范 琦，王云飛，楊百愚，楊鴻儒，黎高平，姜昌錄

（1.空軍工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安710051；2.西安應(yīng)用光學(xué)研究所，陜西 西安710065）

引言

相位恢復(fù)測量是一種新興的測量手段，是相位恢復(fù)技術(shù)在鏡面測量領(lǐng)域的應(yīng)用［1－6］。它通過采集被測鏡反射或者透射的光場強度，由相位恢復(fù)算法計算出被測鏡的面形分布。相位恢復(fù)測量系統(tǒng)通常由照明光源、被測鏡以及圖像采集器（如CCD）組成。與干涉測量相比，它的結(jié)構(gòu)簡單（無需參考光路），抗震動能力強，能直接測量非球面，還可以達(dá)到和干涉儀測量結(jié)果相當(dāng)?shù)木?。這些優(yōu)勢使人們非常看好將相位恢復(fù)測量技術(shù)應(yīng)用于在位測量工具等方面。相位恢復(fù)技術(shù)曾成功診斷及校正哈勃望遠(yuǎn)鏡（Hubble space telescope）的像差［6］，并被美國航天局應(yīng)用于下一代拼接式大型空間望遠(yuǎn)鏡詹姆斯·韋伯（James Webb space telescope）的加工與裝配［7］。目前相位恢復(fù)技術(shù)在光學(xué)鏡面加工測量方面的研究還處于起步階段，相關(guān)的基本問題還需要進(jìn)一步探討。

相位恢復(fù)算法主要基于標(biāo)量衍射的角譜理論的數(shù)字實現(xiàn)和數(shù)學(xué)上的最優(yōu)化方法，其用于光學(xué)元件面形檢測的基本原理是，從記錄的光場的強度信息恢復(fù)出光場的相位信息，恢復(fù)精度和計算次數(shù)由最優(yōu)化算法給出。本文從標(biāo)量衍射的角譜理論出發(fā)，研究相位恢復(fù)用于光學(xué)元件面形檢測的算法實現(xiàn)和實驗。

1 原理

角譜理論是從光波場的二維傅里葉分析出發(fā)，將光路中輸入平面和輸出平面上的光波場看成是由不同權(quán)重的沿不同方向傳播的平面光波疊加而成（見圖1所示），從而使得光波場的傳播問題變?yōu)檠芯枯斎雸龉獠ǖ母道锶~變換與輸出場光波的傅里葉變換之間關(guān)系的問題［8－9］。

圖1 平面波假設(shè)示意圖Fig.1 Schematic diagram of assumed plane wave

對任一光波場U（x，y，z），它和初始位置光波場U（x，y，0）的關(guān)系可由傅里葉變換表示為

式中：F－1｛｝和F｛｝分別為傅里葉逆變換和傅里葉變換，即為標(biāo)量衍射的角譜傳播公式。頻譜傳遞函數(shù)為

相位恢復(fù)算法是通過記錄兩幅光場的強度信息和它們之間的距離，然后假設(shè)一個相位初值，應(yīng)用標(biāo)量衍射理論的角譜算法在2個記錄面之間進(jìn)行迭代計算，當(dāng)達(dá)到計算結(jié)束條件時，停止計算，此時所得的相位即認(rèn)為是記錄面的相位信息，由此相位信息即可獲得待測光學(xué)元件的面形信息。具體數(shù)學(xué)描述如下。

在光學(xué)元件反射光的傳播光路上記錄兩幅強度圖像，分別記為I1和I2，兩記錄平面之間的距離記為d，如圖2所示，圖2中z為光波傳播方向。

假設(shè)I1和I2處的光場復(fù)振幅分布分別為U1（x，y）和U2（x，y），則按照角譜衍射公式，兩光波場的復(fù)振幅之間的關(guān)系為

圖2 兩光波強度記錄示意圖Fig.2 Recorded diagram of two light intensities

式中 H1（fx，fy）和 H2（fx，fy）為頻譜傳遞函數(shù)，其具體表達(dá)式為

式中：fx，和fy分別為x和y方向的空間頻率；λ為所用的激光波長；d為兩記錄面之間的距離。

假設(shè)I1處的相位為φ0（x，y），則此記錄平面處的復(fù)振幅U1（x，y）為

將（5）式代入（3a）式可計算出I2記錄平面處的復(fù)振幅U′2（x，y），可表示為

將（6）式中的A′2用實際記錄的強度I2的平方根代替，相位項不變，并令

將（7）式代入（3b）式可計算出I1記錄平面處的復(fù)振幅U′1（x，y），可表示為

將（8）式中的A′1用實際記錄的強度I1的平方根代替，相位項不變，并令

2 實驗

對一凹面鏡進(jìn)行測量，實驗光路如圖3所示，測試裝置如圖4所示。氦氖激光器發(fā)出的光束經(jīng)顯微物鏡匯聚到10μm的針孔上，形成標(biāo)準(zhǔn)球面光波，將此標(biāo)準(zhǔn)球面光波照射到待測鏡上，其反射光波經(jīng)分光棱鏡透射后的匯聚點仍在針孔處，其反射光波經(jīng)分光棱鏡反射后的光波由CMOS探測器記錄，CMOS探測器裝在三維位移平臺上。

