唐 敏, 黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院, 杭州 310018)

關(guān)于平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)

唐 敏, 黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院, 杭州 310018)

首先證明拓?fù)涞葍r(jià)微分系統(tǒng)的兩個(gè)性質(zhì),分析了平面解析系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及其分類的局限性;其次給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的定義,并根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)對(duì)非退化平面解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類,結(jié)果表明平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能更好地刻畫系統(tǒng)的定性行為。這些結(jié)果推廣了平面解析系統(tǒng)奇點(diǎn)理論中的有關(guān)結(jié)論,對(duì)研究平面解析系統(tǒng)的相圖具有參考價(jià)值。

相圖; 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu); 定性結(jié)構(gòu); 分類

0 引 言

微分方程定性理論根據(jù)微分方程本身研究其軌道的全局分布情況,因此,在平面微分系統(tǒng)的定性研究中,確定系統(tǒng)的相圖的信息十分重要[1]。一個(gè)微分系統(tǒng)的相圖是指這個(gè)微分系統(tǒng)的(定向)軌道的集合[2]。一般地,通過一些有意義的軌道來表示相圖,并且對(duì)于正則軌道(即不是奇點(diǎn)的軌道),用一個(gè)箭頭來表示其方向[2]。對(duì)于一些特別簡(jiǎn)單的平面微分系統(tǒng)可以直接畫出其相圖,但絕大部分平面微分系統(tǒng)卻很難直接畫出相圖,因此,要畫出平面微分系統(tǒng)的相圖,一般先研究該系統(tǒng)局部相圖的結(jié)構(gòu),畫出局部相圖,然后構(gòu)造出整個(gè)系統(tǒng)的相圖。由于在系統(tǒng)的常點(diǎn)(即非奇點(diǎn))的軌道的結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)單的,而在系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近的軌道的結(jié)構(gòu)有可能十分復(fù)雜[2],因此,在研究平面微分系統(tǒng)的相圖時(shí),只需研究系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近軌道的結(jié)構(gòu)。正由于系統(tǒng)的奇點(diǎn)附近的軌道的結(jié)構(gòu)可能十分復(fù)雜,所以往往對(duì)原來的系統(tǒng)在奇點(diǎn)進(jìn)行某種形式的變換,把奇點(diǎn)分成有本質(zhì)區(qū)別的不同類型,這就是相圖的分類問題。目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中最常用的相圖分類方式是:拓?fù)涞葍r(jià)分類與拓?fù)涔曹椃诸怺3-4]。

本文首先證明拓?fù)涞葍r(jià)微分系統(tǒng)的兩個(gè)性質(zhì),并分析按照拓?fù)涞葍r(jià)分類微分系統(tǒng)是比較粗糙的,因?yàn)樗荒芎芎玫貐^(qū)分平面解析系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型,比如非退化平面線性微分系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)與焦點(diǎn)屬于同一個(gè)拓?fù)漕愋?但它們卻具有不同的動(dòng)力學(xué)行為。為了能更好地對(duì)微分系統(tǒng)進(jìn)行分類,需引進(jìn)其他的分類方法。文獻(xiàn)[5]研究了非退化平面線性微分系統(tǒng),認(rèn)為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與定性結(jié)構(gòu)是兩個(gè)不同的概念,但沒有給出定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義。目前國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)還沒有給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義。如果有軌道進(jìn)入奇點(diǎn),那么只能以螺旋形進(jìn)入或沿固定方向進(jìn)入。本文將根據(jù)平面解析系統(tǒng)的這個(gè)特征,給出平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義,并按照拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)分別對(duì)非退化平面解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類,并進(jìn)行分析。

1 平面系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

令

x=f(u,v),y=g(u,v)

(1)

(2)

b)T在G的每個(gè)點(diǎn)上是連續(xù)的;

則把T稱為uv平面到xy平面的拓?fù)渥鴺?biāo)變換。

定義1.2[4]稱T為uv平面到xy平面的正則坐標(biāo)變換,如果函數(shù)組f,g在G的每個(gè)點(diǎn)具有直到p≥1的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足

