☉福建省福州第三中學(xué) 林珍芳

拓展“活”教材 演繹“好”數(shù)學(xué)
——以“趙爽弦圖中的不等式性質(zhì)再探究”為例

☉福建省福州第三中學(xué) 林珍芳

2014年12月，筆者有幸參加了中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)組織的全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示和培訓(xùn)活動(dòng)，進(jìn)行了課題為“趙爽弦圖中的不等式性質(zhì)的再探究”的教學(xué)展示.賽后，筆者對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了回顧與反思.

教材是連接課程方案與教學(xué)實(shí)踐的樞紐，是教學(xué)的載體.新課程倡導(dǎo)教師“用教材”而不是簡(jiǎn)單的“教教材”，古人云“書不盡言，言不盡意”，所以教師需要通過對(duì)教材“再加工”，將簡(jiǎn)單、靜態(tài)、固化的教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)為豐富、生動(dòng)、開放的“課本劇”，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)、主動(dòng)探究，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì).基于此，筆者設(shè)計(jì)了高三復(fù)習(xí)探究課“趙爽弦圖中的不等式性質(zhì)的再探究”.本探究課是以趙爽弦圖為載體，以問題為線索，以TI-NspireCX-C CAS（圖形計(jì)算器）為手段，搭建探究平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、學(xué)會(huì)探究、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，真正活化教材，傳遞數(shù)學(xué)教學(xué)的正能量.

一、再現(xiàn)“弦圖”，喚醒知識(shí)

建構(gòu)主義教學(xué)理論認(rèn)為每一個(gè)知識(shí)都不是憑空生成的，必須有一定的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).“溫故知新”是教學(xué)永恒的規(guī)律.學(xué)生在初中時(shí)通過趙爽弦圖認(rèn)識(shí)了勾股定理，趙爽弦圖結(jié)構(gòu)精妙，內(nèi)涵豐富，是數(shù)與形完美統(tǒng)一的典范.在推導(dǎo)基本不等式時(shí)學(xué)生再次研究趙爽弦圖，一樣的圖形背景，不同的問題指向，從等量關(guān)系（勾股定理）到不等關(guān)系（基本不等式），從平面幾何到不等式的研究，是知識(shí)和思維的延續(xù)、拓展.

師：2002年8月國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這個(gè)大會(huì)頒發(fā)的菲爾茨獎(jiǎng)相當(dāng)于數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng).大會(huì)的會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民的熱情好客.

師：（如圖1、2）請(qǐng)同學(xué)們回憶一下以前借助趙爽弦圖主要研究了什么？

圖1

圖2

生1：趙爽弦圖是由兩個(gè)正方形和四個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成的.如果設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為c，直角三角形的兩條直角邊分別是a，b（a＞b），利用S大正=4S直角+S小正，得到c2=a2+b2，這就是勾股定理.

生2：除了等量關(guān)系，我們還利用了S大正≥4S直角，得到a2+b2≥2ab，經(jīng)過換元得到這就是基本不等式.

師：很好，同學(xué)們不僅記住了基本不等式的結(jié)論，而且對(duì)它的推導(dǎo)過程和轉(zhuǎn)化方法熟稔于心，為我們進(jìn)一步的研究奠定了扎實(shí)的基礎(chǔ).其實(shí)，趙爽弦圖的內(nèi)涵遠(yuǎn)不止這些，今天，我們一起來深入探究弦圖中蘊(yùn)含的其他有趣的不等關(guān)系.

教學(xué)斷想：美國(guó)教育家加涅認(rèn)為：教新知識(shí)之前，必須先激活學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間記憶中相關(guān)的原有知識(shí).公式本身就是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，它的生成、發(fā)展過程蘊(yùn)含著經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想和方法.趙爽弦圖的直觀再現(xiàn)，基本不等式的重新回顧，喚醒了學(xué)生對(duì)變與不變的關(guān)系、整體與局部的關(guān)系、等與不等的關(guān)系、一般與特殊的關(guān)系的感受，促使學(xué)生在直觀豐富的情境下感知公式的基本特征和形式，有效強(qiáng)化“抽象知識(shí)”和“幾何原型”之間的本質(zhì)聯(lián)系.

