袁樸玉

摘 要：介紹層次分析法的基本原理及應(yīng)用的基本步驟，并且成功地運用層次分析法解決一個多目標決策問題，證明層次分析法的可行性與實用性。

關(guān)鍵詞：層次分析法；多目標決策；個人購車

中圖分類號：F224.9 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2015）12-0067-04

引言

層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱A H P，在20世紀70年代中期由美國運籌學家托馬斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出，它是定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。由于它在處理復(fù)雜決策問題上的應(yīng)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視，它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策與分配、行為科學、軍事指標、運輸、農(nóng)業(yè)、教育與人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。

一、層次分析法的基本原理

AHP是處理有限個方案的多目標決策問題時常用的方法之一。它是以層次架構(gòu)來組織決策元素，進而融入專家或?qū)嶋H參與決策者的意見，幫助決策者作出評估判斷的思維方法。它的基本思想是把復(fù)雜問題分解為若干層次，即把決策問題按總目標、評價標準、具體措施的順序分解為不同層次結(jié)構(gòu)，最后在低層次通過兩兩比較得出各因素相對上一層的權(quán)重并逐層進行，最后利用加權(quán)求和方法綜合排序以求出各方案對總目標的權(quán)重，權(quán)重最大者為最優(yōu)方案。

二、層次分析法的基本步驟

第一步，建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實際問題的基礎(chǔ)上，以圖的方式來表示這一問題的總目標，使用標準（或準則）和決策選項，建立層次模型。最高層為目標層，表示解決問題的目的，通常有1個因素；中間層為準則層，表示要實現(xiàn)預(yù)定目標所涉及的中間環(huán)節(jié)；最低層為決策層，表示解決問題的措施或方案。

第二步，構(gòu)造成對比較矩陣。從層次結(jié)構(gòu)模型第二層開始，對于從屬于（或影響）上一層每個因素的同一層諸因素用成對比較法和1～9比較尺度構(gòu)成成對比較矩陣，用于表示針對上一層某因素而言，本層與之有關(guān)的各因素之間的相對重要性。而這里所用的信息基礎(chǔ)主要是人們對每一層各因素的相對重要性給出的人工判斷。

第三步，層次單排序與一致性檢驗。根據(jù)成對比較矩陣計算對于上一層某因素而言，本層與之有關(guān)的因素的重要性次序的權(quán)值，即層次單排序。它是本層次所有因素相對上一層而言的重要性進行排序的基礎(chǔ)，層次單排序可歸結(jié)為計算成對比較矩陣的特征值和特征向量。由于成對比較的數(shù)量比較多，很難做到完全一致。事實上，任何成對比較矩陣都允許存在一定程度上的不一致。為了解決一致性問題，AHP提供了用一致性指標CR來測量決策者做成對比較的一致性。若CR>0.10，則表明成對比較存在不一致；若CR≤0.10，則表明成對比較的一致性設(shè)計較合理，可以繼續(xù)A H P的以下步驟。

第四步，層次總排序。利用同一層次中所有層次單排序的結(jié)果計算針對上一層而言本層所有因素重要性的權(quán)值，即層次總排序。由于總排序過程是從最高層到最低層逐層進行的，而最高層為總目標，所有層次總排序也是計算某一層次各因素相對于最高層的相對重要性的排序權(quán)值。

三、實例研究——用A H P方法解決個人購車問題

決策者在對幾部車的樣式和配件初步分析后，選擇了三種車型：速騰1.6L領(lǐng)先型，雪鐵龍1.6L時尚型，朗動1.6L領(lǐng)先型，下頁表1總結(jié)了決策者搜集的關(guān)于這些車的信息，并且認為選車的決策與下列標準有關(guān)：（1）價格；（2）油耗；（3）舒適性；（4）樣式。

（一）建立層次結(jié)構(gòu)模型

（二）構(gòu)造成對比較矩陣

A H P具有的靈活性能夠反映每個決策者的獨特偏好，考慮的標準隨著決策者變動。為了衡量各個標準之間的相對重要性，A H P采用分值1～9來測量。在4個標準構(gòu)成的成對比較矩陣中，用1、3、5、7、9分別對應(yīng)“一般重要”、“較重要”、“很重要”、“非常重要”、“極重要”，而居中的評價比如重要的程度在“非常重要與很重要之間”則對應(yīng)6分。在每個標準下三種車型構(gòu)成的成對比較矩陣中，用1、3、5、7、9分別對應(yīng)“一般喜愛”、“較喜愛”、“很喜愛”、“非常喜愛”、“極喜愛”，用于表示對某種車的偏愛程度。

