李香順

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀，大小，位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。

一、研究目的及意義

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的淪證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的精髓之一，是把許多知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些抽象問題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問題，學(xué)生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。尤其是對于較難問題，學(xué)生若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性。同時(shí)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問題就能迎刃而解。

二、教學(xué)中廣泛涉及數(shù)字與圖形之間的結(jié)合

（一）函數(shù)及其圖像中的數(shù)與形關(guān)系?！昂瘮?shù)及其圖象”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)函數(shù)的問題讓許多學(xué)生感到畏懼。其實(shí)函數(shù)與方程、不等式之間有著非常密切的聯(lián)系，在解題時(shí)要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來，往往會使很多棘手問題迎刃而解，且解法簡捷、獨(dú)特。

（二）不等式中蘊(yùn)含的數(shù)與形之間的關(guān)系。對于“不等式和不等式組”，一元一次不等式的解法雖然與一元一次方程的解法相似，但學(xué)生不易理解一元一次不等式的解有無數(shù)個(gè)，在教學(xué)時(shí)，為了加深學(xué)生對不等式的解集的理解，老師在教學(xué)時(shí)，把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來，使學(xué)生形象地看到，不等式有無數(shù)個(gè)解。另外，再做一些練習(xí)，要求它通過數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，去求變量的取值范圍或者是變量的值。這里滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示數(shù)又邁進(jìn)了一步，在確定一元一次不等式組的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效。

（三）如何引導(dǎo)學(xué)生利用好數(shù)與形。數(shù)形結(jié)合中數(shù)軸是重要工具，借助其可直觀表示較多數(shù)學(xué)問題，令數(shù)形有機(jī)結(jié)合，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理引入數(shù)軸幫助學(xué)生掌握相反意義概念，了解絕對值、相反數(shù)內(nèi)涵，全面掌握比較有理數(shù)大小方式，深刻理解有理數(shù)運(yùn)算意義法則等，進(jìn)而圓滿完成教學(xué)任務(wù)。

（四）初步統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的數(shù)與形。在初步統(tǒng)計(jì)中，一組數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)平面上就是一群離散點(diǎn)。研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），相當(dāng)于考察這群離散點(diǎn)的分布狀態(tài)；而研究一組數(shù)據(jù)的波動大?。ǚ讲睢?biāo)準(zhǔn)差），就相當(dāng)于考察坐標(biāo)平面上這群離散點(diǎn)的分布規(guī)律。

三、數(shù)形結(jié)合對學(xué)生能力培養(yǎng)的重要性

（一）有利于提高學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性。思維的獨(dú)立創(chuàng)造性是指敢于超越傳統(tǒng)習(xí)慣的束縛，擺脫原有知識范圍和思維定勢的禁錮，善于把頭腦中已有的知識信息重新組織，產(chǎn)生具有進(jìn)步意義的新設(shè)想和新發(fā)現(xiàn)。利用形的直觀性，探尋到具有創(chuàng)新意識的簡捷妙法，可避開繁瑣運(yùn)算，簡捷解題，提高解題速度，達(dá)到培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性之目的。

（二）有利用提高解題準(zhǔn)確性。正確是指解題結(jié)果完全符合預(yù)期的設(shè)想。在解題過程中，準(zhǔn)確是解題的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合，可用利用“形”的直觀性提高“數(shù)”的準(zhǔn)確性。

（三）有利于開闊學(xué)生的思維。思維的廣闊性是指思維活動中避開單一狹隘的思維模式，對所學(xué)知識融會貫通，多角度、全方位思考問題、解決問題的程度。思維越廣解決處理的方法越多。利用數(shù)形結(jié)合，用大樹知識解決幾何問題，或用幾何知識解決代數(shù)問題，避免以代數(shù)解代數(shù)，幾何解幾何的單一模式。數(shù)形結(jié)合解題就是根據(jù)數(shù)量的特征與圖形結(jié)構(gòu)，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，開辟解題新途徑。

（四）有利于提高學(xué)生靈活思考的能力。思維的靈活性是指思維活動具有較高的靈活程度，能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多側(cè)面的認(rèn)識。數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，審時(shí)度勢，適時(shí)突破常規(guī)的思維定勢，有利于培養(yǎng)解題思維的靈活性。