特別地,如果函數(shù)組f、g是Cp(或解析)類的,則稱相應(yīng)的正則映射是Ck(或解析)類的。

值得注意的是在平面微分系統(tǒng)的定性研究中,常用的極坐標(biāo)變換

x=rcosθ,y=rsinθ

在含原點(diǎn)的區(qū)域中不是一個(gè)拓?fù)渥儞Q。

Andronov等[4]指出一個(gè)區(qū)域或集合上的平面微分系統(tǒng)的定性性質(zhì)是指該系統(tǒng)的軌道、軌道的集合以及相圖在拓?fù)溆成湎卤３植蛔兊哪切┬再|(zhì),同時(shí)用間接的方法定義平面系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),即不去定義(實(shí)際上也難以定義)什么是一個(gè)平面微分系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),而是定義何時(shí)兩個(gè)平面微分系統(tǒng)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),由此可以對(duì)平面微分系統(tǒng)進(jìn)行分類。

定義1.3[4]給定兩個(gè)平面微分方程組

(3)

與

(4)

它們分別定義在平面區(qū)域G1與G2上。稱系統(tǒng)(3)與(4)的相圖分別在G1與G2上具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),如果存在G1到G2上的一個(gè)映射T,滿足下面的三個(gè)條件:

a)T是一個(gè)拓?fù)溆成?

b) 若G1中的兩個(gè)點(diǎn)位于系統(tǒng)(3)的同一軌道上,則它們?cè)赥下的象位于系統(tǒng)(4)的同一軌道上;

c) 若G2中的兩個(gè)點(diǎn)位于系統(tǒng)(4)的同一軌道上,則它們?cè)赥-1下的象位于系統(tǒng)(3)的同一軌道上。

滿足條件a)、b)和c)的一個(gè)映射稱為從系統(tǒng)(3)到系統(tǒng)(4)的保軌道映射。

把滿足定義1.3中的兩個(gè)微分系統(tǒng)(3)與(4)通常稱為是拓?fù)涞葍r(jià)的,并且拓?fù)溆成銽一般不能保持時(shí)間參數(shù)不變。如果T還保持時(shí)間參數(shù)不變,則稱兩個(gè)微分系統(tǒng)是拓?fù)涔曹椀腫2-3]。下面給出具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的兩個(gè)微分系統(tǒng)的一個(gè)性質(zhì)。

定理1.4 如果兩個(gè)微分系統(tǒng)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),則它們的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)及閉軌的個(gè)數(shù)是相同的。

證明:令φ(t,(x,y))與ψ(t,(x,y))分別為系統(tǒng)(3)與(4)生成的流。因?yàn)橄到y(tǒng)(3)與(4)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),所以存在單調(diào)的時(shí)間函數(shù)α(t,(x,y))使得

T°φ(t,(x,y))=ψ(α(t,(x,y)),T(x,y)),

其中,T°φ(t,(x,y))表示T與φ(t,(x,y))的復(fù)合[3]。若(x0,y0)是系統(tǒng)(3)的一個(gè)奇點(diǎn),則對(duì)任意的t∈R使得φ(t,(x0,y0))=(x0,y0),于是對(duì)任意的t∈R使得

T(x0,y0)=ψ(α(t,(x0,y0)),T(x0,y0))。

所以T(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的奇點(diǎn);反之,由于T是一個(gè)同胚映射,同理可證:若(x0,y0)是系統(tǒng)(4)的一個(gè)奇點(diǎn),則T-1(x0,y0)是系統(tǒng)(3)的奇點(diǎn)。故系統(tǒng)(3)與(4)的奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)是相同的。其次,如果φ(t,(x0,y0))是系統(tǒng)(3)的一條閉軌道,即存在一個(gè)實(shí)數(shù)τ>0使得

φ(τ,(x0,y0))=(x0,y0)。

從而

T°φ(τ,(x0,y0))=T(x0,y0)。

于是

ψ(α(τ,(x0,y0)),T(x0,y0))=

ψ(α(0,(x0,y0)),T(x0,y0)),

這表明存在t1=α(0,(x0,y0))及t2=α(τ,(x0,y0))使得

ψ(t2,T(x0,y0))=ψ(t1,T(x0,y0)),

綜上,系統(tǒng)(3)與(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)及閉軌個(gè)數(shù)相同。

另外,注意到定義1.3中的拓?fù)溆成銽并不要求保持兩個(gè)系統(tǒng)軌道的方向是一致的,但在文獻(xiàn)[2-3]中拓?fù)涞葍r(jià)還要求拓?fù)溆成銽保持兩個(gè)系統(tǒng)軌道的方向也是一致的?？赡艽嬖谶@樣的兩個(gè)系統(tǒng),保軌道映射能保證區(qū)域中的一部分軌道的方向一致,在剩下部分的區(qū)域中的軌道的方向是相反的。例如考察下面的兩個(gè)系統(tǒng)

