胡繩蓀，庹宇鯤，申俊琦，陳昌亮，谷 文，李 堅(jiān)

(1. 天津大學(xué)天津市現(xiàn)代連接技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 天津大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300072；3. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222；4. 中國(guó)第一重型機(jī)械集團(tuán)核電石化事業(yè)部，大連 116113)

基于B樣條空間等距線(xiàn)的機(jī)器人軌跡優(yōu)化算法

胡繩蓀1,2，庹宇鯤1,2，申俊琦1,2，陳昌亮3，谷 文4，李 堅(jiān)4

(1. 天津大學(xué)天津市現(xiàn)代連接技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 天津大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300072；
3. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222；4. 中國(guó)第一重型機(jī)械集團(tuán)核電石化事業(yè)部，大連 116113)

針對(duì)J形坡口焊接機(jī)器人軌跡示教中理論軌跡與實(shí)際軌跡偏差較大的問(wèn)題，利用實(shí)際軌跡的空間等距線(xiàn)逼近下一道焊接軌跡，并設(shè)計(jì)了相貫線(xiàn)軌跡等距線(xiàn)的B樣條逼近算法. 算法主要包括：基于等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)準(zhǔn)則對(duì)原B樣條曲線(xiàn)取樣；利用向心算法計(jì)算取樣點(diǎn)的等距點(diǎn)；計(jì)算插值于該等距點(diǎn)的3次B樣條曲線(xiàn)；在給定的全局誤差限內(nèi)去除多余控制頂點(diǎn). 試驗(yàn)結(jié)果表明：等距點(diǎn)的向心算法可以有效解決相貫線(xiàn)曲線(xiàn)局部修改后主法向量發(fā)散的問(wèn)題；全局插值方法可以保留原曲線(xiàn)修改特征；全局誤差限下去除多余控制頂點(diǎn)可以減少B樣條曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)數(shù)目.

J形坡口；球管相貫線(xiàn)；B樣條；等距線(xiàn)；逼近

焊接作為核電設(shè)備制造的關(guān)鍵技術(shù)之一，不僅關(guān)系到核電站建造的質(zhì)量與安全，而且明顯影響核電站建造的調(diào)度與周期[1]. 針對(duì)核電壓力容器封頭與圓管相貫形成的J形坡口焊接特點(diǎn)，建立了其自動(dòng)化焊接設(shè)備及相貫線(xiàn)軌跡數(shù)學(xué)模型[2-3]. 而由于工件的裝配誤差等影響，J形坡口焊接機(jī)器人在焊前需要操作人員對(duì)相貫線(xiàn)軌跡進(jìn)行局部修改[4]，其修改過(guò)程比較耗時(shí). 雖然理論軌跡與實(shí)際軌跡偏差較大，但試驗(yàn)表明，相鄰兩道焊接軌跡的修改特征相似. 因此可以利用當(dāng)前焊接軌跡的等距線(xiàn)逼近下一道焊接軌跡，從而保留當(dāng)前道焊接軌跡的修改特征，減少下一道軌跡的修改點(diǎn)數(shù)目，進(jìn)而提高焊接效率.

等距線(xiàn)在很多工業(yè)領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，如數(shù)控切削軌跡生成、機(jī)器人路徑規(guī)劃、鐵路設(shè)計(jì)等[5]. 由于自由曲線(xiàn)的等距線(xiàn)不存在封閉解，故通常使用低階樣條曲線(xiàn)對(duì)離散等距點(diǎn)進(jìn)行插值，進(jìn)而逼近等距線(xiàn)[6-7].但是當(dāng)取樣點(diǎn)分布不均勻或等距點(diǎn)的計(jì)算存在誤差時(shí)，利用插值方法將產(chǎn)生較大誤差. 而利用逼近算法求取等距線(xiàn)不僅可以降低取樣點(diǎn)的噪聲對(duì)等距線(xiàn)的影響，而且可以獲得較少的控制頂點(diǎn)[8-10].

現(xiàn)有等距線(xiàn)算法多集中于平面等距線(xiàn)，對(duì)空間等距線(xiàn)的研究較少. 為此，筆者針對(duì)J形坡口焊接軌跡特點(diǎn)，研究了其空間等距線(xiàn)的逼近算法.

1 空間B樣條曲線(xiàn)等距點(diǎn)

給定一條B樣條曲線(xiàn)C(u)，

式中：Ni,p(u)為B樣條基函數(shù)；p為該B樣條曲線(xiàn)的階次；U為節(jié)點(diǎn)向量；Pi為控制頂點(diǎn)．該B樣條曲線(xiàn)的等距線(xiàn)定義為

式中：N(u)為參數(shù)為u時(shí)曲線(xiàn)的單位法向量；d為等距量；C(u)offset為C(u)的等距線(xiàn).

