何勇波

所謂“數(shù)上構(gòu)形”就是根據(jù)函數(shù)式的特點，賦予這些函數(shù)式以幾何意義，構(gòu)造出對應(yīng)的圖形，從幾何的角度研究代數(shù)問題的一種解題方法.從圖形上可以直觀地看出問題的解，它是一種重要的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.而某些形如f（x）<（或>）g（x）的不等式“恒成立”問題，可以通過分別作出f（x）和g（x）的圖像，只需滿足f（x）的圖像在g（x）的圖像的下方（或上方）的條件即可滿足f（x）<（或>）g（x）“恒成立”.下面以近兩年的高考題為例，說明“數(shù)上構(gòu)形”的應(yīng)用.

例1（2014年高考山東理科卷）已知函數(shù)y=f（x）（x∈R），對函數(shù)y=g（x）（x∈I），定義g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關(guān)于點（x，f（x））對稱.若h（x）是g（x）=4-x2關(guān)于f（x）=3x+b的“對稱函數(shù)”， 且h（x）>g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是 .

分析g（x）的圖像表示以原點為圓心，2為半徑的圓在x軸上及其上面的部分.根據(jù)題意有：h（x）+4-x22=3x+b，即h（x）=6x+2b-4-x2，要使h（x）>g（x）恒成立，即使6x+2b-4-x2>4-x2，即使3x+b>4-x2成立.因此，要使h（x）>g（x）恒成立，只需滿足f（x）的圖像在g（x）的圖像上方.現(xiàn)

做出f（x）與g（x）的圖像（如圖1），當(dāng)直線y=3x+b與半圓相離，且b>0時，可滿足h（x）>g（x）恒成立.根據(jù)圓心（0，0）到直線y=3x+b的距離大于圓的半徑得|b|9+1>2，解得b>210或b<-210（舍去），所以要使h（x）>g（x）恒成立，則b>210，即實數(shù)b的取值范圍是（210，+∞）.

圖1評點本題考查了新定義問題與直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.解答本題的難點是通過推理得到不等式3x+b>4-x2恒成立的條件是直線在半圓的上方，并且與半圓相離，此外，本題還隱藏直線的截距b>0這個隱含條件.

因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱做出函數(shù)f（x）在R上的大致圖象如圖2，f（x-1）的圖象可以看作f（x）的圖像向右平移一個單位長度而得到，要使x∈R，f（x-1）≤f（x），必需滿足平移后f（x-1）圖像左邊的射線完全置于y=f（x）圖象中右邊射線下方時，即只需滿足3a2-（-3a2）≤1，解得

-66≤a≤66.

評點本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、恒成立問題.無論從哪個角度（呈現(xiàn)形式，考查內(nèi)容，求解方法等）都領(lǐng)略到試題所蘊含的“美”；學(xué)生求解須抓住將y=f（x）的圖像向右平移一個單位得到y(tǒng)=f（x-1）的圖象，在嘗試移動的過程中會發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)平移后左邊的射線完全置于y=f（x）圖象中右邊射線下方時，才可能使x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立.

例3（2014年高考北京理科卷）已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].（Ⅰ）求證：f（x）≤0；（Ⅱ）若a

分析將①變形得：ax

評點本題的解法通過構(gòu)造相應(yīng)的圖形把不等式“恒成立”問題轉(zhuǎn)化成求直線的斜率的變化范圍，回避了運用導(dǎo)數(shù)，通過分類討論函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的最值問題的復(fù)雜的解題過程，運用該解法解題的優(yōu)點在于形象、直觀地看出問題的解.

例4（2014年陜西高考理科壓軸題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf ′（x），其中f ′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a

的取值范圍.

h（x）是增函數(shù)；當(dāng)x>1-m時，h′（x）<0，此時h（x）是減函數(shù)，因此x2=1-m是h（x）的極大值點，也是最大值點，即h（x）≤h（1-m）=0，得ln（x+m）≤x+m-1，ex≥ln（x+m），即f（x）≥0，“=”成立的條件是：x1=x2（此時m=1），且x+1=x+m-1（此時m=2），即m=1且m=2同時成立，矛盾，故f（x）>0.

評點本解法先通過作4個函數(shù)的圖象，從圖象上可以看出4個函數(shù)的大小關(guān)系，知道了這4個函數(shù)的大小關(guān)系，等于為證題指明道路和方向，然后再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求出極值點，從而證明所構(gòu)造的2個不等式成立.因此，本題的證題思路概括為“數(shù)形結(jié)合法探路，構(gòu)造函數(shù)法證題”.

（收稿日期：2014-12-12）