楊紀(jì)華，李艷秋

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000；2.南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210009)

Mackey-Glass時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性與混沌控制

楊紀(jì)華1，李艷秋2

(1.寧夏師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，寧夏 固原 756000；2.南京工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210009)

研究了時滯對Mackey-Glass系統(tǒng)動力學(xué)的行為影響和混沌控制. 首先，時滯反饋控制不能使系統(tǒng)的零平衡點控制為穩(wěn)定的. 對于非零平衡點，從系統(tǒng)線性化方程的特征方程根的分布入手，分別研究了具有單時滯和雙時滯系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性. 發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)中的時滯經(jīng)過一系列臨界值時，系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支. 其次，應(yīng)用時滯反饋控制方法，選擇合適的反饋增益和時滯使系統(tǒng)在不穩(wěn)定非零平衡點附近出現(xiàn)周期軌. 最后，通過數(shù)值模擬檢驗了理論結(jié)果.

穩(wěn)定性；Hopf分支；混沌吸引子；混沌控制；周期軌

考慮Mackey-Glass模型[3]

該系統(tǒng)最初是用來描述白細(xì)胞繁殖的模型，后來成為混沌理論中超混沌系統(tǒng)的典型代表，其中x(t)表示血液循環(huán)中成熟細(xì)胞的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，τ是在骨髓中產(chǎn)生未成熟細(xì)胞和在血液中釋放成熟細(xì)胞的時滯參數(shù)，a為系統(tǒng)的反饋率，n是正常數(shù).如需要其詳細(xì)的生物學(xué)意義，請參考文獻[3-6]. 在文獻[7]中利用中心流形定理和規(guī)范型理論討論了離散時滯Mackey-Glass系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)，并研究了當(dāng)參數(shù)經(jīng)過一系列臨界值時Neimark-Sacker 分岔的穩(wěn)定性與方向.在文獻[8]中，作者對于二維時滯微分方程進行了研究，并分別通過單向和雙向耦合實現(xiàn)了混沌同步. 本文應(yīng)用時滯反饋控制方法研究具有雙時滯的Mackey-Glass模型

(1)

其中k為反饋增益，τ2是時滯. 本文中a>1，n>0，k>0.

1 平衡點的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

λ+1+k-ae-λτ1-ke-λτ2=0.

(2)

定理1.1 對任意的k和τ2，系統(tǒng)(1)的平衡點x0=0都是不穩(wěn)定的.

證明λ=u+iv(v>0)為方程(2)的根的充分必要條件是

(3)

顯然v=0是方程組(3)中第二個方程的根. 令

F(u)=u+1-ae-uτ1+k(1-e-uτ2)，

可得

F(0)=1-a<0，F(xiàn)(a)=1+a(1-e-aτ1)+k(1-e-aτ2)>0.

由介值定理，存在u0∈(0，a)使得F(u0)=0，即方程(2)至少有一個具有正實部的根. 因此系統(tǒng)(1)的平衡點x0是不穩(wěn)定的. 定理得證.

下面僅討論系統(tǒng)(1)在平衡點x1處的情形，點x2處可類似論證.系統(tǒng)(1)在平衡點x1處的特征方程為

φ(λ)=λ+1+k-be-λτ1-ke-λτ2=0，

(4)

引理1.1 當(dāng)τ1=τ2=0時，方程(4)的所有根具有負(fù)實部.

下面我們分兩種情形論證引理1.1的結(jié)論.

第一種情形：τ2=0.

此時，特征方程(4)變?yōu)?/p>

ψ(λ)=λ+1-be-λτ1=0.

(5)

(6)

證明λ=iβ(β>0)是方程(5)的根當(dāng)且僅當(dāng)β滿足

從而可得

(7)

證明 對方程(5)兩端同時關(guān)于τ1求導(dǎo)得

所以

證明 由引理1.2可得結(jié)論(ⅰ)正確. 由引理1.3，當(dāng)τ1∈[τ1，0，+∞)時，特征方程(5)至少有一對具有嚴(yán)格正實部的根，故當(dāng)τ1∈[0，τ1，0)時，系統(tǒng)(1)的零平衡點是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ1∈[τ1，0，+∞)時，系統(tǒng)(1)的零平衡點是不穩(wěn)定的. 由文獻[10]中關(guān)于泛函微分方程的Hopf分支定理可得結(jié)論(ⅱ)成立.

第二種情形：τ2≠0.

