劉明

[摘 要]矩陣是代數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象之一，也是數(shù)學(xué)以及其它領(lǐng)域研究與應(yīng)用的重要工具。2003年頒布的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》增加了矩陣與變換的選秀內(nèi)容。本文選取英國(guó)AQA版教科書中的矩陣代數(shù)內(nèi)容，從知識(shí)呈現(xiàn)、例習(xí)題編制等角度進(jìn)行比較研究，從微觀層面來(lái)考察英國(guó)初中數(shù)學(xué)教科書，尋找英國(guó)教科書是否有值得借鑒之處。

[關(guān)鍵詞]教科書；矩陣；變換；比較

[中圖分類號(hào)]G71 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1009 — 2234（2015）07 — 0171 — 03

1前言

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布以來(lái)，矩陣與變換作為選修內(nèi)容，正式進(jìn)入了我國(guó)高中課程。而縱觀美英法德加日等發(fā)達(dá)國(guó)家的高中數(shù)學(xué)課程中均有矩陣、幾何變換的內(nèi)容，這反映出矩陣、變換概念在現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的不可或缺性，這些事實(shí)也為我國(guó)“矩陣與變換”的教科書編寫提供了橫向參考依據(jù)。

英國(guó)第六學(xué)級(jí)（以下稱為英國(guó)高中）相當(dāng)于中國(guó)大陸高中階段高二和高三年級(jí)，第六學(xué)級(jí)結(jié)束后的A水平考試相當(dāng)于中國(guó)大陸高考，矩陣內(nèi)容在中國(guó)大陸高中屬于選修4-2的內(nèi)容，并且屬于高考內(nèi)容，英國(guó)矩陣學(xué)習(xí)內(nèi)容在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）模塊中學(xué)習(xí)，屬于難度較高的數(shù)學(xué)模塊，有志于報(bào)考包括劍橋、牛津等名校的學(xué)生需要選修這個(gè)模塊數(shù)學(xué).現(xiàn)就英國(guó)高中AQA考試委員會(huì)編寫的A水平課本（以下簡(jiǎn)稱英國(guó)教科書）Further pure maths中的“矩陣代數(shù)”一章進(jìn)行介紹.

2英國(guó)教科書矩陣內(nèi)容知識(shí)范圍及呈現(xiàn)順序

英國(guó)教科書“矩陣與代數(shù)”安排在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”第一冊(cè)的第4章，由四部分內(nèi)容組成，按照教科書呈現(xiàn)順序?yàn)榫仃嚫拍钆c矩陣運(yùn)算（加法、減法、乘法），求二階矩陣的逆矩陣，利用二階矩陣表示幾何變換，利用矩陣解線性方程組。具體目錄細(xì)節(jié)如表1：

表1

對(duì)照我國(guó)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，可以發(fā)現(xiàn)我國(guó)課標(biāo)中的“矩陣與變換”與英國(guó)教科書的“矩陣代數(shù)”內(nèi)容基本相同，我國(guó)只是多了矩陣特征值與特征向量這一內(nèi)容。因此可以看出，本研究是具有可比性的。

3英國(guó)教科書編寫體例簡(jiǎn)介

英國(guó)教科書是由章前言與題圖、正文、習(xí)題、綜合習(xí)題、小結(jié)構(gòu)成。其中正文包括概念與例題?？梢钥闯鲇?guó)教科書與我國(guó)教科書的編寫體例也是相近的。

英國(guó)教科書每章前言與題圖安排在一頁(yè)。該頁(yè)的上部分為本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（objectives），以開(kāi)門見(jiàn)山的形式，使學(xué)生在學(xué)習(xí)之前了解該章內(nèi)容學(xué)習(xí)的方向。學(xué)習(xí)目標(biāo)下面是該章題圖，但是此題圖畫了兩個(gè)超人（如圖1），與本章內(nèi)容并沒(méi)有必然聯(lián)系。題圖的右下部分則是本章內(nèi)容簡(jiǎn)介。我國(guó)教科書每章第一頁(yè)也是由題目與前言組成?？梢园l(fā)現(xiàn)在編寫體例形式上，兩國(guó)教科書是一致的，但是我國(guó)教科書題圖會(huì)和本章內(nèi)容相關(guān)，從教育心理學(xué)的角度來(lái)講，這樣做起到先行組織者的作用，使得學(xué)生對(duì)于本章內(nèi)容有個(gè)大致了解，

