楊 林 李貴祥

(東北林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

考慮冰劈效應(yīng)的裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

楊 林 李貴祥

(東北林業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

根據(jù)熱彈性理論將冰劈效應(yīng)轉(zhuǎn)化為冰劈荷載，并基于擴(kuò)展有限元方法(XFEM)，采用ABAQUS有限元分析軟件建立半無(wú)限板模型，求解裂縫在冰劈效應(yīng)下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，同時(shí)通過公式計(jì)算其應(yīng)力強(qiáng)度因子的理論解，將兩者進(jìn)行了對(duì)比分析，采用不同的積分區(qū)域因子rk，通過J積分算法求解不同深度裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子，得到rk取值范圍，通過調(diào)整網(wǎng)格加密系數(shù)，研究了裂縫區(qū)域網(wǎng)格加密對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

冰劈效應(yīng)，擴(kuò)展有限元，加密系數(shù)，應(yīng)力強(qiáng)度因子

0 引言

在各工程領(lǐng)域中，構(gòu)件斷裂是導(dǎo)致各種災(zāi)難性事故的重要原因，而構(gòu)件斷裂主要是由于其內(nèi)部裂縫在外界因素影響下擴(kuò)展造成的。進(jìn)入21世紀(jì)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展以及大型有限元軟件的開發(fā)，為裂縫的研究提供了有效途徑。但目前對(duì)于裂縫的研究具有一定局限性，傳統(tǒng)有限元研究中一般預(yù)先給定平直的擴(kuò)展路徑，裂縫只能沿單元邊界擴(kuò)展，與實(shí)際裂縫擴(kuò)展有較大差距。為改善傳統(tǒng)有限元在裂縫模擬中的局限性，由Belytschko和Black提出了一種新方法，經(jīng)Moёs和Daux等人完善后正式命名為擴(kuò)展有限元法[1，2](extended finite element method，XFEM)。該方法比較明顯的優(yōu)勢(shì)是允許裂紋在單元內(nèi)部擴(kuò)展，從而實(shí)現(xiàn)不規(guī)則裂縫的模擬[3]。目前對(duì)于裂縫擴(kuò)展的研究一般集中在荷載和溫度等作用條件上，對(duì)于冰劈作用對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響研究相對(duì)較少。但冰劈效應(yīng)在實(shí)際工程中比較常見，尤其是北方道路路面裂縫積水結(jié)冰對(duì)路面結(jié)構(gòu)造成嚴(yán)重?fù)p壞[4]。本文基于擴(kuò)展有限元法，采用J積分對(duì)冰劈效應(yīng)下裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算和分析。

1 擴(kuò)展有限元法

擴(kuò)展有限元法是以單位分解法為基礎(chǔ)，通過在常規(guī)有限元位移模式中加入加強(qiáng)函數(shù)，來(lái)解決不連續(xù)問題的一種方法。

1.1 單位分解法

單位分解法(Partition of Unity Method，PUM)是Melenk和Bubska等人于1996年前后提出的一種通過分片來(lái)逼近局部的函數(shù)[5]。其基本原理是任意函數(shù)ψ(x)在求解域Ω中都能用下列形式表示：

(1)

(2)

擴(kuò)展有限元對(duì)式(2)進(jìn)行擴(kuò)充來(lái)更準(zhǔn)確描述復(fù)雜未知場(chǎng)，擴(kuò)充后的未知場(chǎng)uh典型形式為:

(3)

其中，qJ為待定系數(shù)，用于調(diào)整函數(shù)Φ(x)的幅值。

1.2 控制方程

等同于傳統(tǒng)有限元，擴(kuò)展有限元控制方程根據(jù)虛功原理進(jìn)行推導(dǎo)[6]，假設(shè)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的虛位移δuh，則其虛功方程用下式表示：

(4)

