沈燕芬

[摘 要]在學(xué)習(xí)“幾何與圖形”時(shí)，學(xué)生往往存在思維混亂、混淆等情況。分析造成學(xué)生思維困擾的原因，并通過(guò)關(guān)注學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)，整體感知有效建構(gòu)；把握概念本質(zhì)內(nèi)涵，學(xué)會(huì)主動(dòng)建模；同化順應(yīng)改造提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)化；俯身克服實(shí)際困難，切實(shí)發(fā)展空間觀念；等等策略來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]圖形幾何 導(dǎo)引策略 思維困擾

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）11-023

在“幾何與圖形”的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力，但很大一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在思維混亂、混淆等情況，導(dǎo)致學(xué)習(xí)“幾何與圖形”成為難點(diǎn)。為此，我嘗試分析“幾何與圖形”教學(xué)中學(xué)生思維混亂的成因，對(duì)“幾何與圖形”學(xué)習(xí)中典型的學(xué)生困惑進(jìn)行了引導(dǎo)策略探究，從而培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、關(guān)注學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)，整體感知有效建構(gòu)

小學(xué)生具有直觀想象為主的特點(diǎn)，他們需要借助視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、觸覺(jué)等感官來(lái)認(rèn)知幾何圖形。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)看、摸、做等來(lái)把握幾何圖形的特征，從而使他們對(duì)幾何圖形產(chǎn)生穩(wěn)定、清晰的空間觀念。比如，三角形的高是指三角形的頂點(diǎn)到它對(duì)邊的距離，這樣的定義相對(duì)抽象，學(xué)生難以理解。在教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生感知生活中各種高的存在形式，并且出示不同的三角形物品，讓學(xué)生畫(huà)它們的高，從而使學(xué)生對(duì)三角形的高有較為全面而深刻的認(rèn)識(shí)。

【例1】“三角形的高”的教學(xué)片斷

1.復(fù)習(xí)引入

（1）過(guò)A、B兩點(diǎn)畫(huà)一條直線；

（2）從直線AB外一點(diǎn)C，畫(huà)出點(diǎn)C到直線AB的距離；

提問(wèn)：從直線AB外一點(diǎn)C到直線AB的距離，是怎么畫(huà)的？

（由C點(diǎn)向直線AB畫(huà)垂直的線段，就是C點(diǎn)到直線AB的距離，并板書(shū)“垂直線段”）

（3）過(guò)直線外一點(diǎn)C畫(huà)直線AB的平行線；

（4）在直線AB的平行線上任取兩點(diǎn)，畫(huà)出它們到直線AB的距離。

提問(wèn)：在直線AB的平行線上任取兩點(diǎn)，它到直線AB的距離如何，為什么？

（長(zhǎng)度相同，因?yàn)槠叫芯€間距離處處相等）

2.引入課題

提問(wèn)：如果用直的線連接AC、BC、AB，那么AC、BC、AB間的部分叫什么？連接后就形成了什么圖形？（線段AC、BC、AB；連接后形成一個(gè)三角形。）

三角形高的畫(huà)法：

（1）反思三角形高的形成

指著黑板中三角形ABC內(nèi)的一條線段（即點(diǎn)C到直線AB的距離），問(wèn)：該線段是怎么畫(huà)出來(lái)的？

點(diǎn)C到AB邊的距離，就是三角形ABC底邊AB上的高。

課的開(kāi)始，復(fù)習(xí)點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離、線段及線段與直線的關(guān)系等都是本節(jié)課新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，其中點(diǎn)到直線的距離——點(diǎn)到線段的距離——點(diǎn)到三角形邊的距離的揭示過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷三角形的高的畫(huà)法的形成過(guò)程（即過(guò)程目標(biāo)），讓數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的整體感知和有效建構(gòu)。

二、把握概念本質(zhì)內(nèi)涵，學(xué)會(huì)主動(dòng)建模

學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維首要的是先學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)概念作為數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，其反映的是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)。在學(xué)生獲得大量感知的基礎(chǔ)上，教師還要讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)概念的本質(zhì)意義，準(zhǔn)確地把握概念的內(nèi)涵和外延，參與概念建構(gòu)的過(guò)程。教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯思維方法全面、深入地思考問(wèn)題，探究問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，以便科學(xué)、簡(jiǎn)便地解決問(wèn)題。

【例2】“三角形的概念”的教學(xué)片斷

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)在生活中觀察到的三角形與看到老師剛才畫(huà)三角形的過(guò)程，來(lái)說(shuō)一說(shuō)下列圖形是不是三角形，并說(shuō)出理由。

（1）出示圖6

學(xué)生一致認(rèn)為不是三角形。理由是三角形的三條邊應(yīng)是直的線段，但在這個(gè)圖形中有一條邊是彎曲的。

師：同學(xué)們認(rèn)為三角形是由三條線段圍成的圖形。（板書(shū)：三條線段圍成的圖形）

（2）出示圖7

學(xué)生集體認(rèn)為該圖形不是三角形，理由是三條線段頭尾沒(méi)有連接在一起。

師完整說(shuō)出三角形的概念：三條線段頭尾相連圍成的圖形。（板書(shū)：頭尾相連）

（3）出示圖8

學(xué)生判斷是三角形，理由是該圖符合三角形的概念特征。

（4）出示圖9

學(xué)生判定不是三角形。

師：“誰(shuí)能想辦法把它變成三角形嗎？”

