宋揚(yáng)

【摘要】開方是數(shù)學(xué)的一種基本運(yùn)算.本文闡明了2n次方根、2n+1次方根以及算術(shù)根的本質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)，介紹了根式運(yùn)算的要點和化簡的方法.

【關(guān)鍵詞】2n次方根;2n+1次方根;最簡根式;共軛根式;分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

作為乘方的逆運(yùn)算，開方是數(shù)學(xué)的一種基本運(yùn)算.根式既可表示開方運(yùn)算的過程，也能表示開方運(yùn)算的結(jié)果，其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛.從最簡單的實際問題“已知直角三角形的兩邊，求第三邊”，到二次方程的求根公式，高次方程、無理方程的求解等等，都要用到根式.

本文將二次方根、三次方根和算術(shù)根的概念平行推廣到2n次、2n+1次方根和算術(shù)根，并加以統(tǒng)一定義，闡明了算術(shù)根的本質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)，介紹了根式運(yùn)算的要點和一些方法.

全文都是在實數(shù)域上討論的.

一、正確理解方根和算術(shù)根的概念

1.方根和算術(shù)根的定義及其性質(zhì)

定義1 若x2n=a（a≥0，n∈N），則稱x為a的2n次方根，有時候稱為偶次方根.

注：定義1中的a≥0不是外加的限制條件，而是式子本身固有的約束條件.因為對于任意實數(shù)x，恒有x2n≥0，所以a不可能為負(fù)數(shù).

偶次方根的三條性質(zhì)：

（1）若a>0，則a的2n次方根有兩個，即為2na與-2na，二者互為相反數(shù);

（2）若a=0，則a的2n次方根為0，即為2n0=0;

（3）若a<0，則a沒有偶次方根，或者說2na沒有意義.

定義2 非負(fù)實數(shù)a的非負(fù)的2n次方根，稱為a的2n次算術(shù)根，或稱為偶次算術(shù)根.

定義2° 當(dāng)a>0時，a的2n次算術(shù)根為2na;當(dāng)a=0時，a的2n次算術(shù)根為2n0=0.

注：以上定義2和定義2′是等價的.

由上可知，算術(shù)根的概念是建立在方根的概念基礎(chǔ)上的.當(dāng)a≥0時，a的2n次算術(shù)根存在而且唯一，即為2na;當(dāng)a<0時，a沒有偶次方根，當(dāng)然也就沒有偶次算術(shù)根.

定義3 若x2n+1=a（n∈N），則稱x為a的2n+1次方根，記為2n+1a，或稱為奇次方根.

注：任一實數(shù)a與它的2n+1次方根是相互唯一確定的.

奇次方根的三條性質(zhì)：

（1）若a>0，則2n+1a是一個正數(shù);

（2）若a=0，則2n+10=0;

（3）若a<0，則2n+1a是一個負(fù)數(shù).

定義4 當(dāng)a≥0時，a的2n+1次方根稱為a的2n+1次算術(shù)根，或稱為奇次算術(shù)根.

方根和算術(shù)根可以分別統(tǒng)一定義如下

定義5 若xⁿ=a（n∈N，n>1），則稱x為a的n次方根.

定義6 非負(fù)實數(shù)a的非負(fù)的n次方根稱為a的n次算術(shù)根，記作

na（a≥0，n∈N，n>1）.

注：約定na（a≥0）只表示a的n次算術(shù)根.當(dāng)然，算術(shù)根也是方根;反之不然.

求a的n次方根的運(yùn)算叫做開n次方，a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù).

定理1 對于任一非負(fù)實數(shù)a，它的n次算術(shù)根na存在而且唯一.（證明略）

由方根和算術(shù)根的定義，根據(jù)定義的可逆性，容易得到以下兩條性質(zhì)：

1°（na）n=a（其中，當(dāng)n為偶數(shù)時，自然以a≥0為為前提）

2°nan=a（n為奇數(shù)），nan=a（n為偶數(shù)）

注：上述1°、2°未必都是指算術(shù)根.

2.方根與算術(shù)根的聯(lián)系與區(qū)別

方根與算術(shù)根的關(guān)系，可用如下示意圖來表示：

a的2n

次方根a>0時，2na

-2na

a=0時，2n0=0

a<0時，2na無意義a的2n次算術(shù)根，

即2na（a≥0）

a的2n+1

次方根a>0時，2n+1a

-2n+1a

a=0時，2n+10=0

a<0時，2n+1aa的2n+1次算術(shù)根，

即2n+1a（a≥0）

3.算術(shù)根的本質(zhì)及其作用

（1）算術(shù)根的概念確定了算術(shù)根的唯一性（單值性）.

（2）任一方根都可用算術(shù)根的形式來表示.

1°當(dāng)a>0時，a的2n次方根中的-2na就是a的2n次算術(shù)根2na的相反數(shù).

2°-a（a>0）的2n+1次方根2n+1-a=-2n+1a，即為a的2n+1次算術(shù)根的相反數(shù).

