楊先進(jìn)　曹軒

（2015年湖北八校聯(lián)考第一次考試第10題）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h（x）在點(diǎn)P（x0，h（x0））處的切線方程為l：y=g（x），當(dāng)x≠x0時(shí)，若h（x）-g（x）x-x0>0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h（x）的“類對(duì)稱點(diǎn)”，則f（x）=x2-6x+4lnx的“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是（）.

A.1B.2C.eD.3

初讀此題，發(fā)現(xiàn)題目雖給出了一個(gè)新的概念：“類對(duì)稱點(diǎn)”，但其實(shí)此題是根據(jù)2007年湖南高考題改編而來(lái)，只不過(guò)是換了一個(gè)名詞和一個(gè)新的函數(shù)，我們先來(lái)重溫下這道高考題：

（2007年湖南卷文科壓軸題）已知函數(shù)f（x）=13x3+12ax2+bx在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）略（Ⅱ）當(dāng)a2-4b=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線為l，若l在點(diǎn)A處穿過(guò)函數(shù)y=f（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f（x）的表達(dá)式.

此題的題干中有一段描述性的文字描述了曲線與其切線的關(guān)系，而且還在后面專門又作了注釋，這在高考題中是很少見(jiàn)的，其實(shí)從圖形語(yǔ)言來(lái)看，很容易知道曲線與其切線在切點(diǎn)附近，有如下兩種情況：

圖1圖2

根據(jù)這兩種情況，我們可以從如下2個(gè)角度來(lái)考慮曲線和切線的關(guān)系：

視角1構(gòu)造新函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），由圖1可以看出新函數(shù)的函數(shù)值在切點(diǎn)的左邊附近減小，而在右邊附近增大，可以知道新函數(shù)應(yīng)該在x=x0處取得極值，而圖2中的新函數(shù)的函數(shù)值在切點(diǎn)附近呈單調(diào)趨勢(shì)，此題正是圖2的文字描述，高考命題組給出的解法也是基于這一想法而給出的解答，解答如下：

事實(shí)上，如圖2，曲線在x=x0的情形其實(shí)就是高等數(shù)學(xué)中拐點(diǎn)的定義，上述三題本質(zhì)上都是考查了函數(shù)拐點(diǎn)的必要條件.

拐點(diǎn)定義（根據(jù)高等數(shù)學(xué)同濟(jì)6版上冊(cè)第151頁(yè)）

一般的，設(shè)y=f（x）在區(qū)間I上連續(xù)，x0是I的內(nèi)點(diǎn)（除端點(diǎn)外的I內(nèi)的點(diǎn)）.如果曲線y=f（x）在經(jīng)過(guò)點(diǎn)x0，f（x0）時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)x0，f（x0）為這曲線的拐點(diǎn).

拐點(diǎn)的必要條件設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a，b），若x0，f（x0）是曲線y=f（x）的一個(gè)拐點(diǎn)，則f″（x0）=0.

拐點(diǎn)的充分條件：設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，x0∈（a，b），f″（x0）=0，若在x0兩側(cè)附近f′（x）異號(hào)，則點(diǎn)x0，f（x0）為曲線的拐點(diǎn).否則（即x0兩側(cè)附近f′（x）保持同號(hào)），（x0，f（x0））不是拐點(diǎn).

一般來(lái)說(shuō)函數(shù)的一，二階導(dǎo)數(shù)基本給出了人們通常感興趣的函數(shù)特征，因此，如果對(duì)函數(shù)的一二階導(dǎo)數(shù)有較好的理解，對(duì)函數(shù)的基本形態(tài)也基本了解了.

數(shù)學(xué)考試說(shuō)明明確指出，數(shù)學(xué)科考試要“發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能”.因此高考中會(huì)有很多大學(xué)知識(shí)通過(guò)變化巧妙地滲透到試題中，因此在日常教學(xué)中，作為中學(xué)教師要有意識(shí)地向?qū)W生介紹一些高等數(shù)學(xué)中的公式和定理，這樣不但可以增加數(shù)學(xué)知識(shí)，擴(kuò)大解題途徑，還可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，讓他們懂得，站得高才能看得遠(yuǎn).作者簡(jiǎn)介楊先進(jìn)，男，湖北京山人，1981年10月生，中學(xué)一級(jí)教師.主要研究高考解題研究和教學(xué)教法，多篇文章發(fā)表.