四、數(shù)形結(jié)合是提高學(xué)生解決問題能力的重要途徑

代數(shù)法是利用數(shù)形結(jié)合解決問題的又一方法，是利用代數(shù)知識來解決幾何問題的思考方法。其指導(dǎo)思想是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，對形的問題進(jìn)行數(shù)的描述，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，再有效地利用代數(shù)工具 （代數(shù)式的恒等變形、方程（組）、函數(shù)、不等式、行列式等）求得數(shù)的結(jié)果，通過對數(shù)的結(jié)果進(jìn)行幾何解釋，得到形的結(jié)論。

幾何法是與代數(shù)法并列的利用數(shù)形結(jié)合解決問題的方法，是利用幾何知識來解決代數(shù)問題的思考方法，其指導(dǎo)思想是數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，對數(shù)的問題進(jìn)行形的表述，把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，通過對圖形的研究來推出數(shù)的結(jié)論，從而能使解題更加簡捷、明晰。學(xué)生在動手畫圖和觀察圖形關(guān)系中經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證”的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)知識的能力和水平得到提高，數(shù)形結(jié)合的思想得到滲透和運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)極富有數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換，由數(shù)想其形，由形研究數(shù)，數(shù)形互補(bǔ)。這成為溝通代數(shù)幾何的橋梁，對簡化解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的作用。

五、如何使學(xué)生靈活運(yùn)用“數(shù)”與“形”

（一）根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)在學(xué)習(xí)的不同的階段的認(rèn)識水平和知識特點(diǎn)，由易到難逐步深入不斷提高學(xué)生的認(rèn)識水平和解題能力。

（二）選擇典型的例題進(jìn)行講解并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有真對性的練習(xí)。讓學(xué)生通過解題明白用數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)的問題可以避免復(fù)雜的運(yùn)算和推理大大的簡化了解題的過程；使學(xué)生從感性認(rèn)識到理性的認(rèn)識在實(shí)踐中得到鍛煉。

（三）結(jié)合生活中的實(shí)際問題和探索規(guī)律，反復(fù)講解滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意思。并使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形思想解題時(shí)弄清楚是有數(shù)思形還是有形思數(shù)的問題，加深其對問題的理解。在探索規(guī)律的過程中讓學(xué)生明白應(yīng)該遵循有特殊到一般的思路從而得出一般性的結(jié)論。

六、挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想

由于數(shù)形結(jié)合思想是一種深層的數(shù)學(xué)知識，它隱含于數(shù)學(xué)教材之中，教學(xué)的首要任務(wù)就在于引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘教材中的數(shù)形結(jié)合思想，而挖掘過程采用的主要方法是歸納和提煉。教師在教學(xué)過程中根據(jù)數(shù)學(xué)知識編排課程內(nèi)容時(shí)，要注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，滲透一些數(shù)學(xué)結(jié)合的初步思想。根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況引導(dǎo)說明，抓住數(shù)形結(jié)合的思想引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，既借助圖形使數(shù)量更加直觀形象，又借助代數(shù)方法研究圖形特征。這樣，既有利于數(shù)形結(jié)合思想的闡述，又比較符合學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律和認(rèn)識規(guī)律。這樣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開拓學(xué)生的解題思路、活躍課堂氣氛、發(fā)展學(xué)生的形象思維能力、空間想像能力等。

七、鞏固練習(xí)對學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力提高的重要性

當(dāng)學(xué)生弄清楚了數(shù)形結(jié)合思想以后，教師在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)和及解題指導(dǎo)中，應(yīng)盡量體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，使其達(dá)到自覺、自由的熟練運(yùn)用。在進(jìn)一步的運(yùn)用過程中繼續(xù)加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解。這個(gè)階段要注意設(shè)置階梯，有明顯的層次感，循序漸進(jìn)，由淺入深。數(shù)形結(jié)合思想方的運(yùn)用必須恰當(dāng)，有時(shí)貌似數(shù)與形沒有聯(lián)系，實(shí)則不然，有時(shí)需要先轉(zhuǎn)化再用數(shù)形結(jié)合思想；有時(shí)則是一開始研究問題就需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。掌握其問的分寸，正是加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想訓(xùn)練的目的。