金奎

[摘 要]數(shù)位順序表串聯(lián)著整數(shù)學(xué)習(xí)的脈絡(luò)。以“干流”為喻，直觀形象地闡述數(shù)位順序表演變過程中，學(xué)生積累整數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)的始末。立足教材的分析與對(duì)比，捕捉到在數(shù)位順序表、計(jì)數(shù)器、輔助圖的多次無縫鏈接中，學(xué)生經(jīng)歷學(xué)表、借表、補(bǔ)縫、隱表、無表的壓縮與釋放。最終，整數(shù)學(xué)習(xí)干流中的經(jīng)驗(yàn)不斷豐盈，數(shù)位表演變價(jià)值不斷突顯，知識(shí)結(jié)構(gòu)逐步建立牢固。

[關(guān)鍵詞]逆覓 經(jīng)驗(yàn)干流 數(shù)位表 入?？?源頭

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2015）11-017

干流指什么？在一個(gè)水系中，直接流入海洋或內(nèi)陸湖泊的河流可稱干流，流入干流的河流叫做支流。加以引申，“數(shù)”經(jīng)驗(yàn)干流則是指直接影響數(shù)概念建立中各階段的主體經(jīng)驗(yàn)，其間眾多支流可稱為支經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而形成與河流相似的經(jīng)驗(yàn)流。

整數(shù)是學(xué)生能親手觸摸的數(shù)，認(rèn)識(shí)、大小、數(shù)位、計(jì)數(shù)、位數(shù)、取值等眾多知識(shí)，都包含在壓縮模型——數(shù)位順序表中，決定它成為整數(shù)認(rèn)識(shí)的經(jīng)驗(yàn)干流。（如下圖）

由圖可見：大數(shù)認(rèn)識(shí)之前，學(xué)生經(jīng)歷著長時(shí)間整數(shù)的浸潤，數(shù)位順序表串聯(lián)著整數(shù)學(xué)習(xí)的脈絡(luò)。其間目睹著經(jīng)驗(yàn)干流的擴(kuò)展與壯大，當(dāng)經(jīng)驗(yàn)集聚已像洪峰一樣隨時(shí)會(huì)“決堤而出”時(shí)，分級(jí)線成為入海口，如何平穩(wěn)入海？數(shù)位順序表經(jīng)歷了怎樣的壓縮與釋放？不妨逆尋“表”的演變，探究其教學(xué)價(jià)值。

干流的入?？谌绾涡纬桑?/p>

涓涓細(xì)流，匯成大海，入海的悲壯誰來識(shí)？

四年級(jí)上冊(cè)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)暫告一段落的節(jié)點(diǎn)。其間數(shù)位順序表在經(jīng)歷了“提取、抽象、壓縮”后在此處悄然隱退，釋放為淡淡的“印痕”——“分級(jí)線”，成為認(rèn)識(shí)大數(shù)、理解大數(shù)、比較大數(shù)的核心線索和重要手段，并悄然入海。

一、學(xué)表→借表

1.四位一級(jí)的整體性認(rèn)知

“萬以上數(shù)的認(rèn)識(shí)”延續(xù)原有用計(jì)數(shù)器遷移進(jìn)率的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步完善數(shù)位順序表，第一次明確概括了計(jì)數(shù)單位、數(shù)級(jí)、數(shù)位的概念，教學(xué)中可以讓學(xué)生讀一讀、填一填加深對(duì)表的認(rèn)知與記憶，使學(xué)生掌握個(gè)級(jí)包括個(gè)位、十位、百位、千位，萬級(jí)包括萬位、十萬位、百萬位、千萬位，以此類推億級(jí)的各個(gè)數(shù)位，從整體上認(rèn)知“四位一級(jí)”的有序性，并體會(huì)數(shù)的無窮大。

2.關(guān)鍵數(shù)位的占領(lǐng)性記憶

當(dāng)學(xué)生已經(jīng)熟練掌握基本知識(shí)后，可說一說：從右邊起，第五位是什么位？第九位是什么位？適時(shí)點(diǎn)撥：記住從右邊起第五位是萬位，第九位是億位。

萬位和億位作為兩個(gè)“戰(zhàn)略高地”，既是各級(jí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是充當(dāng)了分級(jí)線演變進(jìn)程中 “拐杖”的角色，數(shù)的讀法、寫法都將借數(shù)位順序表進(jìn)行學(xué)習(xí)，教師需通過點(diǎn)、面結(jié)合的方式，引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)操練。有了對(duì)數(shù)級(jí)的扎實(shí)掌握，數(shù)位表與分級(jí)線可共同出示：