生：“縮短或延長(zhǎng)其中一條線段，讓三條線段頭尾相連就可以了?！?/p>

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)化的一個(gè)過(guò)程。學(xué)生雖然不能完整描述三角形的概念，但是三角形的模型在他們的腦海中還是有一定印象的。此時(shí)教師關(guān)鍵在于如何引導(dǎo)學(xué)生讓其對(duì)三角形的模糊認(rèn)識(shí)提升到一個(gè)比較清晰的表象。因此，該環(huán)節(jié)當(dāng)中利用三次辨析來(lái)讓學(xué)生不斷完善三角形的概念，使之在腦子中形成深刻的表象，這是一個(gè)比較典型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，充分尊重了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)特別注意以下兩點(diǎn)：第一，數(shù)學(xué)抽象源于現(xiàn)實(shí)及人們的運(yùn)作；第二，數(shù)學(xué)抽象又高于現(xiàn)實(shí)，它是一種建構(gòu)的活動(dòng)。

三、同化順應(yīng)改造提升，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)化

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該生活化、活動(dòng)化，數(shù)學(xué)應(yīng)回歸生活是新課程實(shí)施的要求之一，但僅僅用“回歸”是難以概括生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系的。生活中獲得的各種經(jīng)歷、體驗(yàn)不一定能為抽象的數(shù)學(xué)概念提供適宜的基礎(chǔ)，甚至還會(huì)被各種因素所干擾。“生活數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間有著本質(zhì)區(qū)別。正如皮亞杰所說(shuō)，在此所發(fā)生的并不只是所謂的“同化”，而是如何將新的材料納入主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，從而使之獲得一定的意義，而主要是一個(gè)“順應(yīng)”的過(guò)程，即如何對(duì)主體已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)做出必要的調(diào)整或重建。

【例3】“三角形的穩(wěn)定性”的教學(xué)片斷

生1：“我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒(méi)有穩(wěn)定性！”

師：“是嗎？那就讓我們來(lái)體驗(yàn)一下三角形的穩(wěn)定性吧。請(qǐng)同桌之間相互拉一拉三角形的木架來(lái)進(jìn)行感知。”

突然一位學(xué)生拿著三根小棒釘成的三角形木架叫道：“我發(fā)現(xiàn)有的三角形沒(méi)有穩(wěn)定性！”

學(xué)生手上的木架是三角形的，三角形具有穩(wěn)定性，但學(xué)生手上的三角形木架卻不穩(wěn)定，為什么呢？

帶著思考和疑問(wèn)，我請(qǐng)教了經(jīng)驗(yàn)豐富的教師，并查閱了大量的資料后，發(fā)現(xiàn)造成以上現(xiàn)象大致原因有二：一是將幾何中“三角形”圖形與生活中的“三角形”物體混為一談；二是將生活中的“穩(wěn)固”與三角形的“穩(wěn)定性”混為一談。

為解決上述學(xué)生的認(rèn)知誤區(qū)，我讓學(xué)生在生活圖片中感悟穩(wěn)定性，在操作中初步體驗(yàn)三角形的穩(wěn)定性，并在思考中領(lǐng)悟穩(wěn)定性的本質(zhì)含義。

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，但在活動(dòng)化、生活化的同時(shí)，數(shù)學(xué)應(yīng)與生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，但在“生活化”“活動(dòng)化”的過(guò)程中，教師要喚醒學(xué)生與數(shù)學(xué)本質(zhì)相通的生活體驗(yàn)和知識(shí)，適時(shí)對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組、改造和提升，以防止數(shù)學(xué)內(nèi)涵的流失。數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)化、生活化的最終歸宿是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)化。

四、克服實(shí)際困難，切實(shí)發(fā)展空間觀念

視圖和投影是教材新增加的內(nèi)容，第一個(gè)學(xué)段要求學(xué)生根據(jù)具體事物的照片或直觀圖，辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體的形狀，第二個(gè)學(xué)段要求學(xué)生能從不同方向來(lái)觀察物體，知道從不同方向看到的物體形狀圖實(shí)際上是一個(gè)平面圖，即從水平方向?qū)ξ矬w所做的一個(gè)投影。