圖3 實驗光路圖Fig.3 Light ray diagram of experiment

圖4 測試裝置圖Fig.4 Diagram of test device

由裝置4記錄到的光強分布如圖5所示。圖5（a）和圖5（b）分別為焦點后2mm處的光強分布和焦點后2.5mm處的光強分布。

圖5 記錄的不同位置處的光強分布Fig.5 Recorded light intensity distributions of different locations

由圖5（a）和圖5（b）所示的光強分布，應(yīng)用第二部分的原理，可得焦點后2mm處的相位分布，其與標(biāo)準(zhǔn)球面之間的偏差如圖6所示。圖6（a）和圖6（b）分別為二維和三維相位偏差分布圖。

圖6 恢復(fù)波前與理想球面之間的偏差Fig.6 Retrieved wavefront's deviation from ideal spherical surface

波面擬合實質(zhì)上就是把攜帶測量表面信息的離散點采樣數(shù)據(jù)擬合成與實際波面盡可能一致的數(shù)學(xué)上的波面函數(shù)。由于在光學(xué)表面檢測的絕大多數(shù)情況中，被測光學(xué)表面或光學(xué)系統(tǒng)的出射光波面總是趨于光滑和連續(xù)的，因此，這樣的波面函數(shù)一定可以表達(dá)成一個完備的基底函數(shù)的線性組合，或一個線性無關(guān)的基底函數(shù)的線性組合。在眾多類似的研究中，研究者曾選擇過許多不同類型的基底函數(shù)擬合光學(xué)干涉波面。然而，在光學(xué)測量問題中最終都選擇了Zernike多項式作為對被測光學(xué)波面擬合的基底函數(shù)系數(shù)。最直接的理由是，實踐表明Zernike多項式對光學(xué)問題中有關(guān)光學(xué)波面的擬合精度最高，其本質(zhì)原因是Zernike多項式有這樣幾個特點：1）Zernike多項式在單位圓上正交，正交性使擬合多項式的系數(shù)能相互獨立，從而避免了系數(shù)之間的耦合造成其物理意義的混淆不清；2）Zernike多項式自身所特有的旋轉(zhuǎn)對稱性，使之對光學(xué)問題的求解過程中一般均具有良好的收斂性；3）Zernike多項式與初級像差有著一定的對應(yīng)關(guān)系［10－13］。

極坐標(biāo)形式的Zernike多項式的具體表達(dá)式如下：

應(yīng)用上述定義可以計算出n和l取不同值時的Zernike多項式，同時對Zernike多項式的排序有不同種，不同單位使用不同的順序。本文采用表1所示的順序，表1僅給出了前6項。

表1 前6項Zernike多項式Table 1 First 6 terms of Zernike polynomial

應(yīng)用Zernike多項式的線性組合可以擬合任意的波前函數(shù)。如果得到的波前函數(shù)為w（x，y），則它可表示為Zernike多項式的線性組合，即

式中：zj為第j項Zernike多項式；aj為相應(yīng)項的系數(shù)；x＝ρsin（θ），y＝ρcos（θ），在實際應(yīng)用中p常取36。（13）式可以表示為矩陣的形式：

W＝Z＊A （14）式中：W 為所有測量數(shù)據(jù)（N個）構(gòu)成的列向量；Z為由Zernike多項式構(gòu)成的N×p系數(shù)矩陣；A為p×1的Zernike系數(shù)列向量。對于（14）式，只要求出系數(shù)矩陣Z的廣義逆矩陣，就可獲得系數(shù)列向量A：

應(yīng)用此方法對圖6所示的測量波前進(jìn)行擬合，所得結(jié)果如圖7所示。

圖7 Zernike擬合后的結(jié)果Fig.7 Result of Zernike fitting

3 結(jié)論

相位恢復(fù)算法用于光學(xué)檢測和測量具有獨特的優(yōu)點。它通過采集被測鏡反射或者透射的光場強度，由最優(yōu)化算法計算出被測鏡的面形分布或恢復(fù)出光波的波前相位分布。相位恢復(fù)測量系統(tǒng)與干涉測量系統(tǒng)相比，它的結(jié)構(gòu)簡單（無需參考光路），抗震動能力強，并可以達(dá)到和干涉儀相當(dāng)?shù)木?。這些優(yōu)勢使人們非常看好將相位恢復(fù)測量技術(shù)應(yīng)用于在位測量方面。本文用標(biāo)量衍射的角譜理論，研究了基于兩幅光強分布的相位恢復(fù)算法，并將此算法應(yīng)用到光波的波前及光學(xué)元件面形的檢測中。實驗研究了球面光波波前的相位恢復(fù)及面形檢測。采用求廣義逆矩陣的方法，完成了光學(xué)元件面形的Zernike擬合。后續(xù)的工作是需要研究此方法所得檢測結(jié)果與Zygo干涉儀檢測結(jié)果的比較，并探討提高此方法檢測精度的途徑。

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