二、追問“弦圖”，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)

“問起于疑，疑源于思”.問題是引發(fā)學(xué)生思維和探索活動(dòng)的向?qū)?創(chuàng)設(shè)適度并有一定力度的問題是探索的前提，是驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力.新課程理念提倡將學(xué)習(xí)內(nèi)容以一個(gè)或多個(gè)具有較高思維價(jià)值的開放性問題呈現(xiàn)，教師要善于在學(xué)生理解知識(shí)的困惑處、思維的突破點(diǎn)設(shè)計(jì)有趣、有效的問題串，由淺入深、層層遞進(jìn)，充分揭示問題、知識(shí)、思想的內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在了解知識(shí)來龍去脈的同時(shí)，積極思考，勇于質(zhì)疑，不斷追問.

師：在趙爽弦圖中，四個(gè)小的直角三角形是重要的圖形元素，如果將四個(gè)小直角三角形各邊中點(diǎn)連接構(gòu)成一個(gè)正方形MNOH，那么此時(shí)正方形MNOH的面積是否與四個(gè)直角三角形的面積和也存在恒成立的關(guān)系？（如圖3）

圖3

圖4

生3：我用函數(shù)的方法研究這個(gè)問題，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a（a=10），直角三角形斜邊上的高的垂足為T，AT=x，由于中點(diǎn)正方形MNOH的面積為50cm2，四個(gè)直角三角形面積對(duì)應(yīng)的函數(shù)為在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖像（如圖4），當(dāng)0.7＜x＜9.8時(shí)，四個(gè)直角三角形面積和大于中點(diǎn)正方形MNOH的面積，當(dāng)0＜x＜0.7或9.8＜x＜10時(shí)，大小關(guān)系則相反，當(dāng)x=0.7或x=9.8時(shí)，它們面積相等，所以不存在恒成立的不等式.

生4：按照這個(gè)構(gòu)造方式，過四個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)引正方形ABCD各邊的垂線，那么四個(gè)垂足也構(gòu)成正方形MNOH，那么這樣構(gòu)成的正方形面積與四個(gè)直角三角形的面積的和大小關(guān)系又是如何？（如圖5）

圖5

圖6

圖7

生5：我通過圖形計(jì)算器的作圖功能和zeros命令（解方程），發(fā)現(xiàn)當(dāng)0.022625＜x＜9.97738時(shí)，四個(gè)直角三角形面積的和大于垂足正方形MNOH的面積，否則相反，所以它們不存在恒成立的不等關(guān)系.（如圖6，圖7）

師：很好！大家借助圖形計(jì)算器的模擬仿真功能作出函數(shù)的圖像，進(jìn)而探究問題.這是利用圖形計(jì)算器研究數(shù)學(xué)的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn).

趙爽弦圖蘊(yùn)含著勾股定理和基本不等式內(nèi)容體現(xiàn)了直角三角形直角邊a、b（a＞b）和斜邊c的關(guān)系.作為直角三角形的重要元素——斜邊上的中線和斜邊上的高線，能否探究出其中蘊(yùn)含著哪些不等關(guān)系？

生6：根據(jù)直角三角形中斜邊大于直角邊的性質(zhì)，在Rt△ABE中，過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，取AB中點(diǎn)M，連接ME，我發(fā)現(xiàn)EH≤ME，即h（如圖8）

生7：由直角三角形斜邊上的高的問題容易聯(lián)想到直角三角形的面積，即，則因?yàn)樗詢蛇吰椒降米筮叿肿臃帜竿詀2b2，得到

（其他學(xué)生嘖嘖稱奇）

（課堂上洋溢著陣陣贊許聲）

圖8

師：如果我們把生7、生8的結(jié)論稍作整理，就會(huì)得到美妙的不等關(guān)系，由可以寫成生8得到≤ab，由于a2+b2≥2ab，所以得到重要的不等式關(guān)系若把a(bǔ)2、b2看成兩個(gè)正數(shù)，就得到均值不等式鏈

上述的發(fā)現(xiàn)正是基于直角三角形中斜邊上的中線、斜邊上的高之間內(nèi)在的幾何不等關(guān)系，探究得到了趙爽弦圖中蘊(yùn)含的重要的不等關(guān)系——均值不等式鏈，看似平常卻奇絕，形數(shù)相映出新意.