兩級(jí)的數(shù)怎么讀？讀的時(shí)候腦中浮現(xiàn)的是什么？成功的學(xué)習(xí)往往是前經(jīng)驗(yàn)的提取。在“表”與“線”的聯(lián)合中，首先提取的是萬以內(nèi)數(shù)的讀寫法，為萬級(jí)的讀寫提供經(jīng)驗(yàn)；其次提取的是回想數(shù)級(jí)，運(yùn)用分級(jí)線加上“萬”字或把分級(jí)線當(dāng)作“萬”字寫出萬級(jí)上的數(shù)字。至于零的讀法與補(bǔ)位，都與“四位一級(jí)”相關(guān)，更加說明了數(shù)位順序表的現(xiàn)實(shí)意義。

3.分級(jí)線的隙中補(bǔ)縫

以上兩圖中的數(shù)位順序表外形更為簡單，但可能會(huì)打亂學(xué)生剛剛建立起來的表的具象，為了及時(shí)彌補(bǔ)，可跟進(jìn)以下練習(xí)：

學(xué)生借助數(shù)位表中的數(shù)級(jí)直接在表下用虛線劃分各級(jí)，充分感知分級(jí)線與表中數(shù)級(jí)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識(shí)與讀法之間的縫隙得到填補(bǔ)；表與線的柔和處理使“流經(jīng)之地毫無堵塞，順利暢通”，讓更多的學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)前后知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)有意識(shí)把控演變經(jīng)驗(yàn)。

二、有表→隱表

教材從完整表到簡單表，步子穩(wěn)健，并以表和分級(jí)線同時(shí)呈現(xiàn)的方式使學(xué)生能夠在顯與隱的交互中掌握讀寫方法，但這并不是教學(xué)所要達(dá)到的最終目標(biāo)，事實(shí)上數(shù)位表的隱形就是分級(jí)線，所以“有表有線”必將行進(jìn)為“無表有線”。（如下表）

這些讀寫的練習(xí)都遵循由表到隱表的思路。讀數(shù)時(shí)，借助“萬”字定乾坤；寫數(shù)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生先畫分級(jí)線再寫，發(fā)揮出“表”的作用。

三、強(qiáng)化→弱視

分級(jí)線不斷強(qiáng)化，數(shù)位表漸漸隱去，讀數(shù)和寫數(shù)有了更簡潔的“眼見載體”。每見到讀數(shù)或?qū)憯?shù)，學(xué)生腦中會(huì)一下子跳出分級(jí)線，說明分級(jí)線已真正成為數(shù)位表的代言。盡管億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)（左下圖）也還是從表入手進(jìn)化為分級(jí)線，但事實(shí)上學(xué)生已經(jīng)越過了“表”的經(jīng)驗(yàn)，完全可以采用自學(xué)的方式進(jìn)行。

讀數(shù)中學(xué)生可以自主表示分級(jí)，更重要的是“，”比虛線更為簡潔，形式上更接近無線。在讀數(shù)與寫數(shù)的混合練習(xí)中（如右上圖），教材中沒有任何分級(jí)的提示，就是讓學(xué)生根據(jù)自身的能力選擇合理的方式，這種強(qiáng)化與弱視并行的 “寬容”充分關(guān)注了不同的學(xué)生渡過“洪峰”的時(shí)差。

四、有形→無形

無論是“表”或是“線”，都是對(duì)整數(shù)認(rèn)識(shí)的有形支撐，吻合學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。當(dāng)線的刺激由強(qiáng)變得越來越弱時(shí)，更多的學(xué)生也許會(huì)用心中的符號(hào)代替線，如下例取近似數(shù)時(shí)常常會(huì)在千位加“點(diǎn)”——借萬位找千位，那么億以上數(shù)的改寫或省略則借億位找到千萬位，這已經(jīng)是分級(jí)線的“變形”，也是占領(lǐng)性記憶的用武之地。能想到這樣加“點(diǎn)”，其實(shí)學(xué)生已經(jīng)無數(shù)次地閃現(xiàn)過“無線”的念頭，甚至有的已用腦中“留空”或筆下“留空”的方式直接研究了。

數(shù)位順序表這一“干流”憑借分級(jí)線的強(qiáng)與弱、有與無渡過洪峰般的經(jīng)驗(yàn)涌動(dòng)，實(shí)現(xiàn)有機(jī)提升。但這一路并不艱辛與驚險(xiǎn)，“線”，無需做出力挽狂攬的壯舉便出海，這說明原有經(jīng)驗(yàn)對(duì)大數(shù)認(rèn)識(shí)具有較強(qiáng)的“保駕”之力。不妨逆流而上，尋覓干流的途徑與源頭。

支流的匯入為哪般？

干流中流淌的經(jīng)驗(yàn)來自于眾多支流的匯入，學(xué)生的方法、能力都隨著匯入更加豐富。如二年級(jí)下冊(cè)的“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”分兩部分進(jìn)行，一是1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，二是10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，但兩個(gè)階段不僅僅是內(nèi)容的承接，更重要的是經(jīng)驗(yàn)的歷練、方法的選取：