1.1 空間B樣條曲線(xiàn)等距點(diǎn)向心算法

平面曲線(xiàn)的等距點(diǎn)可以直接根據(jù)式(2)求解，但空間曲線(xiàn)等距點(diǎn)的求解更為復(fù)雜．圖1(a)為對(duì)相貫線(xiàn)的B樣條逼近曲線(xiàn)進(jìn)行局部修改后曲線(xiàn)上各點(diǎn)的主法向量示意，局部修改點(diǎn)的引入將使修改點(diǎn)附近各點(diǎn)的主法向量發(fā)散．若沿著該方向計(jì)算等距點(diǎn)將使等距線(xiàn)產(chǎn)生較大波動(dòng)．

本文利用向心算法計(jì)算空間曲線(xiàn)等距點(diǎn)．給定J形坡口相貫線(xiàn)軌跡參數(shù)方程，首先計(jì)算相貫線(xiàn)的中心點(diǎn)Mc，

圖1 等距點(diǎn)算法比較Fig.1 Comparison of offset points calculation algorithms

式中：Mi為相貫點(diǎn)坐標(biāo)；Mc為中心點(diǎn)坐標(biāo)；n＋1為相貫點(diǎn)數(shù)量．則等距點(diǎn)的計(jì)算式為

式中：Moffset為等距點(diǎn)坐標(biāo)；|Mi－Mc|為相貫點(diǎn)與中心點(diǎn)距離．利用向心算法，對(duì)圖1(a)相貫線(xiàn)軌跡求取等距點(diǎn)，結(jié)果如圖1(b)所示，圖中黑色球體即等距點(diǎn).該算法可以避免空間曲線(xiàn)主法向量發(fā)散問(wèn)題，即使對(duì)相貫線(xiàn)進(jìn)行局部修改，等距點(diǎn)也能保持原曲線(xiàn)特征.

1.2 基于等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的等距點(diǎn)采樣

等距點(diǎn)數(shù)量及采樣方法對(duì)等距線(xiàn)形狀及算法效率有重要影響．過(guò)多采樣點(diǎn)將降低算法效率，而過(guò)少采樣點(diǎn)無(wú)法保留曲線(xiàn)修改特征．一般而言，對(duì)曲線(xiàn)的平滑區(qū)域稀疏采樣，局部修改區(qū)域密集采樣可以在曲線(xiàn)形狀和算法效率上取得很好的平衡．

與基于二階導(dǎo)數(shù)的采樣準(zhǔn)則[9]相比，基于等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的采樣方法計(jì)算量很小．而且由于曲線(xiàn)在修改點(diǎn)附近曲率較大，相對(duì)于未進(jìn)行局部修改的區(qū)域，利用等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)準(zhǔn)則將在相同弦長(zhǎng)內(nèi)對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行更為密集的采樣，這有利于保存曲線(xiàn)的修改特征．該采樣準(zhǔn)則的計(jì)算式為

式中：L為原曲線(xiàn)總弧長(zhǎng)；Ni為相貫點(diǎn)；Mj為采樣點(diǎn)；m＋1為采樣點(diǎn)數(shù)目.

2 基于最少控制頂點(diǎn)的B樣條曲線(xiàn)逼近

2.1 全局插值

對(duì)于曲線(xiàn)擬合問(wèn)題，普遍采用的是插值或逼近的算法．插值算法計(jì)算速度快，而且保證插值曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但數(shù)據(jù)點(diǎn)的噪聲會(huì)給曲線(xiàn)帶來(lái)誤差．逼近算法計(jì)算量大，但對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的噪聲有很好的魯棒性，并且可以在限定條件下去除部分控制頂點(diǎn)，使曲線(xiàn)的形式更為簡(jiǎn)單．每個(gè)核電壓力容器封頭上需要安插數(shù)十個(gè)圓管，每個(gè)圓管與封頭的連接需要數(shù)十條焊道，每條焊道軌跡都要存入數(shù)據(jù)庫(kù)，若能減少每條軌跡的控制頂點(diǎn)數(shù)量，則所需存儲(chǔ)容量將大大減小.

