唐國慶

全等三角形從知識結構上來說十分重要，后面要學的線段的垂直平分線、角的平分線、等腰三角形、直角三角形等內容都要通過證明兩個三角形全等來加以解決；在學生能力培養(yǎng)上，開始學習運用綜合法來證明幾何問題，無論是邏輯推理能力，還是分析解決問題的能力，都可在全等三角形的教學中得以培養(yǎng)和提高.因此，全等三角形的教學對后續(xù)學習會有一定影響.陶行知先生要求我們“教、學、做合一”，對于這樣一個重要的章節(jié)我們得深入思考，研究全等三角形的教學策略，充分體現(xiàn)出“教、學、做合一”教育思想在數(shù)學教學中的指導意義.

策略一：全等三角形要突出“對應”

在全等三角形中，快速準確地找出對應頂點、對應角、對應邊是解決全等三角形相關問題的關鍵，可從三方面入手.

1.從全等三角形幾何語言書寫規(guī)則入手.全等三角形用幾何語言表示時，通常要求把表示對應頂點的字母書寫在對應的位置上.依據(jù)書寫規(guī)則，對應位置的字母就是對應頂點的字母，對應位置兩個字母所表示的線段就是對應線段.我們不僅要求學生能這樣規(guī)范地書寫幾何語言，而且要讓學生能從幾何語言中快速準確地判斷出全等三角形對應頂點、對應角、對應邊.

例1 已知△ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，∠ABD=30°，則CB=，CD=，∠CDB=.

分析 依據(jù)全等三角形幾何語言書寫規(guī)則，△ABD中A，B，D的對應頂點分別為C，D，B，邊AB的對應邊是CD，邊AD對應邊是CB，邊BD的對應邊是DB，∠ABD的對應角是∠CDB，解答自然就解決了.

2.直觀觀察法.依據(jù)全等三角形的性質“全等三角形的對應邊相等，對應角相等”，可以得出以下直觀判斷方法，判斷對應頂點、對應角的方法：（1）一對最小的角是對應角，一對最大的角是對應角；（2）有公共角的，公共角是對應角；（3）有對頂角的，對頂角是對應角；（4）對應邊所對的角是對應角.對應角的頂點即為對應頂點.判定對應邊的方法為：（1）一對最短的邊是對應邊，一對最長的邊是對應邊；（2）有公共邊的，公共邊是對應邊；（3）對應角所對的邊是對應邊.

3.圖形變換法.全等圖形都是通過平移、翻折或旋轉變換而得到的，全等三角形也不例外，如果我們能依據(jù)圖形，找出兩全等三角形是通過什么變換而得到的，自然就可以快速準確找出對應頂點、對應角、對應邊了.現(xiàn)以下面三幅圖為例說說變換法找對應.

圖（1）是將△ABC沿AF向下平移而得到△DEF，所以頂點A的對應點是D，頂點B的對應點E，頂點C的對應點是F.圖（2）是△ABC繞點A順時針旋轉∠BAD而得到△ADE，所以頂點A的對應點是A，頂點B的對應點是D，頂點C的對應點是E.圖（3）是將△ABC先左右翻折，再向左平移一定的距離而得到△DFE，所以頂點A的對應點是D，頂點B的對應點是F，頂點C的對應點是E.有了對應點，對應線段和對應角自然就知道了.理解了全等三角形是怎樣變換而來的，我們就能快速準確地找到對應頂點、對應角、對應邊了.

策略二：“學”會三角形全等的直接條件、間接條件以及如何將間接條件轉化為直接條件

所謂三角形全等的直接條件就是：給出的已知條件正好是兩三角形對應邊或對應角相等，直接用來證明三角形全等就可以了.而間接條件是指：給出的已知條件不是兩三角形對應邊或對應角相等，而是要通過一步、兩步或多步推理，轉而得到兩三角形對應邊相等或對應角相等的條件.間接條件可通過推理轉化為證明兩三角形全等的直接條件.通過下面例題來區(qū)分直接條件與間接條件.

例2 如圖，∠A=∠B，∠1=∠2，EA=EB.

證明：△EAC≌△EBD.

其中∠A=∠B，EA=EB就是要證兩三角形的對應角和對應邊，所以是直接條件；而∠1，∠2并不是△EAC和△EBD的內角，所以∠1=∠2不是直接條件，而是間接條件，但可以通過一步簡單推理：因為∠1=∠2，所以∠1+∠BEC=∠2+∠BEC，所以∠AEC=∠BED.將∠1=∠2這個間接條件轉化為直接條件∠AEC=∠BED.

在間接條件中，可將間接條件分為簡單間接條件和復雜間接條件.所謂簡單間接條件就是跟直接條件聯(lián)系緊密，往往可通過一步或兩步簡單推理就能轉化為直接條件.在證三角形全等中，常見的簡單間接條件主要有以下幾種：

1.角平分線，角平分線這一間接條件可推導出一對對應角相等

例3 已知：如圖，OA平分∠BOC，OB=OC.

求證：AB=AC.

分析 因為OA平分∠BOC，所以∠BOA=∠COA，將角平分線這一間接條件轉化為證明三角形全等的直接條件.

2.中點（中線）

例4 如圖，O是AB的中點，∠A=∠B，△AOC與△BOD全等嗎？為什么？

分析 因為O是AB的中點，所以OA=OB，將O是AB的中點這一間接條件轉化為證明三角形全等的直接條件.