有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)?？梢钥闯鲈谡虑把耘c題圖的設(shè)計(jì)上，我國(guó)教科書優(yōu)于英國(guó)教科書。

英國(guó)教科書正文是由定義、命題與例題組成?？傮w來(lái)看，英國(guó)教科書在正文中直接給出定義或命題，然后就是例題。而中國(guó)的教科書往往會(huì)安排一些導(dǎo)入的環(huán)節(jié)，如觀察、操作、探索、歸納等等。英國(guó)教科書中例題的編排最大特點(diǎn)是加入了很多旁白。這是中國(guó)教科書沒(méi)有的。有了旁白，更能有助于指導(dǎo)學(xué)生分析題意、解答例題的思路，更適于學(xué)生自學(xué)。這樣的編排是由于我國(guó)教科書的。

英國(guó)教科書習(xí)題的設(shè)置與我國(guó)教科書基本一致。

總體來(lái)看，英國(guó)教科書的編寫體例與我國(guó)教科書是一致的，只是具體細(xì)節(jié)處理會(huì)有差異，在綜合教科書內(nèi)容，兩套教科書的比較是可行的。下面就從知識(shí)呈現(xiàn)，例題習(xí)題的設(shè)置這兩個(gè)角度進(jìn)行具體的分析。

4英教科書知識(shí)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

如果單獨(dú)考慮矩陣知識(shí)內(nèi)容的安排，英國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書基本上是按照矩陣概念矩陣運(yùn)算逆矩陣矩陣的應(yīng)用（表示幾何變換、解線性方程組）安排的。

英國(guó)教科書中每節(jié)都有相對(duì)固定的知識(shí)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)順序：新概念（或性質(zhì)、定理）→舉例→習(xí)題訓(xùn)練.在知識(shí)呈現(xiàn)方面最大的特點(diǎn)是開(kāi)門見(jiàn)山，直接給出概念，沒(méi)有任何引入的內(nèi)容。使得學(xué)生直接面對(duì)本節(jié)基本概念、性質(zhì)或公式，簡(jiǎn)潔明快。以4.1節(jié)“找矩陣維數(shù)（You can find the dimension of a matrix）”為例，教科書在章節(jié)標(biāo)題下直接給出矩陣的概念“矩陣可以看成一張數(shù)表，并且有不同的形狀”，之后便給出判斷矩陣維數(shù)的方法與矩陣的表示方法。給出定義后便是例題，通過(guò)例題來(lái)鞏固所學(xué)的知識(shí)。

可以看出英國(guó)教科書更類似于大學(xué)教學(xué)課的編寫風(fēng)格。這與我國(guó)教科書是不太類似的。這可能與AQA教科書“矩陣與代數(shù)”內(nèi)容安排在“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）模塊中學(xué)習(xí)有關(guān)，因?yàn)樵摃喈?dāng)于大學(xué)先修課程，因此在排版上也與大學(xué)教材相近。這樣安排雖然簡(jiǎn)明，但是從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)講并不是很好。因?yàn)榻炭茣鎸?duì)的畢竟是中學(xué)生，他們的抽象運(yùn)算水平還沒(méi)有達(dá)到大學(xué)生的高度。另外這樣引入矩陣的話，學(xué)生很難理解到矩陣的用處。雖然矩陣的重要用途，如可以用來(lái)表示線性變換，或者在群表示論中有著至關(guān)重要的作用。這些用途會(huì)隨著學(xué)校的不斷深入而逐漸顯現(xiàn)，學(xué)生也會(huì)加深對(duì)矩陣的認(rèn)識(shí)。但是從學(xué)習(xí)心理學(xué)的角度，從動(dòng)機(jī)的角度而言，教科書還是應(yīng)該先給出一些矩陣的來(lái)源為好。如國(guó)內(nèi)教科書那樣，先介紹一些矩陣的來(lái)源，如線性方程組、經(jīng)濟(jì)學(xué)中表述投產(chǎn)出等問(wèn)題都可以用矩陣來(lái)刻畫，這樣才會(huì)使學(xué)生了解到矩陣這個(gè)重要的概念不是從天而降的，而是有著重要來(lái)源的。這樣的安排的好處，既可以讓學(xué)生了解實(shí)際問(wèn)題是產(chǎn)生數(shù)學(xué)理論的源泉，數(shù)學(xué)是為了解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。這樣學(xué)生才能會(huì)有興趣去學(xué)習(xí)矩陣這部分內(nèi)容，起到激發(fā)學(xué)生興趣，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。