其中,Fb為體力;Fs為面力;F為集中力;D為彈性矩陣;ε(u)為應(yīng)變。

將常規(guī)有限元逼近位移函數(shù)代入式(4)得到擴(kuò)展有限元控制方程：

Kδ=R

(5)

其中，K為單元矩陣集合而成的整體勁度矩陣；R為由單元荷載陣列組成的整體陣列；δ為結(jié)點(diǎn)未知向量。

1.3 應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算

裂縫尖端會(huì)發(fā)生應(yīng)力奇異，給數(shù)學(xué)計(jì)算帶來(lái)困難，為此引入了描述場(chǎng)強(qiáng)的物理參數(shù)應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF，K)，它的計(jì)算依賴于裂縫尖端的局部應(yīng)力場(chǎng)，是斷裂力學(xué)中的重要參數(shù)。目前對(duì)于Ⅰ型裂縫的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的計(jì)算有直接積分法、J積分和虛擬裂紋閉合法(VCCT)等方法[7]。本文采用精度較高的J積分法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算[8,9]。

在ABAQUS中加入用戶程序插件，將以裂縫尖端為圓心半徑為R的區(qū)域作為積分區(qū)域。

(6)

其中，rk為積分區(qū)域因子；h為裂縫尖端所在單元的面積。

通過積分區(qū)域因子對(duì)積分面積進(jìn)行控制，將采用不同rk值計(jì)算的KⅠ值與理論值進(jìn)行對(duì)比，得到合適的rk值，其示意圖見圖1。

2 裂縫模型的建立與分析

本文主要研究冰劈效應(yīng)對(duì)裂縫的影響，冰劈效應(yīng)可以轉(zhuǎn)化為冰劈荷載，并將其視為垂直于裂縫表面的均布?jí)毫?，其破壞形式屬于Ⅰ型裂縫。

2.1 冰劈荷載計(jì)算

根據(jù)熱彈性理論，由冰脹力引起的主應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(7)

其中，εi(i=1,2,3)為3個(gè)方向的主應(yīng)變；Eice為冰的彈性模量；vice為冰的泊松比；p(T)為冰劈荷載。

由文獻(xiàn)[10]可知p(T)引起冰的體積應(yīng)變?yōu)?

(8)

由物理學(xué)知識(shí)可知冰的體積膨脹系數(shù)為：

β(T)=0.000 3e0.044T

(9)

由體積膨脹系數(shù)定義可知εv(T)=β(T)，代入式(8)和式(9)可求得冰劈荷載：

(10)

將T=10 ℃，Eice=2 300 MPa，vice=0.35代入式(10)得p(T)=1.190 4 MPa。

2.2 建立有限元模型

采用ABAQUS有限元軟件建立尺寸為4 m×8 m的半無(wú)限板模型，板的物理常量為：E=30 MPa，v=0.33，裂縫內(nèi)充滿水時(shí)受力如圖2所示。

為研究不同深度裂縫在劈裂效應(yīng)下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，本文共建立2 cm，4 cm，6 cm，8 cm，10 cm，12 cm和14 cm深度裂縫模型進(jìn)行分析計(jì)算。如圖3所示為6 cm深度裂縫模型計(jì)算結(jié)果。

2.3 積分區(qū)域因子對(duì)比分析

根據(jù)應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)，半無(wú)限板邊緣裂縫上下表面受到均布?jí)毫，應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算公式為：

(11)

其中,a為裂縫深度;a-b為荷載作用區(qū)域，如圖4所示，F(xiàn)(b/a)取值查應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)。

每種裂縫深度模型分別取rk=1.0～4.0計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。應(yīng)力強(qiáng)度因子理論解通過式(11)代入相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。將兩者進(jìn)行對(duì)比分析，其中有效對(duì)比數(shù)據(jù)為rk=1.5，rk=2.0，rk=2.5，rk=3.0，與理論計(jì)算值對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂縫深度增加而增加，當(dāng)rk=2.0和rk=2.5時(shí)模擬解與理論解吻合度較高，所以建議積分區(qū)域因子取2.0～2.5。

