朱自清， 吳柯銳， 侯文， 劉立達

（1.中北大學 儀器科學與動態(tài)測試教育部重點實驗室，太原 030051；2.空軍駐山西地區(qū)軍事代表室，太原 030024；3.豫西工業(yè)集團有限公司，河南 南陽 471002）

0 引 言

齒輪傳動作為機械中主要的一類傳動，在工程中得到了廣泛的應用，這是因為齒輪傳動效率高、結(jié)構(gòu)緊湊而且傳動比穩(wěn)定。在齒輪工作時，由于外部激勵的作用以及自身內(nèi)部的熱運動，齒輪將不可避免地發(fā)生振動。振動系統(tǒng)的固有特性，包括系統(tǒng)的固有頻率和對應的主振型。在對振動系統(tǒng)動態(tài)特性的研究中，固有特性的研究是其基礎，但是，在系統(tǒng)的初始設計階段，固有特性的實驗數(shù)據(jù)卻不易獲得。目前，為了獲得齒輪固有特性的實驗數(shù)據(jù)，大多是通過理論計算的方法得到，而在這些算法中，有限元分析法是最好的。

文章首先通過三維設計軟件SolidWorks對齒輪進行三維建模，然后將模型導入到有限元分析軟件ANSYS中進行齒輪模態(tài)的分析，進而得到了所設計齒輪的低階固有振動頻率和其對應主振型；然后結(jié)合外部激勵的頻率特性進行分析，表明所設計齒輪在正常工作情況下不會發(fā)生共振。

1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是通過將結(jié)構(gòu)的物理模型轉(zhuǎn)化成模態(tài)模型，然后對其進行分析，得出結(jié)構(gòu)的固有振動頻率和振型。

根據(jù)理論力學的相關知識，能夠得到系統(tǒng)的運動微分方程

式中：［M］、［C］和［K］分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；（x）、（x˙）和（x¨）分別為位移向量、速度向量和加速度向量；（F（t））為外力向量。

對系統(tǒng)的運動微分方程進行拉普拉斯變換，將振動方程從時域變換到頻域，得

其中：（F（s））為激勵向量；（x（s））為響應向量。

令 s=jω，然后引入模態(tài)坐標，令（x（s））=［φ］（q），［φ］為振型矩陣，（q）為模態(tài)坐標，則式（2）可以表示為

若無外力作用時，即（F（jω））=（0），即得到系統(tǒng)無外力作用時在頻域的振動方程表達式，自由振動的頻率和對應的振型即為系統(tǒng)的固有頻率和固有振型；同時，在外力為零時，阻尼對整個系統(tǒng)的影響也不大，所以可以略去阻尼項，得到無阻尼的自由振動方程

其中 i=1，2，…，n。

作為一個多自由度振動系統(tǒng)，一般存在著n個固有頻率和n個主振型，每一對頻率和振型代表一個單自由度系統(tǒng)的自由振動［1］，這種在自由振動時結(jié)構(gòu)所具有的振動特性稱為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。

2 齒輪建模

2.1 建立實體模型

考慮到ANSYS軟件自帶建模功能的不足，我們選用三維CAD軟件SolidWorks來建立齒輪的模型，然后通過格式的轉(zhuǎn)換，導入到ANSYS中進行模態(tài)分析。實體齒輪的齒數(shù)z=28，模數(shù)m=0.5 mm，壓力角為20°。建立的三維模型如圖 1（a）所示。

圖1

在建模過程中，需要注意以下幾點：

1）為了減小ANSYS的計算量，同時對計算精度的影響不大的模型中的一些倒角、圓角進行了刪除；

2）為了讓在模型導入ANSYS后有效，在建模應注意保持實體特征的獨立性，不能隨意合并實體；

3）將SolidWorks中的實體模型保存為Parasolid格式，ANSYS 方可識別［2］。

2.2 建立齒輪有限元模型

將齒輪模型導入到ANSYS后，還需要進行一些操作之后才可顯示所建立的實體模型，首先是顯示控制的操作，PlotCtrls-Plot Reset Ctrls；然后再 Plot-Replot，顯示結(jié)果如圖1（b）所示。根據(jù)齒輪的材料可知，彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7 900 kg/m3。 單元類型選擇的Solid45。該單元由8個節(jié)點定義，每個節(jié)點有三個方向的自由度，具有塑性和大應變的能力［3］。然后對齒輪進行網(wǎng)格劃分，采用自由網(wǎng)格命令進行劃分，得到齒輪的有限元模型，如圖2所示。

