李長國，索文莉，鐘 敏，劉艷娜

(軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部，天津300161)

存貨問題(也稱為報童問題)是指在面臨未來不確定的需求時，如何確定存儲貨物的數(shù)量問題。如果現(xiàn)有的存貨小于未來的需求，就會發(fā)生供不應(yīng)求的遺憾損失;相反，如果現(xiàn)有的存貨大于未來需求，則發(fā)生供大于求的剩余損失。所以要在其中確定基于某種法則的最優(yōu)存貨量，使得發(fā)生損失的數(shù)量盡可能小。

存貨問題已經(jīng)得到大量研究，一般是用概率分布來描述未來的需求。在分布完全已知時，不難得到最優(yōu)的存儲策略。但由于分布往往未知，或者形式已知但存在未知參數(shù)，所以要由過去的數(shù)據(jù)估計。而由估計參數(shù)確定的最優(yōu)存儲策略，存在評價目標(biāo)函數(shù)的調(diào)整，以及由此帶來的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［1］給出一個指數(shù)分布、樣本數(shù)量相對較少條件下，常規(guī)估計量對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)并非最優(yōu)的問題。本文假設(shè)需求服從某個分布族，借助文獻(xiàn)［1］的思想將參數(shù)估計和收益最大的目標(biāo)結(jié)合起來，給出了一種新的估計思路，該方法能夠適應(yīng)更一般的需求分布。

1 存貨問題的優(yōu)化模型

在報童問題中，設(shè)商品的買進(jìn)價格為c，賣出價格為s，剩余商品沒有回收價值。在需求量為d、進(jìn)貨量為x時的收益為Φ(x，d)=s min{d，x}－cx。實際問題中，往往設(shè)需求量d為一個隨機(jī)變量，設(shè)其分布函數(shù)為Fd(d;θ)，則期望收益為

存貨控制的目標(biāo)是確定存貨量x，使得期望收益 φ(x，θ)最 大。在 φ(x，θ)可微 條 件 下，φ＇(x，θ)=s(1 － Fd(x;θ))－ c?？紤] φ＇(x，θ)的零點所在的位置，最優(yōu)存貨量(optimal order quantity，OOQ)為

將 x(θ)代入 φ(x，θ)得到期望最優(yōu)收益(optimal expected profit，OEP)為

當(dāng)需求d服從單參數(shù)指數(shù)分布時，其具有分布函數(shù) F(x，θ)=1 －e－x/θ，算得 OOQ 和 OEP 分別為

當(dāng)參數(shù)θ未知時，往往借助觀測樣本?d=(d1，d2，…，dn)估計θ。設(shè)估計量為^θ，則OOQ的一個自然的估計量為x(^θ)。然而這種替代思想得到的估計量并非使期望收益函數(shù)(a priori expected profit，APEP)最大的存貨量。例如文獻(xiàn)［1］指出，在指數(shù)需求分布條件下，OOQ的估計量為x(^θ)=(s/c)?^xsm，對應(yīng)的APEP為

而訂貨量為 ^xos=n((s/c)1/(n+1)－1)ˉd，對應(yīng)的APEP為容易驗證 ψsm(θ)＜ ψo(hù)s(θ)＜ ψ(θ)。

2 未知需求分布條件下最優(yōu)存貨量的求解

在設(shè)計最優(yōu)存貨量時，文獻(xiàn)［1］引進(jìn)了控制變量z，并調(diào)整存貨估計量x(^θ)為^x(z)=zx(^θ)，以此作為最優(yōu)存貨量的備選量。這樣由原來極大化E(φ(x(^θ)，θ))的函數(shù)優(yōu)化問題，簡化為極大化Ε(φ(^x(z)，θ))的參量優(yōu)化問題。當(dāng)需求服從指數(shù)分布時，最優(yōu)解恰為=n((s/c)1/(n+1)－1)而對于其他分布，由于沒有存貨量的解析表達(dá)式，要涉及到數(shù)值計算，文獻(xiàn)［1］沒有進(jìn)一步討論這個問題。

文獻(xiàn)［2］從貝葉斯角度，理論上給出任意分布條件下最優(yōu)解的表達(dá)式:

利用這個結(jié)果，文獻(xiàn)［2］不但證明了文獻(xiàn)［1］的結(jié)果為最優(yōu)存貨量，而且在均勻分布時的最優(yōu)存貨量的表達(dá)式:

但利用式(1)很難計算其他分布的存貨量。盡管文獻(xiàn)［2］也給出兩個參數(shù)的需求分布情況下的存貨量的理論計算公式，但由于計算上的困難而很難計算其他分布的最優(yōu)存貨量。

針對一般分布下，最優(yōu)存貨量大多采用數(shù)值計算方式獲得，文獻(xiàn)［3］考慮了線性糾偏的計算思路:首先確定未知參數(shù)的可能參考區(qū)間{θi:i=1，2，…，r}(r稱為空間容量)，這主要通過經(jīng)驗或者樣本估計得到;再由這些參考參數(shù)得到最優(yōu)存貨量列{xi=x(θi):i=1，2，…，r}，進(jìn)而得到 APEP 列{φ(xi，θi):i=1，2，…，r};從參考參數(shù) θi出發(fā)模擬來自分布F(x;θi)的樣本，構(gòu)造參數(shù)的估計量^θi，得到訂貨量^xi=^x(^θi);最后，線性糾偏為β^xi，得到相應(yīng)收益列φ(β^xi，^θi)，再最小化目標(biāo):

這個調(diào)整的目標(biāo)是尋找β使得φ(βx(^θ)，^θ)盡可能接近真實的φ(x(θ)，θ)，但這個最優(yōu)解并非使Ε(φ(βx(^θ)，θ))最大的訂貨量。所以目標(biāo)函數(shù)可以調(diào)整為