教學(xué)斷想：在公式教學(xué)中不少教師只是滿足于將教材的結(jié)論和證明“依樣畫葫蘆”，淺嘗輒止，使得公式教學(xué)只是蜻蜓點(diǎn)水、盲目模仿、題海戰(zhàn)術(shù)，片面強(qiáng)調(diào)套用公式的技巧，熱衷于進(jìn)行解題訓(xùn)練，忽視公式的來源及其蘊(yùn)含的豐富的思想方法.教師通過對(duì)趙爽弦圖中幾何性質(zhì)的追問，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本質(zhì)問題深刻挖掘，領(lǐng)悟幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.從趙爽弦圖中直角三角形的直角邊、斜邊、斜邊上的中線、斜邊上的高的幾何關(guān)系中引申出基本不等式及其衍生結(jié)論，讓學(xué)生自由自在、靈活地思考，促進(jìn)學(xué)生在原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的自然過渡和傳承間的“春風(fēng)化雨，潤(rùn)物無(wú)聲.”

三、深探“弦圖”，跨界交匯

探究性學(xué)習(xí)的特征之一是教學(xué)過程的探索化.著名教育家喬治·波得亞曾說：“最好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是通過自己的發(fā)現(xiàn)獲得知識(shí)，而發(fā)現(xiàn)的過程即是探索的過程.”所以探究性教學(xué)的焦點(diǎn)應(yīng)放在知識(shí)的探索過程和獲得知識(shí)的方法上.課堂上師生借助TI-NspireCX-CCAS（圖形計(jì)算器）把靜態(tài)的數(shù)學(xué)現(xiàn)象演繹成動(dòng)態(tài)的探究過程，讓學(xué)生用眼觀察，動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，用腦思考，用心探索，就像一個(gè)小數(shù)學(xué)家一樣提出問題、分析問題、解決問題，在漸行漸遠(yuǎn)中體會(huì)數(shù)學(xué)多元關(guān)聯(lián)、動(dòng)態(tài)演變、數(shù)形相關(guān)、辯證轉(zhuǎn)化的特點(diǎn).

師：上述過程中，我們著重從平面幾何中線段的關(guān)系去挖掘和思考a、b的不等關(guān)系.如果我們用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究，那么能否有新的視角和新的手段來探究其中的不等關(guān)系呢？現(xiàn)在我們利用圖形計(jì)算器的動(dòng)畫功能，讓趙爽弦圖動(dòng)起來，通過觀察看到a、b在變化，c不變，那么a+ b的變化是否有什么規(guī)律？

生9：我發(fā)現(xiàn)，在變化過程中，a+b似乎有上界.

生10：用TI-NspireCX-CCAS（圖形計(jì)算器）模擬發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的軌跡是圓的四分之一.（如圖9）

師：生11看到了變化的“弦圖”中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)與∠EAB的變化相關(guān).所以引入角作變量，把a(bǔ)、b這兩個(gè)變量通過消元轉(zhuǎn)化為同一個(gè)角的問題，再利用三角函數(shù)求最值.這是一種用運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)思考和解決問題，實(shí)現(xiàn)了利用三角函數(shù)來研究不等式的轉(zhuǎn)化，超越了之前用平面幾何來研究不等關(guān)系的想法.

圖9

圖10

生12：（如圖10）從方程角度還可以看到a2+b2=c2是以原點(diǎn)為圓心，c為半徑的圓，由于a≥0，b≥0，所以（a，b）是圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).通過整體換元令a+b=t，則b=-a+t，問題轉(zhuǎn)化為直線與圓弧有交點(diǎn).當(dāng)直線與圓弧相切，易求得t=c或.則化簡(jiǎn)得（a+b）2≤ 2（a2+b2），即

師：生12的思路更靈活.他將勾股定理聯(lián)想到圓的方程，實(shí)現(xiàn)了不等式和解析幾何的跨界聯(lián)手，展示了數(shù)形結(jié)合思想的巧妙轉(zhuǎn)化.由開方得這也是一個(gè)著名的不等式，即為a、b的算術(shù)平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系.

師：看來大家都是好眼力呀！靜與動(dòng)，方與圓，不等式與三角函數(shù)、解析幾何在弦圖中有機(jī)交融，演繹著數(shù)學(xué)的精彩.只要大家勤思考，勤動(dòng)腦，就能發(fā)現(xiàn)許多隱藏在平凡圖形中的數(shù)學(xué)奧秘.

教學(xué)斷想：上述過程是通過搭建符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的腳手架，在學(xué)生親手操作、親歷體驗(yàn)過程中，在運(yùn)動(dòng)和變化的過程中進(jìn)行跨界聯(lián)想，多元交匯，從三角函數(shù)、解析幾何等角度觀察、分析和解決問題，不斷豐富知識(shí)探究過程的真切感和思考層次，使得學(xué)生對(duì)弦圖的探究能夠“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，從不同角度理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).正如富蘭克林說的那樣：告訴我，我會(huì)忘記；教給我，我可能記??；讓我參與，我才能學(xué)會(huì).這種感悟是深刻的，永恒的.