（3）算術(shù)根有許多簡便易行的運(yùn)算性質(zhì)（含運(yùn)算法則），可以直接用于算術(shù)根的計算和化簡.稍加處理，還可運(yùn)用到一般的根式運(yùn)算和化簡中去.

（4）可以避免在根式運(yùn)算或化簡中容易發(fā)生的錯誤.

（5）求解某些實際問題，其結(jié)果為方根且是非負(fù)數(shù)，用算術(shù)根來表述會更簡便明確.

二、根式的運(yùn)算性質(zhì)和變形

1.根式的運(yùn)算法則

下列法則都是就算術(shù)根而言的，大寫字母A、B可以是常數(shù)，也可以是解析式.

法則1（根式的基本性質(zhì)）npAmp=nAm（A≥0，m，n，p∈N，n>1）

法則2（積的開方）nAB=nA·nB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法則3（商的開方）nAB=nAnB（A≥0，B>0，n∈N，n>1）

法則4（根式的乘方）（nA）m=nAm（A≥0，m，n∈N，n>1）

法則5（根式的開方）mnA=mnA（A≥0，m，n∈N，m>1，n>1）

法則6（根號內(nèi)外移進(jìn)移出）nAnB=AnB（A≥0，B≥0，n∈N，n>1）

法則7（通根指數(shù)）nA=nk1Ak1=pAk1（A≥0，n∈N，n>1），

mB=mk2Bk2=pBk2（B≥0，m∈N，m>1），其中p是n與m的最小公倍數(shù)，p=nk1=mk2

注：法則4、法則6的特例（nA）n=nAn=A（A≥0），當(dāng)然，這個式子也可由n次算術(shù)根的定義直接得到.

2.根式的化簡

定義7 若根式滿足如下三個條件，就稱為最簡根式.

（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互素;

（2）被開方數(shù)的每一個因式的指數(shù)都小于根指數(shù);

（3）被開方數(shù)不含有分母.

例如8a4b6c2=8（a2b3c）2=4a2b3c（a≥0，b≥0，c≥0）已經(jīng)化成了最簡根式.這里的被開方數(shù)（a2b3c）的指數(shù)1與根指數(shù)4互素，并不要求被開方數(shù)的每一個因子的指數(shù)與根指數(shù)互素.

根式化簡的目標(biāo)是最簡根式.在根式的運(yùn)算或化簡過程中，式子里如果分母中含有根號，通常還要將分母有理化，而有理化的關(guān)鍵是找它的共軛根式.

定義8 若M與N是兩個不恒為零的含有根式的代數(shù)式，其乘積MN不含有根式，則稱M與N互為有理化因式，或共軛根式.

對于幾類特殊根式，其共軛根式有規(guī)律可循，列舉若干對如下：

（1）35與352;4xy3z2與4x3yz2;nAk與nAn-k.

（2）a-b與a+b;pA+qb與pA-qb.

（3）nA-nB與nAn-1+nAn-2B+…+nABn-2+nBn-1.

（4）nA+nB與nAn-1-nAn-2B+…-nABn-2+

nBn-1（n為奇數(shù)），

nAn-1-nAn-2B+…+nABn-2-

nBn-1（n為偶數(shù)）.

上述共軛根式的主要依據(jù)是應(yīng)用乘法公式.

分母有理化，有時候也不能一步到位，需要分步驟進(jìn)行.

例 將133+2分母有理化.

解 133+2=33-2（33+2）（33-2）=33-239-2

=（33-2）（392+239+22）（39-2）（392+239+22）

=（33-2）（333+239+4）.

根式化簡的目的是朝著有利于解決問題的方向.如果分母有理化解決不了問題，有時候可以考慮分子有理化.其方法是將分子和分母同乘以分子的共軛根式，例如求函數(shù)的極限，就可能遇到這種情況.

3.根式的計算

根式的運(yùn)算要遵循算術(shù)運(yùn)算的一般定律以及算術(shù)根的運(yùn)算法則來進(jìn)行.

定義9 根指數(shù)與被開方數(shù)分別相同的兩個根式稱為同類根式;根指數(shù)相同的兩個根式稱為同次根式.

根式運(yùn)算的要點

（1）若干個根式的加減運(yùn)算，就是求它們的代數(shù)和.通常先將各個根式分別化為最簡根式，然后合并同類根式.

（2）同類根式相乘除時，可將被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變（即運(yùn)算法則2和3）;異次根式相乘除時，可運(yùn)用根式運(yùn)算法則7，先化成同類根式，再相乘除.兩個根式相除，可以將被除式與除式分別寫成一個（廣義的）分式的分子與分母，然后將它分母有理化，以求其商.

（3）根式的乘方和開方，按運(yùn)算法則4和5進(jìn)行.

（4）混合運(yùn)算，按整式、有理式的運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算順序和根式的運(yùn)算法則進(jìn)行.