3.垂 直

例5 如圖，AC⊥AB，BD⊥AB，CE⊥DE，CE=DE.

求證：AC+BD=AB.

分析 AC⊥AB，BD⊥AB，可以輕松推導出∠A=∠B.將垂直這一間接條件轉化為證明三角形全等的直接條件.

4.同角或等角的余角（補角）相等

例6 如圖，∠ABC=90°，AB=BC，D為AC

上一點，分別過A，C作BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：EF+AE=CF.

分析 本題的關鍵是利用同角的余角相等，因為∠ABC=90°，CF⊥BD，所以∠ABE+ ∠CBE=90°，∠BCF+∠CBE=90°，所以∠ABE=∠BCF.同角或等角的余角（補角）相等這一間接條件需要我們去發(fā)現(xiàn)，并能熟練的將其轉化為證明三角形全等的直接條件.

5.共一部分角

例7 如圖，已知∠BAD= ∠EAC，AB=AE，

AC=AD，求證： △ABC≌△ADE.

分析 ∠BAD和 ∠EAC并不是△ABC和△ADE的內角，所以不能直接用來證明三角形全等，但仔細觀察一下，∠DAC是兩三角形內角∠BAC和∠DAE的公共部分，分別將∠BAD和 ∠EAC加上∠DAC正好轉化為兩三角形的內角.因為∠BAD= ∠EAC，所以∠BAD+∠DAC = ∠EAC+∠DAC，即：∠BAC= ∠DAE.共一部分角這一間接條件轉化為直接條件是每名同學必須學會的，解題時常常會遇到.

6.共一部分邊

例8 如圖，點C，F(xiàn)在AD上，且AF=DC，∠B=∠E，∠A=∠D，你能證明AB=DE嗎？

分析 已知條件中AF 與DC顯然不是△ABC與△DEF的邊，所以 AF=DC是間接條件，不能直接運用，觀察不難發(fā)現(xiàn)FC是線段AF與DC的公共部分，分別將AF和DC減去FC就能得到直接條件AC=DF.共一部分邊這一間接條件轉化為直接條件也是每名同學必須學會的，解題時常常會遇到.

7.兩線平行

例9 已知：如圖，點E，F(xiàn)在CD上，且CE =DF，AE =BF，AE ∥BF.

①求證：△AEC ≌△BFD；

②你還能證得其他新的結論嗎？

分析 AE ∥BF跟三角形全等并沒有直接關系，所以是間接條件，因為AE ∥BF，所以∠AEC=∠BFD，很快將平行轉化為了對應角相等.兩直線平行的三個性質中“兩直線平行，內錯角相等”和“ 兩直線平行，同位角相等”用得比較多，而“兩直線平行，同旁內角互補”在三角形全等中用得比較少.

復雜間接條件指的是與要證的全等三角形沒有直接聯(lián)系，而與其他全等三角形有關，通過證明其他三角形全等，再依據(jù)全等三角形的性質來轉化為要證的全等三角形對應邊或對應角相等.

策略三：“做”好三角形全等的基本圖形的研究與隱含條件挖掘

由于全等三角形都是通過平移、翻折或旋轉變換而得到的，知道全等三角形的變換過程和基本圖形，對我們解題是大有裨益的.尤其要讓學生理解基本圖形（圖形很多，有代表性的為基本圖形）中隱含的條件.這些隱含條件往往是解題的關鍵所在.

1.共邊型全等三角形

共邊型全等三角形有兩個基本圖形，如圖（1）、圖（2），圖（1）是將△ABC左右翻折而得到，兩三角形在公共邊BC的同一側，圖（2）是將

△ABC旋轉后再平移而得到，兩三角形在公共邊AC的兩側，無論是圖（1）還是圖（2），共邊型全等三角形隱含的條件是公共邊相等.即圖（1）中BC=BC，圖（2）中AC=AC.

2.共一部分邊型全等三角形

共一部分邊型全等三角形主要也是兩個基本圖形，圖（3）是分離型，給出的已知條件往往是CE=FB，我們一定要快速推導出EF=BC；圖（4）是重疊型，給出的已知條件往往是AE=CF，我們也要快速推導出AF=CE.這些隱含條件往往是解題的關鍵所在.

3.共角型全等三角形

如圖（5）就是共角型全等三角形的基本圖形，△AEC可由△AFB翻折得到，共角型全等三角形隱含的條件是∠A=∠A.

4.共一部分角型全等三角形

共一部分角型全等三角形主要也有兩個基本圖形，部分重疊型（如圖（6））和分離型（如圖（7）），在圖（6）中，有兩種給已知條件的方式，一是已知∠BAD=∠EAC，我們要快速推出∠BAC=∠EAD；二是反過來已知∠BAC=∠EAD，我們也能快速推出∠BAD=∠EAC.對于圖（7）我們也有類似的結論.

5.對頂角型全等三角形

對頂角型全等三角形是比較簡單的，隱含的條件就是對頂角相等，即∠AOB=∠COD.

總之，要想讓學生學好吃透全等三角形，教師一定要把握好以上三個教學策略，全等三角形所有知識和題型都是在以上的基礎上發(fā)展或延伸的，從而真正實現(xiàn)“教、學、做合一”的教育思想.