雖然英國(guó)教科書矩陣代數(shù)內(nèi)容的后半部分安排了矩陣在幾何變換和解線性方程組的作用。但是出現(xiàn)過(guò)完，如果學(xué)生一開(kāi)始就沒(méi)有被矩陣內(nèi)容所吸引，那也難認(rèn)真去學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容了，自然也體會(huì)不到矩陣的精華之處。可能就是記住了矩陣是一個(gè)數(shù)表。

5例題和練習(xí)及習(xí)題特點(diǎn)介紹

英國(guó)教科書例習(xí)題最大特點(diǎn)就是題量大，全章共有24個(gè)例題，70個(gè)習(xí)題。對(duì)比兩國(guó)教科書的例題，可以發(fā)現(xiàn)，我國(guó)教科書中的例題基本上都是對(duì)所學(xué)的知識(shí)的應(yīng)用與鞏固，但是沒(méi)有引出新知識(shí)的功能。英國(guó)教科書則具備了這兩個(gè)功能，既能對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行練習(xí)鞏固，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。而有的例題則是為了進(jìn)一步引入新知識(shí)。下面分別說(shuō)明。

例題的第一功能是對(duì)剛學(xué)過(guò)知識(shí)的鞏固與應(yīng)用。通過(guò)例題提出與剛剛介紹的概念、性質(zhì)或公式相對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，隨后給出該問(wèn)題的詳細(xì)解答步驟（solution）.這樣的例題和解答可能只有一組，也可能兩組以上，這要根據(jù)該性質(zhì)或概念的難度來(lái)確定.如4.1矩陣的維數(shù)這一節(jié)就只有一組例題，而4.5用矩陣描述線性變換就安排了4組例題，并且每組例題中有若干小題。

例題的另外一個(gè)功能就是引出新知識(shí)。由于英國(guó)教科書每一節(jié)沒(méi)有引言，直接給出概念。這樣雖然簡(jiǎn)介明了，但是減少了數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的過(guò)程。很難給學(xué)生展示觀察、操作、歸納、抽象、猜想這樣的數(shù)學(xué)過(guò)程。而這些正是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究中至關(guān)重要的。因?yàn)閷W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)習(xí)知識(shí)，更重要的是掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的方法。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，學(xué)生學(xué)完數(shù)學(xué)，多年之后，知識(shí)都會(huì)遺忘，而留在頭腦中的，則是重要的數(shù)學(xué)方法。但是如果教師在教學(xué)中不重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，教科書中也不注意呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，那么多年之后，對(duì)于那些不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，或者從事和數(shù)學(xué)相關(guān)的職業(yè)的學(xué)生，可能就什么數(shù)學(xué)知識(shí)也剩不下了。那么教科書以怎樣的形式編排才能更好的促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法呢？一般來(lái)說(shuō)有兩種編排方式，一個(gè)是通過(guò)引言、觀察、探索、思考的方式得出概念、命題等。另外就是在例題中滲透這些。這兩種編排方式各有利弊。放在每節(jié)的引入部分，可能不易引起學(xué)生和教師的關(guān)注。而放在例題中，那么教師和學(xué)生必然會(huì)對(duì)此重視，在教師講解與學(xué)生做題的情況下，潛移默化的將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法傳授給學(xué)生。英國(guó)教科書以例題形式來(lái)滲透數(shù)學(xué)思想方法的。

