宋妮 張偉 楊曉峰 曹東興

（1.北京工業(yè)大學(xué)機電學(xué)院，北京 100124）（2.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系，太原 030051）

引言

畸形波（rogue waves）的研究最早源于海洋動力學(xué)，是一種目前尚無法解釋和預(yù)測的突然出現(xiàn)的大浪.其波高極大，波峰尖瘦，存在時間短，破壞力大，因此也被稱為奇異波、怪波、瞬間波、極端風(fēng)浪等［1-4］.近幾十年，越來越多的學(xué)者和工程人員開始研究畸形波，并在其它領(lǐng)域中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，如光學(xué)［5-9］、物質(zhì)波［10］、超流體［11］、等離子體和金融學(xué)［12］等.目前，畸形波的動力學(xué)特征大多采用非線性薛定諤方程（NLSE）來表征.自20世紀80年代以來，非線性薛定諤方程已經(jīng)成為非線性科學(xué)中一個重要的基本方程，如水動力學(xué)、等離子體物理、非線性量子場論、流體力學(xué)、非線性光學(xué)等.

光孤子作為一種信息載體，在過去幾十年里一直是人們研究的熱點課題之一.在理想情況下，光孤子在單模光纖中的傳輸行為可以由非線性薛定諤方程來精確地描述，可以傳播無限長的距離而又不會信息失真，具有很高的傳輸碼率.然而，穩(wěn)定傳輸是受脈沖能量限制的.而自相似脈沖可以很好地解決傳輸中脈沖的強度限制問題，它在高功率傳播時，脈沖形狀不改變，具有抵御光波分裂的能力［13］.最近，考慮到連續(xù)光束在緩變折射率平面波導(dǎo)中的傳輸，Ponomarenko和Afrawal給出了非均勻非線性放大器中的亮暗空間自相似波以及周期自相似波，并進行了具體分析［14］.隨后，通過一種變換法，更多形式的精確自相似解也已得出［15］.本文我們將在光波傳輸方程的基礎(chǔ)上研究非均勻緩變折射率平板波導(dǎo)放大器中的畸形波，并進一步討論畸形波的非線性動力學(xué)行為.

1 非均勻緩變折射率平板波導(dǎo)光波傳輸方程

在一個非均勻緩變折射率平板波導(dǎo)放大器中，考慮連續(xù)光波束的傳播，其折射率分布為

其中，前兩項表示折射率的線性部分，后一項表示波導(dǎo)放大器中的克爾非線性，I代表光強.為了方便，假定n1＞0，表示在低強度極限中，緩變波導(dǎo)作用為線性自散焦棱鏡.在此緩變波導(dǎo)中，光束傳播的非線性傳輸方程可以表示為［14］

其中，u為脈沖包絡(luò)的慢變振幅，g為增益函數(shù)，波數(shù)k0＝2πn0/λ，λ為光束的波長.

引入歸一化變換

其中為橫向特征長度為衍射長度.

方程（2）歸一化后可寫成下面的無量綱形式

其中σ＝±1，式中“±”分別代表波導(dǎo)中的自聚焦或自散焦非線性.

2 相似變換和畸形波解

為了得到方程（4）的畸形波，引入相似變換［16］

這里，UR（X，Z），UI（X，Z）和相位 φ（X，Z）都是X，Z的實函數(shù).將方程（5）代入到方程（4）中，得到如下耦合的偏微分方程

對于實函數(shù)UR（X，Z），UI（X，Z）和 φ（X，Z），引入新的變量函數(shù)來求解上述方程組

其中，δ是一個常數(shù).

將方程（7）代入方程（6），有

簡化方程（8），得到如下方程組

由方程（9a），不妨假設(shè)

其中α（Z），β（Z）是關(guān)于Z的自由函數(shù).將其代入到方程（9b-9c），得到

其中b，d是任意常數(shù).

若方程（9e-9f）滿足以下的約束關(guān)系

時，可以簡化為

不妨假設(shè)σ＝δ＝1，利用文獻［17-18］中的方法，得到方程（4）的一階有理函數(shù)形式的畸形波解

其中R1（η，τ）＝1+2η2+4τ2.

