)計。車橋耦合振動的動態(tài)響應圍繞著靜態(tài)響應上下波動，自重對振動響應影響不可忽略，因而縮尺模型試驗除必須保證彈性相似律外，還必須同時滿足重力相似律[12]。

筆者考慮公路橋梁車橋耦合振動特性，以結(jié)構(gòu)動力模型相似理論為基準，根據(jù)π定理，采用量綱分析方法，提出了公路橋梁車橋耦合振動縮尺模型試驗需保證的彈性相似律、重力相似律、彈性力-重力相似律。以1/4(2自由度)車輛模型行駛在40 m簡支梁橋為例，采用10 ∶1的幾何縮尺比，計算模型結(jié)構(gòu)相似常數(shù)，并確定模型試驗橋及試驗小車動力特性參數(shù)。對比分析原型橋動力響應與縮尺模型橋動力響應，校驗公路橋梁車橋耦合振動縮尺模型試驗需滿足的相似律。

1 車橋耦合振動原理分析

對于移動車輛荷載作用下橋梁的振動，因行駛的車輛是具有彈簧質(zhì)量的振動系統(tǒng)，車輛移動及路面不平順激勵必將引起車身及懸架系統(tǒng)的振動，從而導致車-橋系統(tǒng)耦合振動。采用三維彈簧-質(zhì)量振動系統(tǒng)求解車橋耦合振動響應，考慮了車輛的俯仰、側(cè)傾及垂直運動，能準確分析車橋耦合振動特性[4-6]。吳銘漢，等[6]分析了4種車輛模型對車橋耦合振動響應的影響，認為1/4車輛模型(2自由度)及整車模型均能有效地體現(xiàn)車橋耦合振動特性。筆者以1/4車輛模型為例，根據(jù)車橋耦合振動特性，研究車橋耦合振動縮尺模型相似關(guān)系。

1/4車輛模型，將車體質(zhì)量集中于m1，懸架系統(tǒng)剛度及阻尼集中于k1和c1，車輪及懸架系統(tǒng)質(zhì)量集中于m2，車輪剛度及阻尼集中于k2和c2，建立車橋耦合振動模型，如圖1。圖1中：簡支梁橋未變形前的中心線為x軸，y(x，t)為橋梁中心線動位移；y1(t)為m1的豎向絕對位移；y2(t)為m2的豎向絕對位移；v為車輛行駛速度；L為簡支梁橋跨徑；m為單位長度質(zhì)量；c為阻尼；EI為剛度。

圖1 2自由度車輛模型的車橋耦合振動系統(tǒng)Fig.1 Vehicle-bridge coupling vibration system of two degree of freedom vehicle model

1)作用在車體m1上的力

由于m1的相對位移而產(chǎn)生的懸架彈簧彈性力：

由m1的相對速度而產(chǎn)生的懸架阻尼力：

從而導出m1的動平衡方程：

(1)

2)作用在m2上的力

車輪與懸架彈簧的相對位移而產(chǎn)生的彈性力：

車輪與懸架相對速度而產(chǎn)生的阻尼力：

從而導出m2的動力平衡方程：

(2)

當車輛以速度v勻速通過簡支梁橋時，作用于橋上的荷載包括移動車輛(車體+懸架+車輪)的重力PG=(m1+m2)g，m2的慣性力PI2、彈性力PS2及阻尼力PD2。將簡支梁橋簡化為歐拉梁，建立橋梁振動方程：

(3)

由式(3)可以看出，影響車橋耦合振動因素主要有橋梁結(jié)構(gòu)動力特性、車輛動力特性、車輛行駛速度等。作用于橋上外荷載包括車輛重力及由車輪傳遞來的慣性力、阻尼力及彈性力，車輛自重在振動響應中占有不可忽視的比例，研究車橋耦合振動縮尺模型試驗相似關(guān)系，需保證車橋耦合系統(tǒng)的彈性力、重力及阻尼力相似。