以例題8為例，該題安排在4.4節(jié)矩陣乘法中。該節(jié)開(kāi)始只是給出了矩陣乘法的法則，而沒(méi)有給出矩陣乘法的形式。矩陣運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算是有很大不同的。即矩陣運(yùn)算不滿足交換律，但是滿足結(jié)合律。于是教科書安排了例題7與例題8，通過(guò)具體矩陣的運(yùn)算讓學(xué)生去感受、總結(jié)這些性質(zhì)。

另外，英國(guó)教科書中例題是統(tǒng)一排序的，即本節(jié)例題的題號(hào)會(huì)承接上一節(jié)最后的例題，這樣可以清楚的看出矩陣代數(shù)一章共有24道例題。另外英國(guó)教科書會(huì)根據(jù)每節(jié)所涉及的知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量及難易程度來(lái)安排例題和習(xí)題的數(shù)量。在4.1-4.4節(jié)，例題和習(xí)題全是矩陣的計(jì)算題，到了4.5節(jié)后，由于介紹了矩陣與線性變換的關(guān)系，開(kāi)始出現(xiàn)證明題和較復(fù)雜的計(jì)算題（如求表示線性變換的矩陣、描述矩陣所代表的幾何變換的含義等）。英國(guó)教科書中例題的特色在于其例題的解題的解題過(guò)程屬于推理分析型的，一邊推理分析一邊解題，讓人隨著分析過(guò)程一步步走到結(jié)果出現(xiàn)，思路很清晰?？梢悦黠@的看出這樣的排版方式非常利于學(xué)生學(xué)習(xí)。

英國(guó)教科書的習(xí)題分為兩類，習(xí)題和混合習(xí)題分別相當(dāng)于中國(guó)教科書中的習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題。英國(guó)教科書中的習(xí)題不是每節(jié)都有，矩陣代數(shù)一章共11節(jié)，但只有10個(gè)習(xí)題，第一節(jié)因?yàn)閮?nèi)容很簡(jiǎn)單，沒(méi)有安排習(xí)題。英國(guó)教科書其他章節(jié)也有這樣的特點(diǎn)。習(xí)題（exercise）沒(méi)有根據(jù)難度分組，有計(jì)算、證明、畫圖等各種題型，涉及該節(jié)知識(shí)點(diǎn)的各個(gè)方面.每個(gè)習(xí)題有練習(xí)題數(shù)量不等，用來(lái)鞏固對(duì)該節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，同時(shí)也檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)該節(jié)知識(shí)的掌握程度.英國(guó)教科書題目類型較單一，基本不涉及具體情境，也沒(méi)有任何圖案。

章末有一個(gè)混合練習(xí)題組，涵蓋本章所有知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，是對(duì)該章知識(shí)的總結(jié)和復(fù)習(xí)，沒(méi)有明確按照難度分組，但是從題的難度和題型看，難度略高于前面的活動(dòng)題和練習(xí)題。

6啟發(fā)和思考

6.1英國(guó)教科書內(nèi)容呈現(xiàn)和表達(dá)方式與學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)

英國(guó)教科書的編寫只是簡(jiǎn)單的定義、性質(zhì)加例題加習(xí)題的形式，相當(dāng)于把大學(xué)數(shù)學(xué)中的二階方陣的知識(shí)下放到中學(xué)。如果閱讀一些大學(xué)線性代數(shù)或者高等代數(shù)教科書，可以發(fā)現(xiàn)與大學(xué)教科書的風(fēng)格是很類似的。對(duì)于矩陣的引入沒(méi)有任何說(shuō)明。這樣編寫時(shí)不符合高中生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的。編寫者并沒(méi)有進(jìn)一步的考慮如何編排教科書才能使得學(xué)生更好的掌握、應(yīng)用矩陣。學(xué)生只是知道了矩陣的運(yùn)算，矩陣可以表示幾何變換，可以用來(lái)求解線性方程組。沒(méi)有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，也沒(méi)有更好的體現(xiàn)出矩陣的應(yīng)用價(jià)值。