(5)

(6)

其中G1=G2=R2。取恒等映射為保軌道映射T,則在單位圓外保持軌道的方向一致,而在單位圓內(nèi)軌道的方向相反,這里單位圓周上的點(diǎn)及原點(diǎn)為奇點(diǎn)。

然而當(dāng)系統(tǒng)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為有限時(shí),可以證明不會(huì)出現(xiàn)這種情形。

雖然定義1.3中的兩個(gè)微分系統(tǒng)的軌道一般都是光滑的(即具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),只要兩個(gè)系統(tǒng)的右端函數(shù)是連續(xù)的),但不能保證保軌道映射是光滑的。

定理1.5 考慮下面的兩個(gè)線性系統(tǒng)

(7)

與

(8)

則它們是拓?fù)涞葍r(jià)的,但保軌道映射T在奇點(diǎn)不可微。

證明:因?yàn)閠=0時(shí),式(7)過(x0,y0)的解為

熱浸鍍是一種用途極廣的金屬材料表面改性技術(shù)。它可顯著提高金屬材料表面的耐蝕性，提高耐高溫氣蝕，抗氧化或者耐磨性,還可使金屬制品表面均勻光潔，具有良好的裝飾作用[1]。關(guān)于熱浸鍍鋁,德國(guó)人在 1893年發(fā)表了論文，隨后人們相繼發(fā)明了多種鋼材熱浸鍍鋁工藝。1939年，美國(guó)阿姆科鋼鐵公司首先采用森吉米爾法實(shí)現(xiàn)了帶鋼連續(xù)熱鍍鋁硅合金的工業(yè)化生產(chǎn)。1952年，美國(guó)通用汽車公司又實(shí)現(xiàn)了熔融熔劑法熱浸鍍鋁的工業(yè)化生產(chǎn)，到 60年代，熱浸鋁鋼材的生產(chǎn)與應(yīng)用幾乎遍及所有工業(yè)發(fā)達(dá)的國(guó)家。由于鍍鋁鋼材可應(yīng)用于含硫和含氯的氣氛中，可代替某些不銹鋼，因此，近年來熱浸鍍鋁鋼材的應(yīng)用日益廣泛[2]。

(9)

式(8)過(u0,v0)的解為

(10)

先證明系統(tǒng)(7)與(8)是拓?fù)涞葍r(jià)的。實(shí)際上,在xy平面與uv平面中分別取單位圓周

Cxy={(x,y)|x2+y2=1}與Cuv={(u,v)|

u2+v2=1}。

任取(x0,y0)∈Cxy,令(u0,v0)=(x0,y0),并構(gòu)造xy平面到uv平面的映射T如下:

a)T(0,0)=(0,0);

b) 當(dāng)x0y0≠0時(shí),(u,v)=T(x,y),其中

c) 當(dāng)x0y0=0時(shí),可同理定義(u,v)=T(x,y)。

則可以證明映射T是一個(gè)系統(tǒng)(7)到(8)的識(shí)別映射,因此,系統(tǒng)(7)與系統(tǒng)(8)是拓?fù)涞葍r(jià)的。

再證系統(tǒng)(7)到系統(tǒng)(8)的任何保軌道映射都不是C1。實(shí)際上,由于(7)的兩個(gè)特征值分別為λ1與λ2,而(8)的兩個(gè)特征值分別為α±iβ,顯然它們不對(duì)應(yīng)成比例,故系統(tǒng)(7)與(8)的任何保軌道映射在奇點(diǎn)是不可能可微的。

由定理1.5可知:兩個(gè)微分系統(tǒng)雖然可以具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),但它們之間的任何保軌道映射可以不具有可微性。

在微分系統(tǒng)的局部定性研究中,只需要考慮局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。令P0是平面微分系統(tǒng)

(11)

定義域G的一個(gè)內(nèi)點(diǎn),P0可以是一個(gè)奇點(diǎn),也可以是一個(gè)常點(diǎn)。

這樣的一個(gè)區(qū)域W0稱為系統(tǒng)(9)的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)區(qū)域(或鄰域)。

由平行化定理可知,在常點(diǎn)的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)單的,即從拓?fù)渖现v就是平行線。至于在奇點(diǎn),其局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能是十分復(fù)雜的,有的系統(tǒng)甚至在上述意義下可能沒有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

