李蕾

摘 要：函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。求函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所要掌握的技能。在求極限的過程中，有些函數(shù)的極限不容易求出，大多數(shù)人都會(huì)想到用羅比塔法則，其實(shí)等價(jià)無窮小的替換在求解函數(shù)的極限時(shí)也是一種不錯(cuò)的方法。

關(guān)鍵詞：無窮??；等價(jià)無窮??；替換；羅比塔法則

中圖分類號(hào)：O171 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-8882（2015）01-041-01

函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。求函數(shù)的極限是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所要掌握的技能。在求極限的過程中，有些函數(shù)的極限不容易求出，大多數(shù)人都會(huì)想到用羅比塔法則，其實(shí)等價(jià)無 窮小的替換在求解函數(shù)的極限時(shí)也是一種不錯(cuò)的方法。本文將對(duì)無窮小量的替換進(jìn)行思考。

一、無窮小的概念

如果當(dāng)x→ （x ）時(shí)，函數(shù)f（x）的極限為零，那么函數(shù)f（x）叫做當(dāng)x→ （x ）時(shí)的無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小。

注意：（1）無窮小是一個(gè)無限趨近于零的變量，它不一定恒等于常數(shù)零。

（2）無窮小與變化過程有關(guān)，不能籠統(tǒng)地說某一變量是無窮小，必須說明是哪一個(gè)變化過程中成為無窮小量。

（3）該變量以零為極限。無窮小是在其變化過程中可以取正值，可以取負(fù)值，也可以取零，但是就變量所取值的絕對(duì)值可言，必須能無限制地變小。

（4）不要把一個(gè)絕對(duì)值很小的常數(shù)說成是無窮小，因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)在x （或x ）時(shí)，極限為常數(shù)本身，并不是零。常數(shù)中只有“0”是無窮小，因?yàn)閘im0=0。

二、無窮小的比較

設(shè) ， 都是x 時(shí)的無窮小，做 與 比值的極限。若比值的極限為非零的常數(shù)，則稱 ， 為x 時(shí)的等價(jià)無窮?。蝗魳O限為零，則稱 是 的高階無窮小；若極限為無窮大，則稱 是 的低階無窮小。

例： ，所以sinx是x的等價(jià)無窮小

三、常用的等價(jià)無窮小量替換：

（ 0且為常數(shù)）

例：求

解：當(dāng)x 0時(shí)， ， ，故

例：求

解：當(dāng)x 0時(shí)，ln（1+2x） 2x，arcsin3x 3x，故 = =

雖然等價(jià)無窮小在求函數(shù)極限時(shí)使得求解過程的簡(jiǎn)單，但它并不是萬能，它的使用是有條件的，稍不注意就會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

例如：求極限

如果此題按如下步驟做就錯(cuò)了

因?yàn)榇鷶?shù)和的部分無窮小不能分別做替換

又如

從表面上看，似乎ln（1+sinx） sinx，sinx x，其實(shí)復(fù)合函數(shù)中的變量不能做等價(jià)無窮小代換。

通過對(duì)等價(jià)無窮小的了解，我們發(fā)現(xiàn)求極限并不是只能用羅比塔法則，還可以用等價(jià)無窮小。但在用等價(jià)無窮小時(shí)，還要充分考慮能夠用它的條件，否則會(huì)使函數(shù)極限的結(jié)果有誤。

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