圖2 齒輪有限元模型

2.3 載荷施加及求解

在進行模態(tài)分析時，只需對所求模型進行固定，所以，只需對齒輪施加自由度約束，約束的目標是齒輪內(nèi)孔的六個面。模態(tài)提取的方法有Block Lanczos，PCG Lanczos，Reduced，Unsymmetric 等 ， 在 這 里 我 們 選 取Block Lanczos法，提取模態(tài)的數(shù)目和擴展模態(tài)的數(shù)目均為10。在求解完成后，通過通用后處理器POST1來查看ANSYS計算結(jié)果，得到其頻率表，如圖3所示。

圖3 齒輪1-10階固有頻率值

2.4 結(jié)果后處理

在設置時，已經(jīng)對模態(tài)進行了擴展，所以對求得的每一階固有頻率程序都同時求解了其對應的模態(tài)振型在齒輪各節(jié)點上的位移情況，通過采用ANSYS通用后處理器可以對各節(jié)點上的位移情況進行觀察和分析。當齒輪的固有頻率為54 214.9 Hz時，其主振型如圖4所示，為一階對折振；當齒輪的固有頻率為68 863.2 Hz時，其主振型如圖5所示，為二階對折振；當齒輪的固有頻率為71 447.5 Hz時，其主振型如圖6所示，為圓周振動；當齒輪的固有頻率為110 181Hz時，其主振型如圖7所示，為三階對折振。

圖4 齒輪在1階模態(tài)的主振型

圖5 齒輪在4階模態(tài)的主振型

圖6 齒輪在5階模態(tài)下的主振型

通過總結(jié)，將齒輪的低階固有振型歸納如下［4］：

1）對折振：包括一階對折振、二階對折振……。主要表現(xiàn)為軸向出現(xiàn)規(guī)則波浪振型，在端面上為規(guī)則多邊形振型，綜合起來為結(jié)構(gòu)扭曲型的對折振。

2）傘型振：軸向的振動表現(xiàn)為收縮傘狀振型。

3）圓周振：軸向基本無振動，在端面上為圓周方向的振動。

圖7 齒輪在7階模態(tài)下的主振型

2.5 共振判斷

在獲得齒輪的固有頻率之后，還需要知道外界激勵的頻率，這樣才可以確定它們組合在一起是否會發(fā)生共振。

該齒輪的外界激勵是由直流伺服電機所提供的，電機型號是S321B電磁式直流伺服電動機，其最大轉(zhuǎn)速為3 300 r/min，折換成頻率即為55 Hz，這遠遠小于齒輪的固有頻率，所以在舵機的工作過程中，齒輪不會發(fā)生共振。

3結(jié) 論

1）通過三維建模軟件SolidWorks對齒輪進行三維實體建模，然后利用有限元分析軟件ANSYS對實體模型進行有限元建模及模態(tài)分析，克服了單一使用某種軟件在建模速度、單元劃分效果以及求解速度等方面的不足。

2）通過對齒輪的模態(tài)進行分析，得到了齒輪前10階模態(tài)的固有頻率及其相應的主振型；然后結(jié)合電機的工作特性，證明了在電機的正常工作條件下，齒輪不會發(fā)生共振，為舵機的動力學分析奠定了一定基礎。

［1］ 葉友東，周哲波.基于ANSYS直齒圓柱齒輪有限元模態(tài)分析［J］.機械傳動，2006,30（5）：63-65.

［2］ 徐春雨，陳剛，周淵鍵.基于 Solidworks和ANSYS某舵機齒輪裝配體模態(tài)分析［J］.機械傳動，2012,36（4）：81-83.

［3］ 孫鵬文，李建東，吳泰成，等.滾珠絲杠電動伺服機構(gòu)齒輪的模態(tài)分析［J］.機械設計與制造，2009（5）：99-101.

［4］ 劉輝，吳昌林，楊叔子.基于有限元法的斜齒輪體模態(tài)計算與分析［J］.華中理工大學學報，1998（11）：75-77.