例1.7 考慮下面的平面系統(tǒng)

C1:x2+y2=32,C2:x2+y2=22,

使得在C2k-1與C2k之間沒有極限環(huán),而在C2k與C2k+1之間恰有k個(gè)極限環(huán)。則這個(gè)系統(tǒng)在定義1.6意義下奇點(diǎn)O是不具有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

然而,對(duì)于解析系統(tǒng)而言的任何奇點(diǎn)總是具有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的,但是難以用直接的方法來定義一個(gè)奇點(diǎn)的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的具體含義,而一般用下面的間接的方法來定義。由于是局部的,這里的保軌道映射不一定映整軌道到整軌道,而是允許映軌道段到軌道段。

定義1.8 令P1與P2分別是系統(tǒng)(3)與(4)的具有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的兩個(gè)點(diǎn)(可以是奇點(diǎn),也可以使正則點(diǎn))。稱系統(tǒng)(3)與(4)在這兩個(gè)點(diǎn)的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同的,如果分別存在P1與P2的鄰域W1與W2及映射

T:W1→W2

使得T(P1)=P2且軌道弧對(duì)應(yīng)于軌道弧段。

2 平面解析系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)

正如前面的定理1.5所表達(dá)的,對(duì)于非退化平面線性微分系統(tǒng)的焦點(diǎn)與結(jié)點(diǎn),它們的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是相同的,然而從動(dòng)力學(xué)上看,它們顯然有本質(zhì)的區(qū)別。因此在有些文獻(xiàn),比如文獻(xiàn)[5]中,認(rèn)為平面微分系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與定性結(jié)構(gòu)是不同的。正如定義1.3或定義1.6那樣,兩個(gè)平面微分系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否相同可以通過一個(gè)拓?fù)溆成鋪矶x。至于如何定義兩個(gè)平面微分系統(tǒng)的定性結(jié)構(gòu)是否相同,就作者所知,目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)還沒有嚴(yán)格的定義,大多數(shù)文獻(xiàn)中就某兩個(gè)具體的微分系統(tǒng)討論它們是否具有相同的定性結(jié)構(gòu),比如對(duì)非退化平面線性微分系統(tǒng),焦點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)(包括正常結(jié)點(diǎn)、退化結(jié)點(diǎn)與臨界結(jié)點(diǎn))具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),但它們具有不同的定性結(jié)構(gòu)[5]。

下面對(duì)平面解析系統(tǒng),利用文獻(xiàn)[2,5]中的一個(gè)結(jié)果給出其定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義。

命題2.1[2,5]若原點(diǎn)O(0,0)是式(7)的奇點(diǎn),即X(0,0)=Y(0,0)=0,且設(shè)X(x,y),Y(x,y)在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域U中是解析的。則式(11)如果有軌道進(jìn)入奇點(diǎn)O(0,0),它只能螺旋形地進(jìn)入或沿固定方向進(jìn)入。

定義2.2 定兩個(gè)平面解析系統(tǒng)

(12)

與

(13)

設(shè)P1與P2分別是式(12)與(13)的孤立奇點(diǎn),且在它們的鄰域中有定義。稱系統(tǒng)(12)與(13)在P1與P2具有相同的定性結(jié)構(gòu),如果滿足下面兩個(gè)條件:

a) 它們?cè)诙x1.6意義下具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),記保軌道段映射為T;

b) 系統(tǒng)(12)的一條軌道段沿固定方向趨于P1當(dāng)且僅當(dāng)在映射T下對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(13)的軌道段沿固定方向趨于P2;等價(jià)地,系統(tǒng)(12)的一條軌道段螺旋形地趨于P1當(dāng)且僅當(dāng)在映射T下對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)(13)的軌道段螺旋形地趨于P2。

命題2.1表明,上面的定義是合理的。有了定性結(jié)構(gòu)的嚴(yán)格定義以后,類似于根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)平面系統(tǒng)進(jìn)行拓?fù)浞诸?現(xiàn)在可以利用定性結(jié)構(gòu),也可以對(duì)平面解析系統(tǒng)進(jìn)行分類。

考慮平面非退化的解析系統(tǒng)

(14)

