錢立凱，普粉麗

(1.曲靖師范學(xué)院教師教育學(xué)院，云南曲靖655011；2.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南普洱665000)

關(guān)于Diophantine方程x3-1=91y2

錢立凱1，普粉麗2

(1.曲靖師范學(xué)院教師教育學(xué)院，云南曲靖655011；2.普洱學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南普洱665000)

利用初等方法證明了Diophantine方程x3-1=91y2僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0)。

Diophantine方程；整數(shù)解；同余式；平方剩余；Legendre符號(hào)；遞歸序列

關(guān)于方程x3-1=Dy2(D>0是非平方數(shù))是一類重要的三次Diophantine方程，其整數(shù)解已有不少人研究過(guò)。當(dāng)D不含6k+1形素因子時(shí)，文[1]證明了當(dāng)D>2，D無(wú)平方因子且不含3及6k+1形素因子時(shí)，方程x3-1=Dy2無(wú)非平凡解；文[2]證明了當(dāng)D>2，D無(wú)平方因子且不含6k+1形素因子時(shí)，方程x3-1=Dy2無(wú)非平凡解。但當(dāng)D含6k+1形素因子時(shí)，方程的非平凡解的求解較為困難，文[3]給出了當(dāng)0

定理 Diophantine方程

x3-1=91y2

(1)

僅有整數(shù)解(x,y)=(1，0)。

1 相關(guān)引理

引理1[5]方程4x4-3y2=1僅有整數(shù)解(x,y)=(±1,±1)。

引理2[6]方程x4-3y2=1僅有整數(shù)解(x,y)=(±1,0)。

引理3[5]方程x2-3y4=1僅有整數(shù)解(x,y)=(±2,±1)，(±7,±2)，(±1,0)。

2 定理證明

證明：因?yàn)?x-1,x2+x+1)=(x-1,(x-1)2+3(x-1)+3)=(x-1,3)=1或3，故Diophantine方程(1)給出以下8種分解：

情形(Ⅰ)x-1=13u2，x2+x+1=7v2，y=uv，(u,v)=1

情形(Ⅱ)x-1=7u2，x2+x+1=13v2，y=uv，(u,v)=1

情形(Ⅲ)x-1=u2，x2+x+1=91v2，y=uv，(u,v)=1

情形(Ⅳ)x-1=91u2，x2+x+1=v2，y=uv，(u,v)=1

情形(Ⅴ)x-1=39u2，x2+x+1=21v2，y=3uv，(u,v)=1

情形(Ⅵ)x-1=21u2，x2+x+1=39v2，y=3uv，(u,v)=1

情形(Ⅶ)x-1=3u2，x2+x+1=273v2，y=3uv，(u,v)=1

情形(Ⅷ)x-1=273u2，x2+x+1=3v2，y=3uv，(u,v)=1

備注：文中用符號(hào)(u,v)表示整數(shù)u,v的最大公約數(shù)，其中u,v∈Z。

情形(Ⅰ)將x-1=13u2代入x2+x+1=7v2，得(26u2+3)2+3=7(2v)2，即

(26u2+3)2-7(2v)2=-3

(2)

因?yàn)榉匠蘕2-7Y2=-3由兩個(gè)結(jié)合類得到，其基本解為(5，2)，而Pell方程X2-7Y2=1的基本解為(8，3)，故(2)式的全部整數(shù)解由以下兩個(gè)結(jié)合類給出：

26u2=±xn-3

(3)

由式(3)得xn≡±(mod 26)。

容易驗(yàn)證下式成立：

xn+2=16xn+1-xn，x0=5，x1=82

(4)

對(duì)遞歸數(shù)列(4)取模26，其剩余類周期為14，且xn?±3(mod 26)。所以(3)式不成立。故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅱ) 由x-1=7u2知x=7u2+1，從而x≡0，1，5(mod 8)，則x2+x+1≡1，3，7(mod 8)。而v為奇數(shù)，故v2≡1(mod 8)，則13v2≡5(mod 8)，這與x2+x+1=13v2矛盾，故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅲ) 將x-1=u2代入x2+x+1=91v2，得(2u2+3)2+3=91(2v)2，則有(2u2+3)2+3≡

情形(Ⅳ) 解x2+x+1=v2，得x=0，-1，均不適合第一式，故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅴ) 由x-1=39u2知x=39u2+1，從而x≡0，1，5(mod8)，則x2+x+1≡1，3，7(mod8)。而v為奇數(shù)，故v2≡1(mod8)，則21v2≡5(mod8)，這與x2+x+1=21v2矛盾，故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅵ) 將x-1=21u2代入x2+x+1=39v2，得(42u2+3)2+3=39(2v)2，即

(42u2+3)2-39(2v)2=-3

(5)