結(jié)合方程（11b）和（12），可以求得

從而方程（4）的畸形波解可以表示為

3 畸形波的數(shù)值模擬分析

在方程（16）中，α（Z）和 β（Z）是兩個自由函數(shù).我們可以通過選取這兩個函數(shù)的不同表達式來描述畸形波的非線性動力學(xué)行為.

若 α（Z）為常數(shù)，β（Z）為多項式函數(shù).不妨假設(shè) α（Z）＝1，β（Z）＝0.1Z，將其代入到方程（16）中，可以得到如圖1所示的單畸形波和其等高線圖.從圖1（a）中可以觀察到畸形波的形狀類似于單Dromion形，其最大幅值為2.1.圖（b）是圖（a）的等高線圖，圖中的中心表示畸形波的幅值達到最大值時的位置，即Z＝0，X＝0.從圖中也可以看出畸形波具有突然出現(xiàn)，接著又消失得無影無蹤的特點.

圖1 畸形波和等高線圖Fig.1 The rogue waves and the contourcolor plots

保持α（Z）不變，依次取β（Z）＝0.1Z2，β（Z）＝0.1Z3，將其代入到方程（16）中，同樣可以得到畸形波和其等高線圖.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)畸形波的波形圖和圖1（a）類似，但其等高線圖不同，如圖2所示.圖2（a）為β（Z）＝0.1Z2時的等高線圖，圖2（b）為β（Z）＝0.1Z3時的等高線圖.圖中可以看出，在Z＝0，X＝0時，畸形波的幅值都達到了最大值.

圖2 畸形波的等高線圖Fig.2 The contour color plots of the rogue waves

若α（Z）和 β（Z）均為三角函數(shù)，不妨假設(shè)α（Z）＝0.8cos（Z），β（Z）＝cos（Z）.將其代入到方程（16）中，可以得到如圖3（a）所示的單畸形波，其最大幅值為11.1643.和圖1（a）的畸形波相比，波形圖不同，得到的最大幅值也不同.當(dāng)Z＝0時，圖3（b）所示為圖3（a）的剖面圖.從圖中可以觀察到，畸形波的幅值在X＝-1.26時達到最大值.和圖1（b）相比較，畸形波的幅值達到最大值時的位置發(fā)生了變化.由此可以看出，自由函數(shù)的選擇不僅對畸形波的波形有影響，對其最大幅值也有影響.

圖3 畸形波和剖面圖Fig.3 The rogue waves and the sectional views

若取 α（Z）＝0.9cos（0.3Z），β（Z）＝0.1Z，將其代入到方程（16）中，可以得到如圖4（a）所示的單畸形波.由其等高線圖可以觀察出，在Z＝0，X＝0時，畸形波的幅值達到了最大值，最大幅值為12.1674；若取 α（Z）＝sec h（0.2Z2），β（Z）＝cos（0.1Z），將其代入到方程（16）中，可以得到如圖4（b）所示的單畸形波.由其等高線圖可以觀察出，在Z＝0，X＝-1時，畸形波的幅值達到了最大值，最大幅值為34.1615.這種情況下，自由函數(shù)對畸形波的最大幅值和波形圖影響較大.

圖4 畸形波圖Fig.4 The rogue waves propagation

4 結(jié)論

本文以緩變波導(dǎo)中光束傳播的非線性傳輸方程為基礎(chǔ)，研究了非均勻緩變折射率平板波導(dǎo)放大器中畸形波的非線性動力學(xué)性質(zhì).通過相似變換和直接假設(shè)，得到了一階有理函數(shù)形式的畸形波解，并且針對不同類型自由函數(shù)的表達式，通過數(shù)值模擬得到了不同畸形波的波形圖.需要注意的是，并非所有的自由函數(shù)α（Z）和β（Z）對其進行取值時都存在畸形波.進一步地，可以求得二階有理函數(shù)形式的畸形波解，并對其進行非線性動力學(xué)分析.這些結(jié)果對研究光纖中的畸形波具有一定的理論意義.

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