如果對(duì)密集采樣得到的等距點(diǎn)進(jìn)行全局插值將產(chǎn)生大量控制頂點(diǎn)，本文采用固定全局誤差限下最少控制頂點(diǎn)的逼近算法來(lái)去除冗余的控制頂點(diǎn)．通過(guò)與全局插值和固定控制頂點(diǎn)數(shù)目的逼近算法比較，該算法在控制頂點(diǎn)數(shù)量、逼近精度以及算法效率上均有很好的效果，算法流程如圖2所示．

圖2 節(jié)點(diǎn)去除算法流程Fig.2 Flowchart of knot removal algorithm

圖3 為對(duì)101個(gè)等距點(diǎn)進(jìn)行3次B樣條全局插值的效果圖，圖中曲線(xiàn)為插值得到的B樣條曲線(xiàn)，球體為控制頂點(diǎn).

圖3 全局插值Fig.3 Global interpolation

2.2 去除多余節(jié)點(diǎn)

去除多余節(jié)點(diǎn)需要計(jì)算去除節(jié)點(diǎn)后新的控制頂點(diǎn)坐標(biāo)．給定節(jié)點(diǎn)向量U，若去除某一節(jié)點(diǎn)u一次，當(dāng)且僅當(dāng)曲線(xiàn)在該節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性高于Cp-s時(shí)，消除該節(jié)點(diǎn)不會(huì)改變曲線(xiàn)形狀，否則消除該節(jié)點(diǎn)將改變曲線(xiàn)在節(jié)點(diǎn)u附近的形狀，其中s為該節(jié)點(diǎn)重復(fù)次數(shù). 去除該節(jié)點(diǎn)后新的控制頂點(diǎn)[11]為

式中：P0為原控制頂點(diǎn)；P1為消去節(jié)點(diǎn)u一次后的控制頂點(diǎn)；r為消去節(jié)點(diǎn)下標(biāo). 去除節(jié)點(diǎn)后，新曲線(xiàn)誤差限[12]為

則

其中

式中?()C u為去除節(jié)點(diǎn)后曲線(xiàn)各點(diǎn)坐標(biāo). 以去除節(jié)點(diǎn)后等距點(diǎn)的誤差作為該節(jié)點(diǎn)是否可被去除的判據(jù)，因此需要計(jì)算等距點(diǎn)在B樣條曲線(xiàn)上的投影. 在p≤4條件下，等距點(diǎn)的投影可用解析形式精確求解，求解的步驟[12]如下：

(1) 利用B樣條曲線(xiàn)的強(qiáng)凸包性確定可能包含數(shù)據(jù)點(diǎn)Qk投影的候選C(u)段；

(2) 利用節(jié)點(diǎn)插入，提取出各候選段，并將其轉(zhuǎn)化為Bezier曲線(xiàn)形式；

(3) 對(duì)每一段Bezier曲線(xiàn)，列出包含一個(gè)未知數(shù)的3個(gè)多項(xiàng)式方程，若這3個(gè)方程具有一個(gè)共同的解，則Qk位于這一段上.

求出每個(gè)等距點(diǎn)的投影坐標(biāo)后便可以根據(jù)式(7)和式(8)求出去除某一節(jié)點(diǎn)后每個(gè)等距點(diǎn)的誤差值.進(jìn)而求取曲線(xiàn)的最大模偏差，即

最大模偏差對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)便是待刪除的節(jié)點(diǎn). 若最大模偏差小于全局誤差值，表明該節(jié)點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)可以刪除，否則該節(jié)點(diǎn)不可刪除.

圖4為對(duì)圖3曲線(xiàn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)去除的結(jié)果，在全局誤差限為0.5,mm條件下，曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)由101個(gè)降低到18個(gè).

圖4 節(jié)點(diǎn)去除曲線(xiàn)Fig.4 Spline after knot removed

3 結(jié)果分析及比較

利用基于等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)的取樣準(zhǔn)則對(duì)原曲線(xiàn)密集取樣，利用向心算法計(jì)算取樣點(diǎn)的等距點(diǎn)，對(duì)等距點(diǎn)進(jìn)行全局插值并在全局誤差限內(nèi)去除多余控制頂點(diǎn)，最終等距線(xiàn)如圖5所示.