不難看出，“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，通過立體、面、小棒等引出計(jì)數(shù)器中的千位；在此基礎(chǔ)上“10000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”則把計(jì)數(shù)器抽象為大數(shù)認(rèn)識(shí)前最完整的數(shù)位順序表，并進(jìn)化為簡易的數(shù)位表進(jìn)行寫數(shù)教學(xué)，這與大數(shù)教學(xué)完全一致，“100以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)”也是如此?？梢娪?jì)數(shù)器是數(shù)位順序表最接近的數(shù)學(xué)實(shí)物圖，無論哪個(gè)階段，它將成為學(xué)生理解數(shù)的組成、讀寫等知識(shí)的最重要載體。

干流的源頭在哪里？

計(jì)數(shù)器給了整數(shù)認(rèn)識(shí)強(qiáng)大的直觀支撐與理解，學(xué)生既可以把具象的數(shù)逐步抽象成珠子，又可借眼見的珠子釋放大量生活實(shí)物，那么計(jì)數(shù)器是什么時(shí)候引入教學(xué)的？干流的真正源頭在哪里？

1.計(jì)數(shù)器首次出現(xiàn)的輕巧

計(jì)數(shù)器在一年級(jí)上冊(cè)“11～20數(shù)的讀寫”一課第一次正式出現(xiàn)，并做到了三對(duì)應(yīng)（左下圖）。一是借助熟知的小棒生活實(shí)物圖輕巧地引出計(jì)數(shù)器這一學(xué)具實(shí)物圖，學(xué)生能夠感悟十位、個(gè)位與之一一對(duì)應(yīng)，明白十根小棒只用十位上一顆珠子即可替代的計(jì)數(shù)原理；二是數(shù)位與數(shù)的抽象圖，對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)器十位和個(gè)位的珠子圖，使“數(shù)”可在具象與抽象之間自由穿越；三是文字表述與各輔助圖遙相呼應(yīng)，學(xué)生可以根據(jù)“圖經(jīng)驗(yàn)”初步感知數(shù)位順序與數(shù)的讀寫法，這也正是以后學(xué)習(xí)更大數(shù)的策略與方式。為了突出計(jì)數(shù)器對(duì)于數(shù)認(rèn)識(shí)的作用，教材（右下圖）加強(qiáng)了計(jì)數(shù)器“展開式”與“壓縮式”的對(duì)比練習(xí)，突破十位上一顆珠子的“事實(shí)數(shù)量”就是十塊方格的難點(diǎn)；計(jì)數(shù)器畢竟只是數(shù)位表的過渡，因此第2題又據(jù)“表”建“位”，幫助學(xué)生讀數(shù)與寫數(shù)。

2.輔助圖多層次的豐羽

小棒不僅是生活實(shí)物也是學(xué)具實(shí)物，成為計(jì)數(shù)器的原形完全符和兒童理解數(shù)學(xué)的認(rèn)知規(guī)律。其實(shí)在零起點(diǎn)教學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)緊緊依靠這些輔助圖學(xué)習(xí)數(shù)了。

1～5的認(rèn)識(shí)突出了生活實(shí)物圖與學(xué)具實(shí)物圖（如小棒、算珠）等的結(jié)合，然后抽象為數(shù)學(xué)意義的點(diǎn)子圖，多種輔助使數(shù)學(xué)“有血有肉”。從順逆兩方面分析可以看出“6、7的認(rèn)識(shí)”成為數(shù)啟蒙認(rèn)識(shí)中的紐帶：“6”承接了1～5以“展開小棒根數(shù)”為主的呈現(xiàn)方式，但隱去了生活實(shí)物圖，而“7”首次以“折疊的幾根”去擺一擺，引導(dǎo)學(xué)生自己去創(chuàng)造“多少”，并把這一方式延續(xù)給8、9、10的認(rèn)識(shí)。因此，“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”整個(gè)過程已出現(xiàn)多層次數(shù)的認(rèn)識(shí)輔助手段，為計(jì)數(shù)器的產(chǎn)生、數(shù)位表的壯大、分級(jí)線的演變等積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和推理經(jīng)驗(yàn)，能讓學(xué)生在整數(shù)學(xué)習(xí)的“河道”里根據(jù)自身認(rèn)知水平去自由游弋。由此看來干流的源頭，就在步入認(rèn)識(shí)“1”的那一刻。

結(jié)語

當(dāng)我們從分級(jí)線這一入?？谀娓闪鞫?，找到源頭的那份期待越發(fā)迫切；當(dāng)我們順流而下，一路感受著各個(gè)階段中學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)日益深刻的那份喜悅：執(zhí)著中經(jīng)歷了從生活實(shí)物圖、學(xué)具實(shí)物圖，到數(shù)學(xué)實(shí)物圖、數(shù)學(xué)抽象圖等支流經(jīng)驗(yàn)的積累過程，逐步實(shí)現(xiàn)計(jì)數(shù)器與順序表的無縫對(duì)接；然而干流越來越寬廣，越來越充盈時(shí)，卻只化為一縷細(xì)線，縱身匯入數(shù)的大?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）