2 車橋耦合縮尺模型試驗相似理論

2.1 結(jié)構(gòu)動力模型試驗一般要求

試驗模型與被模擬的原型結(jié)構(gòu)滿足物理力學相似，需要滿足幾何尺寸相似、模型材料與原型材料的應力-應變關(guān)系相似、質(zhì)量和重力相似以及初始條件和邊界條件相似[12]。幾何相似要求模型尺寸按固定比例縮??；保持模型材料與原型材料應力-應變關(guān)系相似非常困難，但對于不同的研究目的，應力-應變關(guān)系可以不同；質(zhì)量和重力相似是模型設(shè)計中最靈活的相似關(guān)系，可以根據(jù)不同的試驗目的，選擇滿足質(zhì)量相似關(guān)系或重力相似關(guān)系或質(zhì)量-重力相似關(guān)系。

研究車橋耦合振動系統(tǒng)在線彈性范圍內(nèi)的縮尺模型相似關(guān)系，根據(jù)π定理，運用量綱分析法推導車橋耦合振動模型試驗的各物理量相似比關(guān)系。研究車橋耦合振動模型試驗涉及的物理量包括：表征材料特性的應力σ，應變ε，彈性模量E，密度ρ；表征幾何特性的長度l，位移δ；表征動力特性頻率f，時間t，速度v，加速度a，重力加速度g；作用外力P等。選取T，L，F(xiàn)為基本量綱，用a1，a2，a3，…，a12分別代表各物理量的指數(shù)，根據(jù)π定理，共有9個π項。表1為9個物理量的量綱矩陣。

表1 量綱矩陣

按照表1的量綱矩陣，可得齊次方程組。

1)考慮量綱F指數(shù)為0：

a5+a8+a11+a12=0

2)考慮量綱L指數(shù)為0：

a1+a2+a3-2a5+a9+a10-4a11-2a12= 0

(4)

3)考慮量綱T指數(shù)為0：

-a2-2a3+a4-a7-2a9+2a11=0

取l，ρ，E為基本未知量，對線性方程組(4)進行求解，整理得π矩陣如表2。

表2 π 矩陣

由π矩陣可得到9個π準則：

式中：π1,…,π9為無量綱參數(shù)，對于模型結(jié)構(gòu)與原型結(jié)構(gòu)，要求保持這些參數(shù)相等。

定義λ為原型與模型之間相似比尺，λl，λE，λρ，分別為幾何比尺、彈性模量比尺、密度比尺；λu，λε，λσ，λF，λm，λt，λa，λv，λf，λg分別為變形比尺、應變比尺、應力比尺、作用力比尺、質(zhì)量比尺、時間比尺、加速度比尺、速度比尺、頻率比尺、重力加速度比尺；根據(jù)相似準則，可以推出各物理量需滿足的相似關(guān)系。實際上，完全滿足式(5)相似準則推出的相似關(guān)系是比較困難的，因π3，π9相似準則要求λa=λg，而在一般的模型試驗中，重力加速度是無法改變的，這就只能取λa=λg=1，從而導致λl，λρ，λE不能獨立選取。因而在動力模型試驗中，根據(jù)研究目的不同，選擇滿足不同的相似律關(guān)系。車橋耦合振動縮尺模型因其受力特點，需同時滿足彈性相似律及重力相似律。

2.2 動力模型相似律

2.2.1 彈性相似律

彈性結(jié)構(gòu)在外加荷載作用下，振動基本方程為：

(6)

式中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；F(t)為作用外力；u為結(jié)構(gòu)廣義坐標向量。

從式(6)可以看出，對結(jié)構(gòu)振動起主要影響的有慣性力、阻尼力、彈性恢復力及作用外力。研究結(jié)構(gòu)的動力特性(自振頻率和模態(tài))，主要是求解方程：

即，主要保證原型結(jié)構(gòu)與模型結(jié)構(gòu)的慣性力和彈性恢復力相似。在一般的模型設(shè)計中，原型結(jié)構(gòu)和模型結(jié)構(gòu)重力加速度相同，因此，加速度比尺取1。從慣性力與彈性恢復力相似要求，可以推出：