為方便起見，記

g(ω)=b2+ω2+2k+1-2b(1+k)cosτ2ω+2ωbsinτ2ω.

(8)

證明 設(shè)iω(ω>0)是方程(4)的根，則

(9)

由此

b2+ω2+2k+1-2b(1+k)cosτ1ω+2ωbsinτ1ω=0.

(10)

記

引理1.5 如果ω0τ1cosω0τ2，0+(1+τ1+kτ1)sinω0τ2，0≠0，則

證明 方程(4)兩端同時關(guān)于τ2求導(dǎo)得

所以

其中

因為ω0τ1cosω0τ2，0+(1+τ1+kτ1)sinω0τ2，0≠0，所以

由本文引理1.2至引理1.5和文獻[10]中第11章定理1.1，可以得到下面關(guān)于系統(tǒng)(1)的平衡點的穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性定理.

2 混沌控制分析

本小節(jié)討論怎樣選擇合適的控制參數(shù)k和τ2，使得系統(tǒng)(1)不穩(wěn)定的平衡點在其一個領(lǐng)域內(nèi)控制為周期解.

證明 對任意的正數(shù)r，定義Γ=Γ1∪Γ2，其中

3 數(shù)值模擬

例3.1 在系統(tǒng)(1)中取a=2，n=10，τ2=0，通過簡單計算可得τ1，0≈0.604 6. 根據(jù)定理1.2，當(dāng)τ1=0.3時，系統(tǒng)(1)的平衡點是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ1=0.6時，系統(tǒng)(1)經(jīng)歷了Hopf分支，如圖1所示；當(dāng)τ1=10時，系統(tǒng)(1)的平衡點是不穩(wěn)定的，且出現(xiàn)了混沌吸引子，如圖2所示.

圖1 當(dāng)τ2=0，τ1=0.6時，系統(tǒng)(1)經(jīng)歷了Hopf分支

圖2 當(dāng)τ2=0，τ1=10時，系統(tǒng)(1)出現(xiàn)了混沌吸引子

圖3 當(dāng)τ1=10，τ2=1.622 3，k=3時，系統(tǒng)(1)的平衡點x1附近出現(xiàn)了周期為2的周期解

4 結(jié)論

本文研究了時滯對Mackey-Glass系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響和混沌的控制. 首先，時滯反饋控制方法不能使系統(tǒng)的零平衡點控制為穩(wěn)定的. 對于非零平衡點，從對系統(tǒng)線性化方程的特征方程根的分布分析入手，分別研究了具有單時滯和雙時滯系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性. 發(fā)現(xiàn)當(dāng)系統(tǒng)中的時滯經(jīng)過一系列臨界值時，系統(tǒng)經(jīng)歷了Hopf分支. 其次，應(yīng)用時滯反饋控制方法，選擇合適的反饋增益和時滯使系統(tǒng)在不穩(wěn)定非零平衡點附近出現(xiàn)周期軌. 最后，通過數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果. 利用得到的基本定理，能很好地判斷此類模型平衡點的漸近穩(wěn)定性和周期軌的存在性．因此本文的研究結(jié)果具有一定的實際意義.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

Stability and chaotic control of Mackey-Glass time-delayed system

YANG Ji-hua1，LI Yan-qiu2

(1.Department of Mathematics and Computer Science，Ningxia Normal University，Guyuan 756000，China；2. College of Science，Nanjing University of Technology，Nanjing 210009，China)

It is investigated that the effect of delay on dynamic behavior and chaotic control of Mackey-Glass system. Firstly，we show that delayed feedback control cannot stabilize the origin. For non-zero equilibrium，the linear stabilities with one delay and two delays are respectively investigated by analyzing the distribution of the roots of associated characteristic equation.It is found that Hopf bifurcations exist when the delays pass through a sequence of critical values. Secondly，applying of delayed feedback control method，by designing appropriate feedback strength and delay，we show that the unstable equilibrium can be controlled to be stable bifurcating periodic solutions at the neighborhood of the equilibrium. Finally，some numerical simulations are carried out for supporting the analytic results.

stability；Hopf bifurcation；chaotic attractor；chaotic control；period orbit

1000-1832(2015)04-0030-06

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.007

2014-04-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(11361046，11301263)；寧夏自然科學(xué)基金資助項目(NZ13213)；寧夏高等學(xué)校科研項目(GX2014[222]17).

楊紀(jì)華(1983—)，男，講師，主要從事微分方程的穩(wěn)定性與分支研究.

O 175.13 [學(xué)科代碼] 110·44

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