圖5 等距線(xiàn)效果Fig.5 Renderings of offset splines

表1為對(duì)101個(gè)相貫點(diǎn)利用不同擬合方法進(jìn)行曲線(xiàn)擬合的參數(shù)對(duì)比. 為比較不同擬合方法的效果，首先計(jì)算201個(gè)相貫點(diǎn)，將奇數(shù)下標(biāo)的101個(gè)相貫點(diǎn)用于曲線(xiàn)擬合，偶數(shù)下標(biāo)的100個(gè)相貫點(diǎn)用于計(jì)算擬合參數(shù). 擬合參數(shù)中最大誤差為100個(gè)相貫點(diǎn)與擬合曲線(xiàn)的投影誤差最大值，全局誤差和為100個(gè)相貫點(diǎn)與擬合曲線(xiàn)投影誤差和. 固定控制頂點(diǎn)數(shù)量逼近方法的控制頂點(diǎn)數(shù)設(shè)為18，固定全局誤差限逼近方法的全局誤差限設(shè)為0.5,mm.

表1 不同擬合方法的擬合參數(shù)Tab.1 Fitting parameters of different fitting methods

可以看出，固定全局誤差限的逼近方法在全局誤差值和控制頂點(diǎn)數(shù)目上相對(duì)全局插值和固定控制頂點(diǎn)數(shù)量的全局逼近方法有很好的平衡.

全局插值方法雖然保證曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但無(wú)法保證數(shù)據(jù)點(diǎn)間曲線(xiàn)的擬合效果，尤其在數(shù)據(jù)點(diǎn)存在噪聲條件下，數(shù)據(jù)點(diǎn)之間曲線(xiàn)的誤差很大. 固定控制頂點(diǎn)數(shù)量的全局逼近方法雖然在最大誤差和全局誤差和與固定全局誤差限的逼近方法有相似的表現(xiàn)，但是在缺乏一定先驗(yàn)知識(shí)的條件下很難指定合理的控制頂點(diǎn)數(shù)量，而且其最大誤差值難以保證．相對(duì)控制頂點(diǎn)數(shù)量而言，全局誤差限是更合理的限定條件.

表2為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量為101時(shí)，在不同全局誤差限下對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近得到的B樣條曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)數(shù)量. 為了保持原曲線(xiàn)的修改特征，局部修改點(diǎn)的引入將增加控制頂點(diǎn)數(shù)量，誤差限的增大將減少控制頂點(diǎn)數(shù)量. 但在不同的全局誤差限下，控制頂點(diǎn)數(shù)量相對(duì)全局插值B樣條曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)數(shù)量都有大幅度降低.

表2 不同全局誤差限下控制頂點(diǎn)數(shù)量Tab.2Number of control points under different global error bounds

圖6為理論軌跡與實(shí)際軌跡以及等距線(xiàn)軌跡與實(shí)際軌跡局部細(xì)節(jié)對(duì)比. 由于等距線(xiàn)保留了前一道焊接軌跡的修改特征，所以等距線(xiàn)軌跡更貼合實(shí)際軌跡，逼近效果優(yōu)于理論軌跡.

圖6 理論軌跡和等距線(xiàn)軌跡與實(shí)際軌跡的比較Fig.6Comparison of theoretical trajectory and offset trajectory with real trajectory

在對(duì)前一道焊接軌跡進(jìn)行示教時(shí)，共插入23個(gè)修改點(diǎn)，記錄修改點(diǎn)坐標(biāo)及其相對(duì)起始點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，并分別利用理論軌跡和等距線(xiàn)逼近下一道焊接軌跡. 在與前一道軌跡修改點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度相同的位置計(jì)算理論軌跡點(diǎn)、等距線(xiàn)軌跡點(diǎn)和實(shí)際軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)，部分坐標(biāo)如表3所示.

計(jì)算理論軌跡和等距線(xiàn)軌跡相對(duì)于實(shí)際軌跡的投影誤差得出：理論軌跡相對(duì)實(shí)際軌跡的投影誤差和為13.92,mm，等距線(xiàn)軌跡相對(duì)于實(shí)際軌跡的投影誤差和為4.68,mm.

表3 實(shí)際軌跡、理論軌跡與等距線(xiàn)軌跡部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)Tab.3 Part of data points on the real trajectory，theoretical trajectory and offset trajectory

4 結(jié) 論

(1) 利用等距點(diǎn)的向心算法，可以解決空間曲線(xiàn)主法向量發(fā)散問(wèn)題，利用等曲線(xiàn)弧長(zhǎng)準(zhǔn)則對(duì)原曲線(xiàn)進(jìn)行密集采樣可以保證算法效率，同時(shí)保留原曲線(xiàn)的修改特征．

(2) 采用固定全局誤差限的方法去除多余控制頂點(diǎn)，可以降低等距點(diǎn)噪聲對(duì)等距線(xiàn)的影響，同時(shí)減少曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)數(shù)量，該方法可在曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)數(shù)目以及全局誤差方面有很好的效果.