另一方面，最優(yōu)參數(shù)c不但和樣本量n有關(guān)，也是空間容量r的函數(shù)，所以最終的參數(shù)應(yīng)表示為

具體執(zhí)行時，對于每個θi，采用蒙特卡洛法模擬m組來自分布F(d，θi)的樣本，從而得到m個θi估計量^θij，j=1，2，…，m，從而得到優(yōu)化函數(shù)為

模擬中取較大 r，直到 cn，r穩(wěn)定為止。實踐中可以嘗試不同的空間容量r導(dǎo)致的最優(yōu)調(diào)整系數(shù)cn，r，通過兩兩比較方法確定參數(shù) r。具體地，對于需求分布為指數(shù)分布，當(dāng)進(jìn)貨價格和零售價分別為 c=1、s=1.2 時，樣本容量為 n=4，調(diào)整系數(shù)假設(shè)可能的調(diào)整范圍為0.5～1.5。以 r=40為基準(zhǔn)，模擬30次得到一列最優(yōu)調(diào)整系數(shù)，將空間容量取5～40，得到的各列調(diào)整系數(shù)分別與基準(zhǔn)r=40得到的最優(yōu)系數(shù)做兩兩比較，得到一列檢驗p值。查看這些p值的散點圖，尋找比較穩(wěn)定p值，其對應(yīng)的空間容量r作為合適的容量。如圖1所示，檢驗p值在參數(shù)空間容量r(大于10之后)沒有顯著的變化趨勢，所以我們模擬中采用的容量為r=10。

圖1 指數(shù)分布中參數(shù)空間的p值散點

因此，在需求分布F(d;θ)參數(shù)θ未知、但有樣本 ?d=(d1，d2，…，dn)條件下，確定調(diào)整系數(shù)和最優(yōu)訂貨量的線性調(diào)整算法(linear correction，LC)的步驟如下。

(1)確定期望收益函數(shù)和最優(yōu)存貨量。根據(jù)需求分布F(x;θ)、成本c和售價s，確定期望收益函數(shù):

如果沒有解析式，給出數(shù)值解。

(2)模擬存貨量和期望收益列。根據(jù)歷史觀測或者經(jīng)驗，確定參數(shù)θ的可能范圍，確立參考向量 θa=(θi:i=1，2，…，r)。對于每個 θi，模擬 m 組來自分布F(d，θi)的樣本，從而得到 m個估計量”^θij，j=1，2，…，m，以及m個存貨量的“估計量”x(^θij)。再將x(^θij)調(diào)整為βx(^θij)，進(jìn)而形成m個期望收益列φ(βx(^θij)，j=1，2，…，m)。

從而得到最優(yōu)存貨量cnx(^θ)，其中^θ為θ的估計量。

3 算法驗證

3.1 指數(shù)需求分布

當(dāng)需求為指數(shù)分布，即F(x;θ)=1－exp(－x/θ)時，期望收益和最優(yōu)存貨量分別為

這是檢驗LC算法合理性的依據(jù)。表1為文獻(xiàn)［3］和LC方法的模擬對比結(jié)果。結(jié)果說明在指數(shù)需求時，由LC方法確定的存貨量是合理的，而文獻(xiàn)［3］的糾偏方法不但偏差大，而且不穩(wěn)定。

表1 指數(shù)分布兩種調(diào)整方法對應(yīng)的調(diào)整值

3.2 均勻需求分布

需求分布為均勻分布時，即 F(x;θ)=x/θ，x∈(0，θ)期望收益為

最優(yōu)存貨量為 x(θ)=(s－c)θ/s。當(dāng)參數(shù) θ未知時，最優(yōu)存貨量的估計量^x=cnx(^θ)=cn(s－c)×x(n)/s。文獻(xiàn)［2］給出的存貨量為

這是檢驗算法合理性的依據(jù)。均勻分布時文獻(xiàn)［3］和LC方法的模擬對比結(jié)果見表2。

表2 均勻分布兩種調(diào)整方法對應(yīng)的調(diào)整值

4 案例分析

以某一報亭為例，經(jīng)驗知道該報亭的某報紙每天銷量服從指數(shù)分布(參數(shù)為50份)。該報紙每份進(jìn)價為c=0.1元，售價為s=0.5元。訂貨策略為根據(jù)上個周期的4個數(shù)據(jù) d1、d2、d3、d4確定下個周期的庫存量。我們分別使用替代法和糾偏法計算平均利潤，比較兩個利潤的大小。其中替代法對應(yīng)的訂貨量為x(^θ)=ˉdln(s/c)，糾偏法對應(yīng)的訂貨量為^x=cnˉdln(s/c)，其中 cn=0.943 9。通過隨機(jī)模擬，得到兩個進(jìn)貨對應(yīng)的每周利潤差為0.043 元。

5 結(jié)語

使用線性糾偏的方法計算得到的最優(yōu)存貨量方法，不但得到覆蓋了現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)果，也適用于較為復(fù)雜的分布情形。對于離散分布和高維分布的需求情況，考慮到篇幅原因，本文沒有給出具體的計算過程，留待進(jìn)一步研究。

［1］ Liyanage L H，Shanthikumar J G.A practical inventory control policy using operational statistics［J］.Operational Research Letter，2005(33):341-348.

［2］ Chu L Y，Shanthikumar J G，Shen Z M.Solving operational statistics via a bayesian analysis［J］.Operational Research Letter，2008(36):110-116.

［3］ Ramamurthy V，Shanthikumar J G.Inventory policy with parametric demand:operational statistics，linear correction，and regression［J］.Production and Operations Management Society，2012(21):291-308.