其中a、b、c、d是實(shí)數(shù),且ad-bc≠0,而Φ(0,0)=ψ(0,0)=0。顯然原點(diǎn)O(0,0)是孤立奇點(diǎn),并且

是系統(tǒng)(14)的特征方程。若令p=-(a+d),q=ad-bc,則D(λ)=λ2+pλ+q=0,該方程的根

稱作系統(tǒng)(14)的特征根。

由于對(duì)任何n階常系數(shù)線性系統(tǒng),當(dāng)特征根實(shí)部k個(gè)為負(fù),n-k個(gè)為正(k=0,1,…,n),對(duì)固定的k,它們的軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都相同[5],因此當(dāng)按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類時(shí),只有以下三種不同的類型:

a) 若λ1、λ2的實(shí)部同號(hào),則系統(tǒng)(14)的焦點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)為一類;

b) 若λ1、λ2的實(shí)部異號(hào),則(14)的鞍點(diǎn)為一類;

c) 若λ1、λ2的實(shí)部均為零,則(14)的中心為一類。

由a)可知,當(dāng)按拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來分類系統(tǒng)(14)時(shí),不能把系統(tǒng)的焦點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)區(qū)分開來。然而,從動(dòng)力學(xué)的角度來看,焦點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)是不同的,因此按照拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來分類系統(tǒng)(14)是比較粗糙的。現(xiàn)按定義2.2的定性結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類,則它的奇點(diǎn)可分為下面六種不同的類型:

a) 若λ1,λ2為兩個(gè)不同的實(shí)根且同號(hào),則存在兩條不同的直線,使得系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的所有軌道都沿確定的方向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),并且只有兩條軌道沿兩條直線中的一條所確定的方向相向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),剩下的所有軌道沿另外一條直線所確定的方向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),稱這樣的奇點(diǎn)為正常結(jié)點(diǎn);

b) 若λ1,λ2為兩個(gè)相同的實(shí)根,且初等因子為單時(shí),則對(duì)過奇點(diǎn)的任意直線,有且僅有系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的兩條軌道沿這條直線所確定的方向相向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),稱這樣的奇點(diǎn)為臨界結(jié)點(diǎn);

c) 若λ1,λ2為兩個(gè)相同的實(shí)根,且初等因子為重時(shí),則存在一條直線,使得系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的所有軌道只可能沿這條直線所確定的方向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),稱這樣的奇點(diǎn)為退化結(jié)點(diǎn);

d) 若λ1,λ2為兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根,則存在過奇點(diǎn)的兩條直線與系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的四條軌道,使得其中的兩條軌道沿其中的一條直線所確定的方向相向進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),而另外兩條軌道沿另一條直線所確定的方向相向離開(或進(jìn)入)奇點(diǎn),稱這樣的奇點(diǎn)為鞍點(diǎn);

e) 若λ1,λ2為兩個(gè)共軛的復(fù)特征根,且實(shí)部非零,則系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的所有軌道只能螺旋形地進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),稱這樣的奇點(diǎn)為焦點(diǎn);

f) 若λ1,λ2為兩個(gè)共軛的純虛根,則系統(tǒng)(14)的奇點(diǎn)附近的所有軌道或者都是閉的,或者所有軌道只能螺旋形地進(jìn)入(或離開)奇點(diǎn),出現(xiàn)前者稱為中心,出現(xiàn)后者稱為細(xì)焦點(diǎn)。關(guān)于中心與細(xì)焦點(diǎn)的區(qū)分問題稱為穩(wěn)定性問題,雖然理論上已經(jīng)解決,但對(duì)一個(gè)具體的系統(tǒng)要區(qū)分它們?nèi)杂写^續(xù)研究的課題。

通過上面的分析可知,雖然焦點(diǎn)、正常結(jié)點(diǎn)、退化結(jié)點(diǎn)、臨界結(jié)點(diǎn)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),但它們卻具有不同的定性結(jié)構(gòu),并且軌道的動(dòng)力學(xué)行為存在很大的差別。所以按定性結(jié)構(gòu)對(duì)平面非退化的解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類比拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分類更加精細(xì),從而能夠更好地刻畫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。至于一般的平面解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)(特別是退化奇點(diǎn))的定性結(jié)構(gòu)分類問題仍有待繼續(xù)研究,但下面的結(jié)果表明這樣的類型只有有限多個(gè)。

命題2.3[2,5]設(shè)O(0,0)是系統(tǒng)(11)的具有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的孤立奇點(diǎn),則存在O(0,0)的一個(gè)鄰域Sδ(O),使得在Sδ(O)的閉包內(nèi)的雙曲扇形與拋物扇形的個(gè)數(shù)是有限的,從而橢圓扇形的個(gè)數(shù)也是有限的。

