李桂英

著名科學(xué)家牛頓提出：“在教學(xué)中的例子比定律更重要”。在高三總復(fù)習(xí)中精選一些涉及面廣、思路開(kāi)闊、解法靈活、應(yīng)用廣泛且具有代表性的典型題目，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動(dòng)探究，是扎實(shí)“三基”，開(kāi)拓思路，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，擺脫“題?！睉?zhàn)術(shù)，提高復(fù)習(xí)效果的有效途徑之一。在復(fù)習(xí)解析幾何直線這部分內(nèi)容時(shí)，我精選例題，通過(guò)多角度、多層次、全方位的思考，探索出了解題的多種途徑和方法，激發(fā)了學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生多向思維的能力。

題目：設(shè)直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），它被二平行線x-y+1=0，x-y+2=0所截線段的中點(diǎn)在直線x-2y+3=0上，求此直線方程。

下面以分析思路，介紹解題方法為主，解題過(guò)程從簡(jiǎn)。如圖，設(shè)直線x-y+1=0，x-y+2=0，x+2y-3=0依次為L(zhǎng)1，L2，L3，所求直線為L(zhǎng)。顯然，點(diǎn)A在直線L2上。

解法1：（點(diǎn)斜式）設(shè)L的方程為y=k（x一2）+ 4，L與L1，L3分別相交于點(diǎn)B、M，解L、L1對(duì)應(yīng)的方程組，得點(diǎn)B的坐標(biāo)，由中點(diǎn)公式得點(diǎn)M的坐標(biāo)（含K），再代入L3的方程，求得 ，從而得出的方程為 5x-4y+6=0。

由此，學(xué)生立刻想到下面兩種方法。

解法2：（斜截式）設(shè)L的方程為y=kx+b，將點(diǎn)A的坐標(biāo)帶入，得4=2k+b，b=4-2k，∴y=kx+4-2k。以下解法同解法1（略）。

解法3：（截距式）設(shè)L的方程 ，以下同解法2（略）。

問(wèn)：直線方程還有什么形式？考慮片刻，學(xué)生異口同聲：兩點(diǎn)式和一般式。本題用一般式，顯然十分復(fù)雜，于是有：

解法4：（設(shè)點(diǎn)法）設(shè)B（x0，y0），由中點(diǎn)公式得點(diǎn)M的坐標(biāo)（ ），分別帶入L1、L3的方程，解方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求得L的方程。

解法5：（設(shè)點(diǎn)法）設(shè)M（ ），由對(duì)稱(chēng)性得點(diǎn)B的坐標(biāo)（2x-2，2y-4），以下類(lèi)解法4。

以上解法都要解方程組，尤其含參數(shù)的方程組，計(jì)算量很大。同學(xué)們思考，有沒(méi)有避免求交點(diǎn)的其他方法？

心理學(xué)原理提出：在人的心靈深處都有一個(gè)根深蒂固的需要，這就是自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者。上述問(wèn)題的提出，如一石擊起千層浪，激蕩著學(xué)生的想象力和好奇心。經(jīng)過(guò)短暫的討論和思索，很快就有不少學(xué)生提出“用同一字母表示點(diǎn)的坐標(biāo)”——科學(xué)設(shè)點(diǎn)法。

解法6；（科學(xué)設(shè)點(diǎn)法）設(shè)B（x0，x0+1），由中點(diǎn)公式及點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入L3的方程，只需解一個(gè)一元一次方程，簡(jiǎn)潔明快、賞心悅目。

解法7：（科學(xué)設(shè)點(diǎn)法）設(shè)M（x0， ，由對(duì)稱(chēng)性即點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入L1的方程，輕而易舉地得x0的值，問(wèn)題迎刃而解。

在學(xué)生的想法產(chǎn)生奇效，得到老師肯定，品嘗自己勞動(dòng)的甜果，求知欲處于亢奮狀態(tài)的時(shí)刻，教師不失時(shí)機(jī)地稍加點(diǎn)撥，學(xué)生的思維觸角必然伸向一個(gè)新的領(lǐng)域。

請(qǐng)大家考慮：AB的中點(diǎn)還在哪一條特殊直線上？又一個(gè)問(wèn)題的提出，將本來(lái)活躍的氣氛推向新的高潮，人人想成為“新大陸”的發(fā)現(xiàn)者。紛紛舉手回答；在平行于直線L1，L2且與兩直線距離相等的直線L4上，問(wèn)題的焦點(diǎn)又集中到求L4上。

在解法8-14中，求出L4的方程后，尚需解方程組求點(diǎn)M的坐標(biāo)。能否找到繞過(guò)交點(diǎn)的解法？學(xué)生借圖思解，注意到L是經(jīng)過(guò)L3和L4交點(diǎn)的直線這個(gè)事實(shí)，答案自然成竹在胸。

解法15：（利用直線系方程）設(shè)L的方程x+2y-3+ =0 ，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，得 的值，直赴目標(biāo)，引人入勝。

在學(xué)生激情猶酣、思維活躍、浮想聯(lián)翩、欲要不能的情況下，及時(shí)引導(dǎo)他們解后反思，歸納出規(guī)律性的東西。

由解法6、7的巧妙設(shè)點(diǎn)，聯(lián)想二次曲線中，拋物線上的點(diǎn)能否同一字母設(shè)出？回答是肯定的。而圓和橢圓上的點(diǎn)用x或y來(lái)表示就困難了。同學(xué)們有什么好的設(shè)法？他們?cè)凇白罱l(fā)現(xiàn)區(qū)”讓自己的思維馳騁，很快想到參數(shù)方程。如橢圓 上的點(diǎn)可以設(shè)為（ ， ）。從而總結(jié)出曲線上設(shè)點(diǎn)的技巧：

若曲線方程的變量中至少有一個(gè)是一次，則曲線上的點(diǎn)可用“科學(xué)設(shè)點(diǎn)”法；若方程中的兩個(gè)變量都是二次，則可考慮用參數(shù)法設(shè)點(diǎn)。這樣設(shè)點(diǎn)，常常可以把一些復(fù)雜的、運(yùn)算量大的，以至難以解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了，易解了。這也從一個(gè)側(cè)面突出了學(xué)習(xí)參數(shù)方程的必要性和采用參數(shù)法解決問(wèn)題的優(yōu)越性，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單性原則。

僅一道習(xí)題的解答，覆蓋了直線一章的多方面知識(shí)，涉及到求直線方程的多種方法，并通過(guò)橫向聯(lián)想，勾通了解析幾何各章內(nèi)容之間的聯(lián)系，使問(wèn)題的解決得到升華，還為后繼內(nèi)容的復(fù)習(xí)作了鋪墊。面對(duì)浩瀚“題?！保倍噘Y料，復(fù)習(xí)中，精選精講典型習(xí)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與意識(shí)，在生動(dòng)活潑的情景中，使學(xué)生不僅牢固地掌握了知識(shí)內(nèi)容，方法技巧，更重要的是提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維品質(zhì)，提高了復(fù)習(xí)效率。