4個標準構(gòu)成的成對比較矩陣記作A，在價格標準下三種車型構(gòu)成的成對比較矩陣記作B1，在油耗標準下三種車型構(gòu)成的成對比較矩陣記作B2，在舒適性標準下三種車型構(gòu)成的成對比較矩陣記作B3，在樣式標準下三種車型構(gòu)成的成對比較矩陣記作B4。則：

A=，B1=，

B2=，B3=，

B4=

在矩陣中A，第一行第二列的“3”，表示價格與油耗相比，價格更重要一點。同理，在矩陣中B3，第一行第三列的“8”，表示在舒適性標準下決策者對速騰比對朗動的偏愛程度在強烈與極強烈之間。

（三）層次單排序與一致性檢驗

1.各標準的優(yōu)先排序與一致性檢驗

各標準優(yōu)先排序的計算步驟：先計算每列值的總和；接著矩陣的每一項都除以它所在列的總和；最后求每行的平均值即為每個標準的優(yōu)先級。

各標準的一致性指標的計算步驟：先將成對比較矩陣中第一列的每一項都乘以第一項標準的優(yōu)先級，第二列的每一項都乘以第二項標準的優(yōu)先級，以此類推，完成成對比較矩陣的豎列；然后計算每行的總和，得到一向量“加權(quán)值”；接下來，將得到的加權(quán)值對應(yīng)除以每個標準的優(yōu)先級，得到4個數(shù)值；再計算上步得到的數(shù)值的平均值，記為λmax；接著計算一致性指數(shù)CI，CI；最后計算一致性指標CR，CR=，其中RI是任意一個成對比較矩陣的一致性指標，其值取決于該比較的項目個數(shù)，當n=3時，RI=0.58；當n=4時，RI=0.90。

如前所述，4個標準構(gòu)成的成對比較矩陣的一致性程度達到要求，可以得出結(jié)論：這個成對比較的一致性是可以接受的。

2.各標準下三種車型的優(yōu)先排序與一致性檢驗

由上述相關(guān)計算的詳細步驟列表表示其相應(yīng)結(jié)果。表4表示各標準下三種車型的優(yōu)先排序，表5 表示對成對比較矩陣所做的一致性檢驗的結(jié)果。

由表4可以看出，按價格標準朗動（0.557）是最佳選擇；按油耗標準朗動（0.639）也是最佳選擇；按舒適性標準速騰（0.593）是最佳選擇；按樣式標準雪鐵龍（0.656）是最佳選擇。

由表5得出，這些成對比較的一致性都達到要求，所以結(jié)論是可以接受的。

（四）層次總排序

層次總排序的計算過程為將每部車的優(yōu)先級乘以對應(yīng)標準的優(yōu)先級，累計總和即可。

速騰的層次總排序：

0.398×0.123+0.085×0.087+0.218×0.593+0.299×0.265=0.265

雪鐵龍的層次總排序0.398×0.320+0.085×0.274+0.218×0.341+0.299×0.656=0.421

朗動的層次總排序：

0.398×0.557+0.085×0.639+0.218×0.065+0.299×0.080=0.314

排列上述優(yōu)先級，可得決策選項的A H P排名：（1）雪鐵龍，（2）朗動，（3）速騰。以上結(jié)果為決策者提供了依據(jù)，也幫助決策者更好地理解在決策過程中的利益權(quán)衡，同時也更清晰地理解為什么A H P推薦雪鐵龍的原因。

結(jié)語

層次分析法作為一種有用的決策工具，具有明顯的優(yōu)點，如實用性、簡潔性和系統(tǒng)性。正如許多正在發(fā)展的理論和方法一樣，層次分析法在應(yīng)用上也具有一定的局限性。首先，層次分析法得出的結(jié)果是粗略地安排次序，不適用于有較高定量要求的決策問題；其次，其結(jié)論是建立在成對比較矩陣是一致性矩陣的基礎(chǔ)上的。而在實際應(yīng)用中由于各方面原因往往得不到具有一致性的成對比較矩陣，而需要對其進行一致性檢驗，并進行修改，因此成對比較矩陣的建立過程比較復(fù)雜，并且存在較大的主觀性。故應(yīng)用時應(yīng)注意：（1）分解簡化問題時把握住主要因素，不漏不多；（2）注意相比較元素之間的強度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。