董作文+王建偉

摘 要：針對(duì)需求到達(dá)次數(shù)為復(fù)合泊松過程的生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型，進(jìn)一步研究缺貨發(fā)生的概率，然后利用運(yùn)籌學(xué)中的存儲(chǔ)理論計(jì)算該模型下生產(chǎn)企業(yè)的庫存與缺貨等費(fèi)用，希望在總費(fèi)用最小的決策原則之下，求解該模型的各參數(shù)取值。

關(guān)鍵詞：復(fù)合泊松過程；缺貨概率；庫存費(fèi)

中圖分類號(hào)：F224 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2015）12-0018-02

一、引言

風(fēng)險(xiǎn)理論是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行定量分析和預(yù)測(cè)的一般理論，主要處理保險(xiǎn)事務(wù)中的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型。研究這些風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率即為破產(chǎn)理論，它是保險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容。它對(duì)保險(xiǎn)公司的長(zhǎng)期經(jīng)營穩(wěn)定性分析有重要意義，也是保險(xiǎn)公司最為關(guān)心的一個(gè)熱門課題。在[1]中，董作文與劉恒利用風(fēng)險(xiǎn)理論中的復(fù)合泊松過程構(gòu)建了復(fù)合泊松需求分布下生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型。

（一）模型的構(gòu)造[1]

1.假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)初始存貨量為Q，單位時(shí)間的貨物生產(chǎn)量為c。

2.假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)面對(duì)的貨物需求次數(shù)符合復(fù)合泊松過程，假設(shè)（0，t]內(nèi)的需求到達(dá)次數(shù)為N（t），則N（t）符合泊松過程。

3.假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)面對(duì)的每次貨物需求量為Ri，i=1，2，…，Ri，i=1，2，…獨(dú)立同分布，分布函數(shù)為F（x），假設(shè)E（Ri）=R，i=1，2，…。

在以上假設(shè)下，生產(chǎn)企業(yè)在t時(shí)刻的貨物存儲(chǔ)量U（t）=Q+ct-Ri。下面，我們就要討論該模型的缺貨發(fā)生的概率了。記缺貨發(fā)生的時(shí)刻T=inf{t：U（t）<0}，則Ψ（Q）=P{T<∞}為在初始存貨為Q的情況下，企業(yè)的最終缺貨概率。

（二）缺貨發(fā)生概率

定義1：我們稱關(guān)于a的方程1+（1+θ）Ra=eaxdF（x）的正數(shù)解A1為Ri的次調(diào)節(jié)系數(shù)，其中θ=-1。

定義2：取A=max{r∶r=A1}，稱A為R1的調(diào)節(jié)系數(shù)。

定理1：設(shè)企業(yè)初始存儲(chǔ)量為Q，貨物需求量Ri的分布函數(shù)為F（x），則：

Ψ（Q）≤e-AQ。

定理2：設(shè)企業(yè)初始存儲(chǔ)量為Q，則缺貨發(fā)生的概率滿足：

Ψ（Q）=。

定理3：如果企業(yè)初始存儲(chǔ)量等于0，那么對(duì)所有的y>0，我們有：

P[U（T）∈（-y-dy，-y），T<∞]=[1-P（y）]dy。

（三）缺貨概率的進(jìn)一步討論

在破產(chǎn)理論中，我們定義最大累積貨物需求量，即到時(shí)刻t 為止的貨物需求總額和貨物產(chǎn)量的差的最大值：

L=max{S（t）-ct，t≥0}

S（t）為到t時(shí)的貨物需求總額，c為貨物生產(chǎn)速度。因?yàn)镾（0）=0，所以L≥0。

事件L>Q發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)有限時(shí)間t，使得U（t）<0；換一句話說，不等式L>Q和T<∞是等價(jià)的，從而：

Ψ（Q）=1-FL（Q）

接下來，我們考慮了貨物存儲(chǔ)創(chuàng)新下記錄的時(shí)刻，下記錄只能發(fā)生在提貨時(shí)刻。我們用隨機(jī)變量Lj，j=1，2，…來表示第j個(gè)下記錄比第j-1個(gè)下記錄小的額度。設(shè)M是新紀(jì)錄的隨機(jī)個(gè)數(shù)，我們有：

L=L1+L2+…+LM

由于泊松過程是無記憶的，所以每一個(gè)指定的下記錄是最后一個(gè)下記錄的概率是相同的，為1-Ψ（0），也就是說，隨機(jī)變量M復(fù)合幾何分布，參數(shù)為p=1-Ψ（0）。

定理4：Ψ（0）=[1-F（y）]dy =R=

定理5：假設(shè)在生產(chǎn)過程中至少存在一個(gè)下記錄L1，那么L1的概率密度函數(shù)fL1（y）可以表示為：

fL1（y）=，y>0

二、復(fù)合泊松需求分布下生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型的進(jìn)一步研究

（一）關(guān)于缺貨發(fā)生的概率[2]

在上一節(jié)第一部分中，我們得出了在初始存貨為Q的條件下，最終缺貨概率的上限以及一般表達(dá)式，沒有給出一個(gè)明確的表達(dá)式，這是我們需要進(jìn)一步解決的問題。第二部分中，也只是給出了初始存貨為0的條件之下，最終缺貨概率的明確的表達(dá)式，于解決問題只是有一定的指導(dǎo)意義而已。下面我們就要推導(dǎo)在需求量符合指數(shù)分布下，在初始存貨為Q的條件下，最終缺貨概率的明確的表達(dá)式。

三、總結(jié)

本文針對(duì)需求到達(dá)次數(shù)為復(fù)合泊松過程的生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型，進(jìn)一步研究缺貨發(fā)生的概率，然后利用運(yùn)籌學(xué)中的存儲(chǔ)理論計(jì)算該模型下生產(chǎn)企業(yè)的庫存與缺貨等費(fèi)用，希望在總費(fèi)用最小的決策原則之下，求解該模型的各參數(shù)取值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 董作文，劉恒.復(fù)合泊松需求分布下生產(chǎn)企業(yè)的生產(chǎn)——庫存系統(tǒng)模型[J].經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊，2015，（4）.

[2] [荷]R.卡爾斯，M.胡法茲，J.達(dá)吶，M.狄尼特.現(xiàn)代精算風(fēng)險(xiǎn)理論[M].唐啟鶴，胡太忠，成世學(xué)，譯.北京：科學(xué)出版社，2001：70-71.

[3] 方秋蓮.幾類需求帶跳隨機(jī)庫存模型及其應(yīng)用研究[D].長(zhǎng)沙：中南大學(xué)，2010.

[責(zé)任編輯 劉嬌嬌]