根據(jù)學(xué)生的實(shí)際來(lái)發(fā)展空間觀念，既包括從學(xué)生熟悉的事物入手，又包括對(duì)學(xué)生巧妙的幫助。

如圖10，從不同的方向觀察物體，辨認(rèn)從正面、側(cè)面和上面觀察得到的簡(jiǎn)單物體的形狀。

如圖11，找出李明、王宇、劉欣、趙爽對(duì)應(yīng)看到的圖像。

這一活動(dòng)涉及學(xué)生的空間想象能力和對(duì)幾何圖形的記憶，這是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要方式。教學(xué)時(shí)一般采用立體圖形作為觀察對(duì)象，以避免非數(shù)學(xué)的信息給學(xué)生的表達(dá)交流帶來(lái)不必要的障礙。教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生正面觀察沒(méi)有太大問(wèn)題，從側(cè)面觀察物體出現(xiàn)的問(wèn)題比較多。這是因?yàn)榻虒W(xué)時(shí)給學(xué)生觀察的物體都比較小，學(xué)生又不明白怎樣正對(duì)著一個(gè)面去觀察，結(jié)果一觀察就看到三個(gè)面，所以影響了學(xué)生的判斷。

通過(guò)從不同角度觀察茶壺，體會(huì)從不同的方向看同一物體，看到的結(jié)果可能不完全相同。這與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是一致的。結(jié)合調(diào)查結(jié)果分析：學(xué)生雖然沒(méi)有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過(guò)觀察物體的方法，但生活經(jīng)驗(yàn)使他們已具有初步的觀察能力，但從側(cè)面觀察能力較低，選擇從側(cè)面觀察會(huì)看到茶壺的圖片時(shí)，易產(chǎn)生困擾。

解決上述問(wèn)題有以下策略。

第一，指導(dǎo)基本觀察方法，實(shí)現(xiàn)觀察有效性

到底要讓學(xué)生看什么、怎樣看，往往是教師忽略的問(wèn)題，其實(shí)，這正是學(xué)生觀察失敗的根本原因。因此，要將掌握基本的觀察方法當(dāng)作首要要求達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中教師必須對(duì)學(xué)生的觀察方法進(jìn)行細(xì)致指導(dǎo)。如，在側(cè)面觀察物體時(shí)，學(xué)生往往不能有效地抓住物體的主要特征，此時(shí)可引導(dǎo)他們經(jīng)歷“先猜想，先有目的地觀察，再回想”。首先猜想從側(cè)面看到的茶壺是什么樣子的，一些部位的相對(duì)位置是什么樣子，比如茶壺把在茶壺的哪邊；然后實(shí)際進(jìn)行觀察；整體觀察后，再一個(gè)一個(gè)具體分析各部分的相對(duì)位置，并與剛才的猜想對(duì)比；最后閉上眼睛，回想觀察到的物體的樣子。我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要設(shè)計(jì)知識(shí)技能，還要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生“看不見(jiàn)、摸不著、想得到”的能力。

另外，觀察物體一般宜從觀察大的物體入手，觀察時(shí)要求眼睛與觀察物體保持同一高度。在學(xué)生積累一定的觀察經(jīng)驗(yàn)后，再指導(dǎo)學(xué)生去觀察小的物體。

第二，循序漸進(jìn)螺旋提升，避免觀察形式化

在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)預(yù)設(shè)時(shí)，易采用遞進(jìn)式活動(dòng)安排，引導(dǎo)學(xué)生逐步拓寬活動(dòng)內(nèi)容。

第一步，首先從正面觀察，看到了什么？找出相對(duì)應(yīng)的圖片。輪換座位后再次觀察，從正面看，茶壺的樣子是否發(fā)生了變化？再次找到對(duì)應(yīng)的圖片。第三次輪換座位后，從左面觀察，看到茶壺的什么？找出從左面觀察得到的圖片，隨即請(qǐng)左面的同學(xué)幫助判讀。第四次輪換座位后，分別從正面、后面、左面、右面觀察，看到的茶壺有什么不同？找出相對(duì)應(yīng)的茶壺圖（如圖11），分別請(qǐng)小組同學(xué)判斷。這樣設(shè)計(jì)可以及時(shí)地幫助學(xué)生糾正觀察中出現(xiàn)的問(wèn)題，同時(shí)使學(xué)生感受到，自己在左側(cè)觀察到的茶壺也就是左側(cè)同學(xué)觀察到的茶壺。

由于一組4名學(xué)生所看到的茶壺各不相同，學(xué)生之間判斷所選圖片是否正確存在一些困難，小組的交流和評(píng)價(jià)就出現(xiàn)了問(wèn)題。教學(xué)中，可采用同號(hào)互評(píng)的評(píng)價(jià)方式進(jìn)行評(píng)價(jià)。小組4名同學(xué)分別為1、2、3、4號(hào)，全班12個(gè)小組，同方向觀察的學(xué)生編號(hào)也相同，擺放茶壺時(shí)要求放置方向一致。在交流觀察所看到的茶壺時(shí)，由同號(hào)學(xué)生判斷。這樣設(shè)計(jì)在進(jìn)行觀察角色的轉(zhuǎn)換中，學(xué)生的空間觀念也將得到發(fā)展。

在教學(xué)中，教師要切實(shí)了解學(xué)生的實(shí)際困難和需要，給予具體的指導(dǎo)和幫助，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、想象和表達(dá)能力，切實(shí)發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（責(zé)編 金 鈴）