定理2.4 設(shè)O(0,0)是系統(tǒng)(11)的具有局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的孤立奇點(diǎn),則奇點(diǎn)O(0,0)僅有有限種不同類型的定性結(jié)構(gòu)。

證明 由定義1.6與命題2.4立即得到。

3 結(jié) 論

微分方程定性理論的基本思想是根據(jù)微分系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與特點(diǎn),用盡可能簡(jiǎn)單的方法來確定其軌線的分布圖形,即對(duì)微分系統(tǒng)的軌線作“全局”分布的研究。這必須解決三個(gè)問題:奇點(diǎn)附近軌線的結(jié)構(gòu)、經(jīng)過奇點(diǎn)的分界線的去向、極限環(huán)的個(gè)數(shù)及相對(duì)位置。為研究奇點(diǎn)附近軌線的結(jié)構(gòu),通常用拓?fù)渥儞Q法對(duì)系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行拓?fù)浞诸?使得屬于同一類的奇點(diǎn)具有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。但正如本文中所分析的那樣,雖然拓?fù)涞葍r(jià)系統(tǒng)具有相同個(gè)數(shù)的奇點(diǎn)與極限環(huán)(見定理1.4),但由于這樣的拓?fù)渥儞Q可能是不可微的(見定理1.5),所以在使用上是不方便的;同時(shí)平面非退化線性系統(tǒng)的焦點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)屬于同一個(gè)拓?fù)漕愋?因此在這個(gè)意義下對(duì)奇點(diǎn)進(jìn)行拓?fù)浞诸愂潜容^粗糙的,它不能很好地區(qū)分系統(tǒng)奇點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)行為。為了能更好地對(duì)微分系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類,本文根據(jù)平面解析系統(tǒng)如果有軌道進(jìn)入奇點(diǎn)只能螺旋形地進(jìn)入或沿固定方向進(jìn)入這個(gè)特征給出了平面解析系統(tǒng)定性結(jié)構(gòu)的定義,并按照拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和定性結(jié)構(gòu)分別對(duì)平面非退化解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)進(jìn)行分類,結(jié)果是:按照拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以分為三類,其中焦點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)屬于同一類;按照定性結(jié)構(gòu)可以分為六類,把焦點(diǎn)、正常結(jié)點(diǎn)、退化結(jié)點(diǎn)與臨界結(jié)點(diǎn)區(qū)分開來。這表明,對(duì)于平面非退化解析系統(tǒng),按定性結(jié)構(gòu)進(jìn)行分類比按照拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分類能更好地刻畫系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。至于一般的平面解析系統(tǒng)的奇點(diǎn)(特別是退化奇點(diǎn))的定性結(jié)構(gòu)分類問題仍有待繼續(xù)研究。

[1] Algaba A, Fuentes N, García C. Centers of quasi-homogeneous polynomial planar systems[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2012, 13: 419-431.

[2] Dumortier F, Llibre J, Artes J C. Qualitative Theory of Planar Differential Systems[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2006: 4-8.

[3] Wiggins S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York: Springer-Verlag, 1990: 1-6.

[4] Andronov A A, Leontovich E A, Gordon I I, et al. Qualitative Theory of Second-order Dynamic Systems[M]. Israel Program for Scientific Translations. New York: Halsted Press(A Division of Wiley), 1973: 6-12.

[5] 張芷芬, 丁同仁, 黃文灶, 等. 微分方程定性理論[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1985: 19-96.

(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Analysis on Qualitative Framework of Planar Analysis System

TANGMin,HUANGTu-sen

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

This paper firstly proves 2 properties of topological equivalence differential systems, and analyzes topological structure of planar analytic system and limitations of its classification; and then gives the definition of qualitative framework of planar analytic system, and makes classification according to the singular points of topological structure and qualitative framework on non-degenerating planar analytic system. The result shows that the qualitative framework of planar analytic system can better depict qualitative behavior of system compared with topological structure. Those results popularize relevant conclusions in singular point theory of planar analytic system, and have reference value to research on phase diagram of planar analytic system.

phase diagram; topological structure; qualitative framework; classification

1673- 3851 (2015) 01- 0140- 06

2014-03-10

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871181,11101370)

唐 敏(1990-),女,貴州普安人,碩士研究生,主要從事微分方程定性理論方面的研究。

O175.14

A