（5）正確運(yùn)用根式的運(yùn)算性質(zhì)，注意到是算術(shù)根的運(yùn)算，還是要分情況加以討論.對于運(yùn)算法則有時要逆向使用，要善于靈活運(yùn)用.以有意義為前提，應(yīng)該是恒等變形.

（6）依據(jù)從幾類具體例子的求解中總結(jié)出的一般形式，可作為公式（根式的運(yùn)算性質(zhì)）使用.

（7）依據(jù)開方和乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系，利用乘方運(yùn)算求方根，如平方法、立方法、n次方法.

以下介紹幾種常見類型的根式的開方運(yùn)算方法.

1° A±B的平方根的計算

A±B的算術(shù)平方根的計算公式為：

A±B=12（A+A2-B）±12（A-A2-B）（A>0，B>0，A2>B）.

注：證明略.當(dāng)A2-B恰為一個完全平方式時，含有二重根號的代數(shù)式便化為只含單重根號的代數(shù)式.運(yùn)算技巧上另有捷徑，詳見《根式及其教學(xué)研究（基礎(chǔ)篇）》的復(fù)合二次根式.

2° AB±CD的平方根的計算

設(shè)x=AB，y=C2D，則AB±CD=x+y，歸結(jié)為類型1°的計算.

例如，求42±26的平方根.

設(shè)x=42，y=24，則x2-y=8，按類型1°的計算公式不難求得42±26的平方根為±（418+42）.

3° A±B的立方根的計算

定理2 若3A+B=x+y成立，則3A-B=x-y也成立;反之亦然.

證 （這里只證逆命題）由3A-B=x-y兩邊立方得

A-B=x3-3x2y+3xy-yy，于是有A=x3+3xy，B=3x2y+yy.

從而有A+B=x3+3x2y+3xy+yy=（x+y）3，所以3A+B=x+y.

例如，求99+702的立方根.

解 設(shè)399+702=x+y，兩邊立方得99+702=x3+3x2y+3xy+yy，于是有99=x3+3xy ①，又有399-702=x-y（根據(jù)定理2），

從而3（99+702）（99-702）=（x+y）（x-y），即x2-y=1 ②.

由①和②得4x3-3x-99=0，解此方程得唯一實根x=3，從而y=8.

所以399+702=3+22.

4° AB±CD的立方根的計算

有的靈活變形后可直接歸結(jié)為類型3°的計算.例如，求505-3015的立方根.

解 3505-3015=355（10-63）=5310-63，按A+B的立方根的計算方法可得310-63=1-3，所以3505-3015=5（1-3）=5-15.

不妨結(jié)合例子，看一看根式運(yùn)算的一些具體方法.

例1 計算6x7a3x2x-y÷（3x7a2xx-y）（x>y）

解 原式=6x7a·7a3x6（x2x-y）2·（x-y2x）3

=2·6x4（x-y）3（x-y）2·（2x）3=2·6x（x-y）8=68x（x-y）.

例2 已知x=5+35-3，求x2+2xx2-2x-8的值.

注 本題如果x的值直接代入，運(yùn)算量很大.應(yīng)先分別化簡（包括分母有理化），然后代入再計算.

解 x=5+35-3=（5+3）2（5-3）（5+3）=4+15.

所以x2+2xx2-2x-8=x（x+2）（x+2）（x+4）=xx-4=4+154+15-4=4+1515=1+415=1+41515.

三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義及其性質(zhì)

（1）正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

定義10 amn=nam（a≥0;m、，n∈N，n>1）.

用語言敘述：非負(fù)數(shù)的mn次冪，等于這個數(shù)的m次冪的n次算術(shù)根.

注：1°a≥0這個條件不可少，否則會引起混亂.

例如（-1）13=3-1=-1 ;而（-1）26=6（-1）2=61=1.

這說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪當(dāng)?shù)讛?shù)小于零時沒有意義.

2°在把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時，要注意使底數(shù)為非負(fù)數(shù).

例如5（-2）3=-523=-235; 3x2=3x2=x23.

（2）負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-p=1ap（a≠0.p∈N）與此相仿，有：

定義11 a-mn=1amn=1nam（a≥0;m∈N，n∈N，n>1）.

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

根據(jù)上述定義不難知道，關(guān)于正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（含運(yùn)算法則），對于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪也同樣適合.

2.兩種運(yùn)算間的相互轉(zhuǎn)換

在建立了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系以后，兩種形式可以相互轉(zhuǎn)換.將根式表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，應(yīng)用冪的運(yùn)算法則來作變形，往往更加方便、快捷.有的可將根式的運(yùn)算歸結(jié)為有理數(shù)的四則運(yùn)算.

例如，當(dāng)a>0時，a5a3a10a7=a·a35·a-12·a-710=a1+35-12-710=a25=5a2.

在實際運(yùn)算中，采取哪種形式，應(yīng)視具體情況而定.

【參考文獻(xiàn)】

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