2.4 網(wǎng)格密度影響分析

常規(guī)有限元模擬裂縫時(shí)需要進(jìn)行網(wǎng)格加密，合適的網(wǎng)格密度是保證準(zhǔn)確模擬結(jié)果的重要條件。為研究擴(kuò)展有限元中網(wǎng)格密度對(duì)裂縫模擬結(jié)果的影響，本文定義網(wǎng)格加密系數(shù)Krat，其含義為單位面積網(wǎng)格加密區(qū)域包含單元數(shù)量Ksc與未加密區(qū)域單元數(shù)量Kor比值，計(jì)算公式如下：

(12)

選取8 cm和10 cm深度的裂縫進(jìn)行分析，模型為202×100的有限元網(wǎng)格，在此基礎(chǔ)上對(duì)裂縫區(qū)域進(jìn)行加密，取rk=2.5。

分別計(jì)算其應(yīng)力強(qiáng)度因子值，并與理論值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知模擬數(shù)值解隨加密系數(shù)的增加逐漸逼近理論解。

2.5 冰劈作用深度影響分析

選取8 cm和10 cm兩種深度的裂縫，建立不同積水深度模型進(jìn)行分析，通過冰劈荷載的作用范圍對(duì)積水深度進(jìn)行表征。

通過用戶程序插件取rk=2.5計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子值與理論計(jì)算值進(jìn)行比較，如圖7所示。

由圖7可知，應(yīng)力強(qiáng)度因子值隨積水深度的增加而增大，積水深度對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響顯著。積分區(qū)域因子rk=2.5時(shí)擴(kuò)展有限元對(duì)于裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算具有較高精度。

3 結(jié)語(yǔ)

1)冰劈效應(yīng)是工程領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一，尤其是季凍區(qū)造成工程構(gòu)造物破壞的重要原因。本文通過將冰劈效應(yīng)轉(zhuǎn)換為冰劈荷載，基于擴(kuò)展有限元的方法，對(duì)冰劈效應(yīng)對(duì)裂縫的影響進(jìn)行了研究。研究表明，擴(kuò)展有限元對(duì)于冰劈荷載下應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算具有較高精度。2)利用ABAQUS用戶程序插件，應(yīng)用J積分的計(jì)算方法對(duì)不同深度裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果表明，對(duì)于半無(wú)限板邊緣裂縫模擬，積分區(qū)域因子取rk=2.0～2.5計(jì)算精度較高。3)對(duì)不同加密系數(shù)的裂縫模型進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算表明，加密系數(shù)Krat越大，求解精度越高。所以在應(yīng)用擴(kuò)展有限元求解裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，對(duì)裂縫區(qū)域進(jìn)行適當(dāng)加密，可提高模擬精度。

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Analysis on cracking stress-intensity factors by considering frost-splitting effect

Yang Lin Li Guixiang

(CollegeofCivilEngineering,NortheastUniversityofForestry,Harbin150040,China)

The paper converts frost-splitting effect into frost-splitting load according to thermal-magnetoelasticity, establishes semi-infinite model by applying ABAQUS finite element analysis software according to XFEM. The cracking stress-intensity factors are solved under frost-splitting effect. Simultaneously, it calculates theoretical stress-intensity factors with calculation, and makes a comparison. And then, it adopts different integral area factorrk, solves various-depth cracking stress-intensity factors by J integral computation method, obtainsrkvaluing scope. Through adjusting grid coefficients encryption, it studies the impact of grid coefficients encryption within cracking area upon stress-intensity factors.

frost-splitting effect, extended finite element method(XFEM), coefficients encryption, stress-intensity factors

2015-05-25

楊 林(1970- )，男，博士，副教授； 李貴祥(1990- )，男，在讀碩士

1009-6825(2015)22-0142-03

U418.66

A