6.2教科書難度和容量適中

英國(guó)的“進(jìn)一步的純數(shù)學(xué)”（Further pure maths）是一套難度很大的教科書，在這套教科書的第二冊(cè)中已經(jīng)涉及了二階常微分方程、泰勒級(jí)數(shù)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)。其他的一些章節(jié)，如復(fù)數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法，是我國(guó)教科書中也有的，知識(shí)容量以及難度都不如英國(guó)教科書。但是矩陣這部分內(nèi)容，中國(guó)教科書與英國(guó)教科書相比，多介紹了切變變換、初等變換、初等變換矩陣、矩陣的特征值與特征向量等知識(shí)內(nèi)容。這些內(nèi)容，尤其是矩陣的特征值與特征向量，都是較難的內(nèi)容。因此可見(jiàn)英國(guó)教科書矩陣代數(shù)部分難度與容量是適中的。英國(guó)教科書按照純數(shù)學(xué)形式編寫教科書，沒(méi)有將任何實(shí)際生產(chǎn)、生活情境融入教科書中。

6.3英國(guó)教科書章首呈現(xiàn)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)的預(yù)覽模式有利于學(xué)生自學(xué)

英國(guó)教科書在章首列出該章學(xué)習(xí)目標(biāo)（objectives），讓學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容了解本章主要學(xué)習(xí)內(nèi)容、重點(diǎn)內(nèi)容、以及各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的呈現(xiàn)順序、各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的基礎(chǔ)和提高之間的邏輯關(guān)系，同時(shí)也讓學(xué)生剛開(kāi)始就了解到該章內(nèi)容的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)需要掌握的程度，很大程度上有利于學(xué)生對(duì)整章內(nèi)容提前有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)，同時(shí)還可以按照目標(biāo)要求中所列的針對(duì)不同知識(shí)點(diǎn)的不同掌握程度有重點(diǎn)地進(jìn)行學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，也有利于提高復(fù)習(xí)效率，不至于造成沒(méi)有重點(diǎn)地學(xué)習(xí)，這種知識(shí)呈現(xiàn)模式顯然有利于學(xué)生對(duì)照目標(biāo)進(jìn)行自學(xué).中國(guó)教科書知識(shí)在目錄中體現(xiàn)出要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，但是體現(xiàn)不出重難點(diǎn)。英國(guó)教科書這一點(diǎn)值得我們借鑒。

6.4英國(guó)的純數(shù)學(xué)形式編寫使得教科書更加簡(jiǎn)明

從英國(guó)AQA高中數(shù)學(xué)教科書知識(shí)呈現(xiàn)形式看，該教科書與中國(guó)20世紀(jì)80年代使用的以俄羅斯中學(xué)數(shù)學(xué)教科書為藍(lán)本的高中數(shù)學(xué)教科書編排方式相似，很少有實(shí)際應(yīng)用背景知識(shí)出現(xiàn)，同時(shí)在習(xí)題中也很少看到應(yīng)用題或數(shù)學(xué)模型題的出現(xiàn)，完全不同于中國(guó)現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)新教科書的模式。這樣編寫教科書的最大特點(diǎn)就是一目了然，簡(jiǎn)潔明快。前面談到了我國(guó)教科書編寫的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，但是這樣編寫出的教科書有顯得過(guò)于厚重。同樣是矩陣內(nèi)容，英國(guó)教科書只用了36頁(yè)，而我國(guó)教科書卻用了111頁(yè)，這樣在教學(xué)中又增加了教師的負(fù)擔(dān)。能否保留我國(guó)現(xiàn)在編寫教科書的特點(diǎn)，同事吸收英國(guó)教科書簡(jiǎn)潔明快的風(fēng)格，是一個(gè)值得繼續(xù)探討的問(wèn)題。

〔參 考 文 獻(xiàn)〕

〔1〕中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，矩陣與變換（選修4-2）〔M〕.北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.