(7)

整理式(7)可得：

(8)

根據(jù)量綱關(guān)系，彈性相似律同時也要求：

(9)

當研究結(jié)構(gòu)在彈性階段的動力響應時，還應保持作用外力F相似，根據(jù)量綱分析有：

λF=λE·λl·λu

(10)

結(jié)構(gòu)在線彈性小應變范圍內(nèi)振動，適用疊加原理，變形比尺λu可以不等于幾何比尺λl，自由選定。也就是說，在線彈性試驗過程中，可以調(diào)整變形比尺，以提高測量精度，而并不影響相似關(guān)系，只是應力比尺、速度比尺和加速度比尺需按變形比尺做相應的調(diào)整[12-13]。

2.2.2 重力相似律

結(jié)構(gòu)振動慣性力與結(jié)構(gòu)重力的相似比尺相同，簡稱為重力相似。加速度相似比尺取1時，根據(jù)量綱關(guān)系，可以得到：

(11)

將式(9)代入式(11)可得：

(12)

從式(12)中可以看出，試驗滿足重力相似律時，時間比尺只與結(jié)構(gòu)的幾何比尺有關(guān)，與所選取的變形比尺λu無關(guān)。因而，試驗過程中，可以根據(jù)試驗測試精度要求，選取適當?shù)淖冃伪瘸擀藆。

2.2.3 彈性力-重力相似律

在許多情況下，重力對結(jié)構(gòu)振動產(chǎn)生非常重要的影響。例如，研究移動車輛荷載作用下橋梁的振動響應，由移動車輛荷載引起的橋梁振動響應曲線，動載響應曲線圍繞著靜載響應曲線上下波動，車輛與橋梁相互作用過程中，靜載作用不可忽略，需滿足重力相似關(guān)系[12]。研究車橋耦合振動縮尺模型試驗相似關(guān)系，需同時滿足彈性力-重力相似律要求，因而模型設(shè)計同時滿足式(8)和式(12)，可以推出：

(13)

模型設(shè)計過程中，若選取變形比尺與幾何比尺相同時，則式(13)可改寫為：

(13′)

(14)

式中：mp，mm分別為原型、模型實際質(zhì)量。

2.2.4 車輛模型相似關(guān)系

研究車橋耦合振動引起的橋梁動力響應，需保證橋梁上的外加荷載相似。作用于橋梁上的外加荷載包括車輛自重及車輛行駛引起的彈性力、阻尼力及慣性力，這些作用外力隨車輛在橋梁上的運行位置及狀態(tài)而改變，取決于車輛質(zhì)量、阻尼和剛度大小及分配。車輛的質(zhì)量及剛度總體表現(xiàn)為車輛自振頻率，當車輛自振頻率與橋梁基頻接近，或車輛荷載間隔加載周期與橋梁某階自振頻率接近時，將引起車橋共振?？紤]車橋耦合振動特性，根據(jù)π定理準則及量綱分析，可以得出車輛動力特性相似關(guān)系：

(15)

式中：λvm，λvk，λvc分別為車輛的質(zhì)量比尺、剛度比尺、阻尼系數(shù)比尺。

車輛懸架系統(tǒng)的阻尼，根據(jù)阻尼力PD=c·v，可推導出，在滿足彈性力-重力相似關(guān)系的前提下，車輛阻尼系數(shù)相似比尺：

(16)

