孔凡哲

對于“如何確定一個(gè)點(diǎn)”的問題，同學(xué)們可能都有自己的解決方法，其實(shí)，解決這個(gè)問題，既可以采用“形”的方法，也可以采用“數(shù)”的方法。

一、采用“形”的方法

（l）在一條直線上，如何確定一個(gè)點(diǎn)？

（2）在平面內(nèi)，如何確定一個(gè)點(diǎn)？

對于上述問題，在直觀幾何中，自然好解決. 在直線上，只要知道一個(gè)已知點(diǎn)A以及未知點(diǎn)B到點(diǎn)A之間的距離，就可以大致確定未知點(diǎn)B，如果知道點(diǎn)B在點(diǎn)A的哪一側(cè)，那么，未知點(diǎn)B自然完全可以唯一確定，

而在平面內(nèi)，確定一個(gè)點(diǎn)，正如我們知道的，兩條不重合的直線相交，可以得到一個(gè)交點(diǎn)，亦即，兩條直線可以確定一個(gè)點(diǎn).

二、采用“數(shù)”的方法 在人類發(fā)展史上，“確定一個(gè)點(diǎn)”曾一度是儀有歐式幾何才能完成的任務(wù)，直到一位偉大的數(shù)學(xué)家笛卡兒出現(xiàn)，笛卡兒找到了一種奇妙的方法，這就是坐標(biāo)法（借助代數(shù)表示，分析處理幾何問題，亦稱解析法）.從此，一個(gè)新的兒何學(xué)分支——解析幾何誕生了.

1.一維圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)，

在數(shù)軸上.由于確定了原點(diǎn)、單位長度和正方向，確定一個(gè)點(diǎn)只需要一個(gè)數(shù)就可以了，這個(gè)數(shù)可以是有理數(shù)，也可以是無理數(shù).

事實(shí)上.在數(shù)軸上，任意一個(gè)點(diǎn)P對應(yīng)著唯一的數(shù)a，而任意一個(gè)數(shù)a也對應(yīng)著唯一的點(diǎn)P，正如“一個(gè)蘿卜一個(gè)坑”.這個(gè)點(diǎn)P滿足OP=|a|，如果a是正數(shù)，那么，點(diǎn)P在原點(diǎn)O的右側(cè)（即數(shù)軸的正半軸上）；如果a是負(fù)數(shù)，那么，點(diǎn)p在原點(diǎn)O的左側(cè)（即數(shù)軸的負(fù)半軸上）；如果a是O，那么，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合.

在數(shù)軸上，每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)著一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)其實(shí)就是這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，在圖1中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是a，點(diǎn)B的坐標(biāo)是b，點(diǎn)O的坐標(biāo)是O.因此，數(shù)軸上的點(diǎn)，僅由一個(gè)代數(shù)量就可以唯一確定，于是，人們通常把直線叫作一維圖形.

2.二維圖形內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo).

在建立了兩個(gè)不平行的數(shù)軸的前提下，在平面內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)，只需要一個(gè)數(shù)對就可以了——無論這兩條數(shù)軸是否垂直，

如圖2所示，圖2（1）中兩個(gè)數(shù)軸并不垂直，這就是斜坐標(biāo)系；圖2（2）中的兩個(gè)數(shù)軸相互垂直，這就是我們通常所說的直角坐標(biāo)系.

圖2（2）定位方式的本質(zhì)在于，在由過同一個(gè)原點(diǎn)而且互相垂直的兩個(gè)數(shù)軸組成的圖形中，數(shù)對（X，y）可以表示平面內(nèi)任意一點(diǎn).此時(shí)，在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)也自然就有了它在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的對應(yīng)位置，通過作垂線，尋找一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)軸上分別對應(yīng)的實(shí)數(shù)，于是，我們可以用一個(gè)有序數(shù)對表示這個(gè)點(diǎn).如圖3所示，從點(diǎn)M分別向X軸、y軸作垂線，若垂足對應(yīng)的數(shù)軸上的數(shù)分別為X、y，則可用數(shù)對（x，y）表示點(diǎn)M.值得注意的是，數(shù)對（X，y）是一個(gè)整體，數(shù)對的兩個(gè)數(shù)有位置之分，即有順序之分，是有序數(shù)對.

