黃紹東

摘 要：構(gòu)造輔助函數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中解決問題的一種重要方法，在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，通過研究微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造法，構(gòu)造與問題相關(guān)的輔助函數(shù)，從而得出欲證明的結(jié)論。尤其關(guān)于定積分不等式的證明在近幾年的研究生數(shù)學(xué)考試中又頻繁出現(xiàn)。借助適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)來證明定積分不等式是一種非常重要且行之有效的方法。本文對(duì)某些定積分不等式中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法簡(jiǎn)單探討。

關(guān)鍵詞：定積分不等式；構(gòu)造；輔助函數(shù)；變限法

當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常辦法去考慮而很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式——構(gòu)造輔助函數(shù)。輔助函數(shù)構(gòu)造法是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的思想方法，在高等數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用。構(gòu)造輔助函數(shù)是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時(shí)，常表現(xiàn)為不對(duì)問題本身求解，而是構(gòu)造一個(gè)與問題有關(guān)的輔助問題進(jìn)行求解。微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數(shù)學(xué)問題的方法?？梢越鉀Q高等數(shù)學(xué)中眾多難題，尤其是在微積分證明題中應(yīng)用頗廣，可達(dá)到事半功倍的效果。特別是定積分不等式的證明，往往需要借助恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)才能順利完成，然而，對(duì)基礎(chǔ)一般的學(xué)生來說，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)是相當(dāng)有難度的。筆者在教學(xué)中進(jìn)行探索，找到一些可行的方法，在此與廣大讀者進(jìn)行交流。

一、構(gòu)造輔助函數(shù)的原則

輔助函數(shù)的構(gòu)造是有一定規(guī)律的。當(dāng)某些數(shù)學(xué)問題使用通常的方法按定勢(shì)思維去考慮很難奏效時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)展開聯(lián)想，進(jìn)而構(gòu)造出解決問題的特殊模式，這就是構(gòu)造輔助函數(shù)解題的一般思路。

二、構(gòu)造輔助函數(shù)方法探討

1.僅告知被積函數(shù)連續(xù)的命題的證法

一般來說，這類命題的證明要做輔助函數(shù)（或者說用輔助函數(shù)法更簡(jiǎn)便）。

在定積分不等式中，輔助函數(shù)φ（x）的構(gòu)造方法是將定積分不等式中，積分上限（或下限）及相同字母換成x，移項(xiàng)使不等式一端為 0，則另一端即為所設(shè)的輔助函數(shù)φ（x）。

這類命題的證明思路：

（1）做輔助函數(shù)φ（x）；

（2）求φ（x）的導(dǎo)數(shù)φ'（x），并判別φ（x）的單調(diào)性；

（3）求φ（x）在積分區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)值φ（a），φ（b），其中必有一個(gè)值為“0”，由第2條思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），從而得出命題的證明。

2.已知被積函數(shù)f（x）一階可導(dǎo)，又至少一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值為0（f（a）=0或f（b）=0）的命題的證法

（1）證題思路之一。①寫出含這個(gè)端點(diǎn)的拉格朗日中值定理：f（x）=f （x）-f（a）=（x-a）f '（ξ），（f（a）=

0）或f（x）=f（x）-f（b）=（x-b）f '（ξ），（f（b）=0）。②再根據(jù)題意進(jìn)行不等式的放縮。③用定積分的比較定理、估值定理或函數(shù)的絕對(duì)值不等式等定積分性質(zhì)作分析處理。

例1，設(shè)f（x）在[a，b]上可導(dǎo)，且f '（x）≤M，f（a）=0，證明

∫ f（x）dx≤—（b-a）2

證明：由題設(shè)對(duì)任意的x∈[a，b]，

可知f（x）在[a，b]上滿足拉氏微分中值定理，于是有：

f（x）=f（x）-f（a）=f '（ξ） （x-a），ξ∈（a，x）

∵f（x）≤M，∴f（x）≤M（x-a），

由定積分比較定理，得出：

∫ f（x）dx≤∫M（x-a）dx=—

（b-a）2

（2）證明思路之二。①寫出如下等式：

f（x）=f（x）-f（a）=∫ f'（t）dt（當(dāng)f（a）=0時(shí)）

或f（x）-f（ξ）=∫ f'（t）dt

②利用定積分比較定理、估值定理或絕對(duì)值不等式進(jìn)行分析處理。

3.已知被積函數(shù)f（x）二階或二階以上可導(dǎo)，且又知最高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的命題的證法

證明思路：直接寫出f（x）的泰勒展開式（證明定積分等式是將輔助函數(shù)F（x）=∫ f'（t）dt展成泰勒公式），然后根據(jù)題意對(duì)展開式進(jìn)行放縮。

三、結(jié)束語

輔助函數(shù)的構(gòu)造在高等數(shù)學(xué)中一直占有重要地位，尤其是在微積分學(xué)中。輔助函數(shù)的構(gòu)造是我們解決問題的重要工具，對(duì)它的研究從沒有中斷過，很多數(shù)學(xué)工作者對(duì)微積分學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造做了很多研究，也取得了很多學(xué)術(shù)成果。本文從構(gòu)造輔助函數(shù)的基本原則入手，總結(jié)了幾種輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，同時(shí)也體現(xiàn)了構(gòu)造輔助函數(shù)解決問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要作用。

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（作者單位：河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院）