四、重構(gòu)“弦圖”，彰顯創(chuàng)意

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)知識(shí)內(nèi)化、思想熏陶、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)發(fā)展的過程.“數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的‘再創(chuàng)造’，這種‘再創(chuàng)造’并非機(jī)械地重復(fù)歷史中的‘原始創(chuàng)造’，而是根據(jù)自己的體驗(yàn)并用自己的思維方式重新去創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)”（數(shù)學(xué)教育家弗洛登塔爾語(yǔ)）.教學(xué)的意義在于學(xué)生探索的欲望、心智的覺醒、智慧的生長(zhǎng).葉瀾教授曾經(jīng)充滿詩(shī)情畫意地說過：“課堂應(yīng)該是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程.”教學(xué)中的預(yù)設(shè)與生成常常是相生相伴，教師應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)，善于傾聽，捕捉智慧，敏銳把握不期而至的生成性教學(xué)資源，讓從知識(shí)課堂走向智慧課堂，為學(xué)生智慧的生長(zhǎng)而教學(xué).

師：今天我們通過挖掘趙爽弦圖中的幾何性質(zhì)，用不同方法得到基本不等式鏈體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，展現(xiàn)趙爽弦圖的無(wú)限魅力.

（這時(shí)有學(xué)生舉手，示意要發(fā)言）

生13：趙爽弦圖是在正方形中構(gòu)造直角三角形，我思考能否在正三角形中構(gòu)造類似的“弦圖”來推導(dǎo)基本不等式，但我只是猜想，還沒想出證明的方法.

師：這個(gè)問題提的好，老師先前備課時(shí)還沒有想過這個(gè)問題，大家不妨一起來試試看.

生14：我們可以把之前利用面積的整體與部分的不等關(guān)系類比到正三角形（如圖11）.在正三角形中，S小三角形=

（獨(dú)特的視角、新穎的創(chuàng)意不僅贏得了陣陣掌聲，也掀起了更高的探究創(chuàng)造的高潮）

生15：我有新的想法.因?yàn)檎叫问翘厥獾牧庑?，所以我把弦圖的大正方形設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)夾角為α的菱形（如圖12，圖13），不知能否推導(dǎo)出基本不等式.

（頓時(shí)課堂上一片寂靜）

圖11

圖12

圖13

師：大家的想法都非常有創(chuàng)意，都超乎了老師的預(yù)設(shè).有道是“節(jié)外生枝處常有暗香來”，你們能抓住問題的本質(zhì)，運(yùn)用類比的方法設(shè)計(jì)“私人定制”的弦圖可喜可賀，你們的猜想是否正確，有待課后繼續(xù)研究.

教學(xué)斷想：數(shù)學(xué)課堂常常因?yàn)閯?dòng)態(tài)生成而活躍，師生因?yàn)閯?dòng)態(tài)生成而成長(zhǎng)，教學(xué)因?yàn)閯?dòng)態(tài)生成而充滿生命的律動(dòng).學(xué)生能夠運(yùn)用類比的方法猜想并重構(gòu)趙爽弦圖，在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，設(shè)計(jì)私人定制的“弦圖”，探索推導(dǎo)基本不等式的新途徑，是一種超越，是一種創(chuàng)意.雖然出乎意料之外，但又在情理之中，是難忘的一次不曾預(yù)約的精彩.

好的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)兼顧數(shù)學(xué)教育的知識(shí)取向與價(jià)值取向，將知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀影響融為一體.趙爽弦圖不僅具有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和人文價(jià)值，而且還具有深邃和廣泛的教學(xué)作用和意義.教師只有充分挖掘并優(yōu)化教材中的經(jīng)典內(nèi)容，這樣才能唱響數(shù)學(xué)課堂“好聲音”.

1.王躍輝，黃益全.高中數(shù)學(xué)人教課標(biāo)版“基本不等式”教材研讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（1-2）.

2.王岳.高三復(fù)習(xí)課“三角函數(shù)的值域與最值”的教與思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（11）.

3.偶偉國(guó).MPCK視角：“以“基本不等式”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（10）.F

注：本文是福建省電化教育館教育信息技術(shù)研究課題（閩電教館kt412）《基于T3的數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)型與優(yōu)化的研究》的成果.