由于X軸、y軸都有正半軸、負(fù)半軸，兩個(gè)相互垂直的X軸、y軸就將平面劃分為兩條坐標(biāo)軸與四個(gè)區(qū)域，這四個(gè)區(qū)域分別叫第一、二、三、四象限，根據(jù)點(diǎn)對應(yīng)各坐標(biāo)軸上數(shù)的屬性，四個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有如圖4所示的特征.而坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）位于邊界上，不屬于任何一個(gè)象限，其中在X軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為O，在y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為O.

例1 （2013年株洲）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（1，2）位于第 _____象限.

分析與解答 根據(jù)各象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答.本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，準(zhǔn)確識(shí)別各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決本題的關(guān)鍵。

答案為第一象限.

三、確定-個(gè)點(diǎn)需要幾個(gè)條件

在直線上，確定一個(gè)點(diǎn)，僅僅需要一個(gè)代數(shù)條件即可，這就是數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，

在平面內(nèi)，確定一個(gè)點(diǎn)，僅僅需要兩個(gè)獨(dú)立的代數(shù)條件就可以了，這就是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的橫、縱坐標(biāo).

四、如何確定常見的變換后點(diǎn)的坐標(biāo) 初中階段將要系統(tǒng)學(xué)習(xí)圖形的變換形式，包括軸對稱變換、平移和旋轉(zhuǎn)等，采用點(diǎn)的坐標(biāo)的變化來表達(dá)這些變換，其實(shí)更簡潔、更直觀.

1.軸對稱變換.

對于點(diǎn)與點(diǎn)之間的軸對稱變換，如果對稱軸是坐標(biāo)軸，對稱點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系如圖5所示.

分析解答、根據(jù)關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)“橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可解決，點(diǎn)P（X，y）關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X，-y）.

因?yàn)辄c(diǎn)P（2，3）關(guān)于X軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）.故答案為（2，-3）.

2.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.

例3平面內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）：將其橫、縱坐標(biāo)均乘以-1，對應(yīng)點(diǎn)和點(diǎn)P之間有何關(guān)系？

分析解答、將平面內(nèi)一點(diǎn)P（a，b）的橫、縱坐標(biāo)均乘以-1后，對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋?a，-b）.一個(gè)坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)是岡為進(jìn)行了一次關(guān)于坐標(biāo)軸的軸對稱變換，于是，我們可以將上面的過程，描述為如圖6所示的過程，

從而，經(jīng)過兩次軸對稱變換后的點(diǎn)，與原來的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱.

3.沿特殊方向的平移，

點(diǎn)沿著坐標(biāo)軸左右或上下平移時(shí)，在平移過程中，點(diǎn)的坐標(biāo)同樣發(fā)生變化，

對于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P（a，b），經(jīng)歷上述特殊方向的平移，其坐標(biāo)間的關(guān)系如圖7所示.

4.點(diǎn)的復(fù)合式平移，

若平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)沿某一方向（非水平、非豎直的方向）移動(dòng)，此時(shí)，我們只需要將其拆分成水平方向的平移與豎直方向的平移就可以了.當(dāng)在水平、豎直方向都發(fā)生平移后，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都發(fā)生變化，與先發(fā)生哪個(gè)方向的平移并沒有關(guān)系，

在數(shù)軸上，確定一個(gè)點(diǎn)，僅僅需要一個(gè)獨(dú)立的量就可以了.

在平面內(nèi)，確定一個(gè)點(diǎn)，僅僅需要兩個(gè)彼此獨(dú)立的量就可以了，

你想過沒有？如果在我們居住的房間內(nèi)確定一個(gè)點(diǎn)，那么，只需要幾個(gè)彼此獨(dú)立的量就可以了呢？