3 算例驗證

為校驗筆者提出的車橋耦合振動縮尺模型試驗相似律，以1/4車輛模型勻速行駛在40 m簡支梁橋為例，研究原型結(jié)構(gòu)與縮尺模型結(jié)構(gòu)車橋耦合振動特性。取簡支梁橋的跨中截面抗彎慣性矩為I跨中=3.22×1012mm4，面積A跨中=5.015×106mm2，原型結(jié)構(gòu)的橋梁及車輛參數(shù)如表3。選取幾何相似比尺λl=10，變形比尺λμ與幾何比尺λl相同，根據(jù)縮尺模型對材料強度及彈性模量的要求，選取有機玻璃(聚甲基丙烯酸甲酯PMMA)為模型試驗橋原材料。模型試驗設(shè)計中，彈性模量比尺λE由原型結(jié)構(gòu)(混凝土彈性模量)和模型結(jié)構(gòu)(有機玻璃彈性模量)確定；加速度比尺λa=1。根據(jù)文中推導的車橋耦合振動縮尺模型相似律關(guān)系，導出其他相似比尺如表4。依據(jù)表4相似比尺及表3原型結(jié)構(gòu)的橋梁及車輛參數(shù)，確定縮尺模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3。

表3 原型結(jié)構(gòu)與模型結(jié)構(gòu)參數(shù)對比

表4 模型試驗相似比尺

表5 原型橋與模型橋數(shù)值模擬動力響應對比

對比表5計算結(jié)果，可以看出：

1)原型橋與模型橋振動響應時程曲線變化規(guī)律完全一致。

2)各種速度作用下，原型橋與模型橋跨中及1/4位置最大動位移之比均等于變形比尺，縮尺后的車橋耦合振動模型的靜、動態(tài)響應遵循車橋耦合振動相似律。

3)原型橋與模型橋靜位移之比等于變形比尺，不同速度作用下，原型與模型的不同位置理論沖擊系數(shù)相同；試驗中，若采用實測的車輛動力特性參數(shù)，按相似比尺制作車橋耦合縮尺模型試驗裝置，試驗測試結(jié)果能直接反映該類車輛對橋梁的沖擊效應。

4)筆者提出的車橋耦合振動相似理論正確，但在試驗過程中，可適當改變變形比尺，提高測試精度，減小因測試數(shù)據(jù)過小而引起的過大沖擊系數(shù)相對誤差。

4 結(jié) 語

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力相似原理及車橋耦合振動原理，基于 π 定理和量綱分析方法，提出了公路橋梁車橋耦合動力縮尺模型的相似關(guān)系。以虛設(shè)簡支梁橋為例，根據(jù)原型結(jié)構(gòu)特性及相似比尺，計算模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，對比分析原型橋與模型橋的靜、動態(tài)響應。研究結(jié)果表明，筆者提出的車橋耦合振動響應的縮尺模型相似律是可行的，研究車橋耦合振動室內(nèi)縮尺模型，需同時滿足彈性律-重力相似律關(guān)系。

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Similarity Law of Scale-Model Test System for Vehicle-Bridge Coupling Vibration

Gui Shuirong1,2, Zhang Chao1, Chen Shuisheng1

(1. Department of Civil Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, Jiangxi, China; 2. School of Transportation, Southeast University, Nanjing 210096, Jiangsu, China)

The similarity laws of bridge-vehicle interaction system were presented based on similarity theories of structure dynamic model test and dynamic property of highway bridge-vehicle coupling vibration. Taken a fictitious simple supported beam bridge as an example, the parameters of vehicle model and bridge model were calculated according to the prototype structure dynamic properties and scale factor of geometry. Comparative analysis of static and dynamic response between prototype bridge and model bridge, verified the vehicle-bridge coupling vibration model similarity law. The results showed that, the scale model test for vehicle-bridge coupling vibration need to satisfy elastic similarity law and gravity similarity simultaneously.

bridge engineering;similarity law; vehicle-bridge interaction system; dynamic scale-model test

10.3969/j.issn.1674-0696.2015.02.03

2013-07-28；

2014-02-07

國家自然科學基金項目(51268013,51468018)；江西省教育廳科研項目(GJJ14384；GJJ14352)；教育部工程研究中心資助項目(13TM02)

桂水榮(1979—)，女，江西九江人，副教授，博士研究生，主要從事公路橋梁車橋耦合振動方面的研究。E-mail:guishuirong@163.com。

U441.3

A

1674-0696(2015)02-010-05