因?yàn)榉匠蘕2-39Y2=-3由一個(gè)結(jié)合類得到，其基本解為(6，1)，而Pell方程X2-39Y2=1的基本解為(25，4)，故方程(5)的全部整數(shù)解可表示為：

因此X2-39Y2=-3不存在滿足2|Y的整數(shù)解，故方程(5)無(wú)整數(shù)解，所以該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅶ) 由x-1=3u2知x=3u2+1，從而x≡1,4,5(mod8)，則x2+x+1≡3，5，7(mod8)。而v為奇數(shù)，故v2≡1(mod8)，則273v2≡1(mod8)，這與x2+x+1=273v2矛盾，故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

情形(Ⅷ) 將x-1=273u2代入x2+x+1=3v2，得(546u2+3)2+3=3(2v)2，即

(2v)2-3(182u2+1)2=1

(6)

因?yàn)镻ell方程X2-3Y2=1的基本解為(2，1)，因此方程(6)的一切整數(shù)解可表示為：

因此有182u2+1=±yn(n∈Z)，即182u2=±yn-1。又y-n=-yn，所以只需考慮：

182u2=yn-1

(7)

由(7)得

yn≡1(mod2)

(8)

容易驗(yàn)證下列各式成立：

yn+2=4yn+1-yn，y0=0，y1=1

(9)

yn+1=xn+2yn，xn+1=2xn+3yn

(10)

(11)

(12)

y2n=2xnxn

(13)

對(duì)遞歸序列(9)取模2，得周期為2的剩余類序列，且僅當(dāng)n≡1(mod2)時(shí)yn≡1(mod2)，故(8)要成立，需n≡1(mod2)。

對(duì)遞歸數(shù)列(9)取模7，其剩余類周期為8，當(dāng)n≡5，7(mod8)時(shí)，有yn≡6(mod7)，則有0≡182u2=yn-1≡5(mod7)，矛盾，故(7)式不成立。

對(duì)遞歸數(shù)列(9)取模13，其剩余類周期為12，當(dāng)n≡3，7，9，11(mod12)時(shí)，有yn≡2，12，11，12(mod13)，則有0≡182u2=yn-1≡1，10，11(mod13)，矛盾，故(7)式不成立。從而n≡1(mod8)。

91u2=x4m+1y4m

(14)

又對(duì)遞歸序列取模7，得周期為8的剩余類序列：1，4，1，0，6，3，6，0，…，當(dāng)n≡0，4(mod8)時(shí)，有yn≡0(mod7)，則y4m≡0(mod7)。

由式(10)，得(x4m+1，y4m)=(2x4m+3y4m，y4m)=(2x4m,y4m)=2，故(14)可以分解為以下兩種情形：

x4m+1=2a2，y4m=182b2,u=2ab

(15)

或x4m+1=26a2，y4m=14b2，u=2ab

(16)

由(16)的y4m=14b2得2x2my2m=14b2，即x2my2m=7b2，則有

x2m=c2，y2m=7d2，b=cd

(17)

或x2m=7c2，y2m=d2，b=cd

(18)

(7c2)2-3d4=1

(19)

由引理3知(19)僅有整數(shù)解(c,d)=(±1，±2)，所以d=±2，則y2m=4，即m=1，此時(shí)n=9，所以由(7)，得182u2=y9-1=40544，即13u2=2896，顯然無(wú)解。故該情形Diophantine方程(1)無(wú)整數(shù)解。

綜上有，Diophantine方程(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(1,0)。

[1]柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=Dy2[J].中國(guó)科學(xué)，1981，24(12)：1453-1457.

[2]柯召，孫琦.關(guān)于丟番圖方程x3±1=3DY2[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)，1981，18(2)：1-5.

[3]倪谷炎.關(guān)于丟番圖方程x3=Dy2+1[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1999，21(5)：109-111.

[4]羅明，黃勇慶.關(guān)于不定方程x3-1=26y2[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，29(6)：5-7.

[5]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：188-189.

[6]柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011，3：64.

[責(zé)任編輯 畢 偉]

On the Diophantine Equationx3-1=91y2

QIAN Li-kai1,PU Fen-li2

(1.College of Teacher Education,Qujing Normal University,Qujing 655011,China;
2.College of Mathematics and statistics,Puer University,Puer 665000,China)

Using the elementary methods,it was proved that the Diophantine equationx3-1=91y2has only trivial solution.

Diophantine equation; integer solution; congruence; quadratic remainder; Legendre symbol; recurrent sequence

2014-11-26

云南省教育廳科研基金(2014Y462)

錢立凱(1982—)，男，云南洱源人，曲靖師范學(xué)院講師。

O156

A

1004-602X(2015)02-0051-03