(3) 試驗(yàn)表明，相比理論計(jì)算相貫線(xiàn)軌跡，利用等距線(xiàn)逼近J形坡口相貫線(xiàn)軌跡能夠大幅度降低軌跡的全局誤差和，提高機(jī)器人軌跡示教效率.

［1］ 馮英超，石愛(ài)強(qiáng)，王 挺，等. 核電站安裝施工中自動(dòng)化焊接技術(shù)應(yīng)用分析[J]. 電焊機(jī)，2009，39(8)： 27-29.

Feng Yingchao，Shi Aiqiang，Wang Ting，et al. Application and analysis of automatic welding technology in nuclear power plant construction [J]. Electric Welding Machine，2009，39(8)：27-29(in Chinese).

［2］ Chen C L，Hu S S，He D L，et al. Kinematic analysis and trajectory planning of J-groove welding robot [J]. Transactions of Tianjin University，2012，18(5)：350-356.

［3］ 胡繩蓀，王明建，申俊琦，等. J形坡口焊接機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]. 天津大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)與工程技術(shù)版，2014，47(4)：371-376.

Hu Shengsun，Wang Mingjian，Shen Junqi，et al. Design of J-groove welding robot motion control system[J]. Journal of Tianjin University：Science and Technology，2014，47(4)：371-376(in Chinese).

［4］ Chen C L，Hu S S，He D L，et al. An approach to the path planning of tube-sphere intersection welds with the robot dedicated to J-groove joints[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing，2013，29(4)：41-48.

［5］ Maekawa T. An overview of offset curves and surfaces [J]. Computer-Aided Design，1999，31(3)：165-173.

［6］ Klass R. An offset spline approximation for plane cubic splines [J]. Computer-Aided Design，1983，15(5)： 297-299.

［7］ Pham B. Offset approximation of uniform B-splines [J]. Computer-Aided Design，1988，20(8)：471-474.

［8］ Piegl L A，Tiller W. Computing offsets of NURBS curves and surfaces [J]. Computer-Aided Design， 1999，31(2)：147-156.

［9］ Xu Xiduo，Li Jijun，Zheng Hong. A new NURBS offset curves and surfaces algorithm based on different geometry shape [C]// IEEE 10th International Conference on Computer-Aided Industrial Design & Conceptual Design. Wenzhou，China，2009：2384-2390.

［10］ Khan M A，Chen Z C. Approximation of planar offset curves with globally bounded error for B-spline NC tool paths [J]. International Journal of Production Research，2012，50(23)：6811-6825.

［11］ Piegl L A，Tiller W. The NURBS Book[M]. 2nd ed. New York：Springer-Verlag，1997.

［12］ Tiller W. Knot-removal algorithms for NURBS curves and surfaces [J]. Computer-Aided Design，1992， 24(8)：445-453.

(責(zé)任編輯：田 軍)

Robot Trajectory Optimization Algorithm Based on Spatial Offset B-Spline

Hu Shengsun1,2，Tuo Yukun1,2，Shen Junqi1,2，Chen Changliang3，Gu Wen4，Li Jian4
(1. Tianjin Key Laboratory of Advanced Joining Technology，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Materials Science and Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；3. Tianjin Key Laboratory of High Speed Cutting and Precision Machining，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China；4. Nuclear Power and Petro-Chemical Business Group，China First Heavy Industries，Dalian 116113，China)

For the problem of the large deviation between the theoretical trajectory and the real trajectory of the J-groove joint welding robot during trajectory teaching, a solution is proposed using the offset spline of the real trajectory to approximate the next welding trajectory. An approximation algorithm for offset B-spline of intersecting splines is designed, which includes the following steps: sampling the original B-spline with the uniform curve arc length criterion; calculating the offset points of the sample points with the centripetal algorithm; fitting a cubic B-spline with global interpolation; removing most control points under the global error bound. The experimental results are as follows: the centripetal algorithm could solve the problem of the divergence of the principal normal vectors after local modification on the intersecting curve; the algorithm of global interpolating could retain the modification features of the original trajectory; the algorithm of removing control points under global error bound could remove most control points effectively and reduce the number of control points of B-spline.

J-groove joints；sphere-tube intersecting line；B-spline；offset spline；approximation

TG409

A

0493-2137(2015)08-0723-05

10.11784/tdxbz201404089

2014-04-22；

2014-05-20.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975195)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(10JCYBJC06500).

胡繩蓀（1956— ），男，教授，huss@tju.edu.cn.

申俊琦，shenjunqi@tju.edu.cn.

時(shí)間：2014-09-16.

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201404089.html.