張 輝，李應(yīng)岐，敬 斌，吳聰偉

(第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

談二重積分的計(jì)算方法

張 輝，李應(yīng)岐，敬 斌，吳聰偉

(第二炮兵工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710025)

介紹了計(jì)算直角坐標(biāo)的二重積分的五種方法，給出相應(yīng)的求解思路，并輔以典型例題，旨在使學(xué)生對(duì)二重積分的計(jì)算有更深地理解和掌握.

二重積分；對(duì)稱(chēng)性；第二類(lèi)曲線積分；定積分

0 引言

二重積分是高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)的重要內(nèi)容，如何計(jì)算二重積分是學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).教材[1]132-153主要介紹了計(jì)算直角坐標(biāo)的二重積分的三種方法：化為二次積分、化為極坐標(biāo)的二重積分和換元法.為使學(xué)生能夠深刻理解二重積分，下面將再介紹計(jì)算直角坐標(biāo)的二重積分的五種方法，給出相應(yīng)的求解思路，并輔以典型例題供參考學(xué)習(xí)，望初學(xué)者靈活使用，達(dá)到事半功倍、舉一反三的效果.

為了確保二重積分的存在性，我們假設(shè)被積函數(shù)均是連續(xù)或分塊連續(xù).

1 利用對(duì)稱(chēng)性和奇偶性

同時(shí)利用積分區(qū)域D的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)f(x,y)的奇偶性可簡(jiǎn)化某類(lèi)二重積分的計(jì)算.

Ⅰ. 若D關(guān)于y軸(或x軸)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于x(或y)為奇函數(shù)時(shí)，

(x,y)dxdy=0

當(dāng)f(x,y)關(guān)于x(或y)為偶函數(shù)時(shí)，

其中D1為D中位于y軸(或x軸)一側(cè)的部分區(qū)域.

Ⅱ. 若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)f(x,y)關(guān)于x、y為奇函數(shù)時(shí)，

(x,y)dxdy=0

當(dāng)f(x,y)關(guān)于x、y為偶函數(shù)時(shí)，

其中D2為D中位于y軸(或x軸)一側(cè)的部分區(qū)域.

2 利用積分區(qū)域的輪換對(duì)稱(chēng)性

若積分區(qū)域D具有輪換對(duì)稱(chēng)性，即?(x,y)∈D，?(y,x)∈D，則

特別地，當(dāng)F(x,y)=f(x,y)+f(y,x)時(shí)，則有

此時(shí)，當(dāng)f(y,x)=-f(x,y)時(shí)，

(x,y)dxdy=0

當(dāng)f(y,x)=f(x,y)時(shí)，

其中D3為D中位于直線y=x一側(cè)的部分區(qū)域.

值得注意的是，對(duì)于不具有對(duì)稱(chēng)的區(qū)域D，可以試著將其分割為若干個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)域，再分別利用對(duì)稱(chēng)性則峰回路轉(zhuǎn)，迎刃而解.

解 由于mxsiny關(guān)于x為奇函數(shù)，且D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則有

注意到函數(shù)kx2+ly2關(guān)于y為偶函數(shù)，若把積分區(qū)域D擴(kuò)展為整個(gè)圓面D1：x2+y2R2，則有

再由D1的輪換對(duì)稱(chēng)性知，

故有

3 利用平面圖形的形心

,

即

,

解 由于2xesiny關(guān)于x為奇函數(shù)，且D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即有

·πR2=πaR2

故有I=πaR2.

4 化為第二類(lèi)曲線積分

若積分區(qū)域D由分片光滑的閉曲線L所圍成，被積函數(shù)f(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

(x,y)，k1+k2+k3≠0

則有[2]101-106

其中L是D的正向邊界曲面.

5 元素法

解 任取一點(diǎn)(x,y,z)∈Ω，記該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為r，選取r作為積分變量，則積分區(qū)間為[0,R].任取[r,r+dr]?[0,R]，以半徑為r的圓周作為底邊、dr為高的矩形的面積作為面積元素，則dσ=2πrdr.故有：

如何學(xué)好二重積分及其計(jì)算方法，這是初學(xué)者對(duì)于多元函數(shù)積分學(xué)首先要面對(duì)的問(wèn)題.要從簡(jiǎn)單、基礎(chǔ)的一元函數(shù)積分學(xué)轉(zhuǎn)到對(duì)高度抽象、復(fù)雜的多元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)中確實(shí)有一定的難度，但似乎越難的學(xué)科越具有其獨(dú)特的魅力，使你不斷地掏出心思去學(xué)它、懂它、理解它、體會(huì)它，從而真正感到它內(nèi)在的美.若能以“人一能之己十之，人十能之己百之”的精神去投入，就會(huì)取得“雖愚必明，雖柔必強(qiáng)”的效果.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2] 喻德生. 曲線積分在二重積分中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2001,17(3).

[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[責(zé)任編輯 迎客松]

On Calculation of Double Integrals

ZHANG Hui, LI Yingqi, JING Bin, WU Congwei

(SchoolofScience,theSecondArtilleryEngineeringUniversity,Xi'an710025,China)

Five methods about the double integrals are studied and the relevant examples are solved, which helps the deep understanding.

double integrals; symmetry; line integrals of the second type; definite integrals

2014-06-15

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：61132008)；陜西省教育廳科研計(jì)劃項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：2013JK1098)

張 輝(1982-)，男，河南新鄉(xiāng)人，第二炮兵工程大學(xué)講師，主要從事差分方程概周期解研究。

1671-8127(2015)02-0005-03

O172.2

A