☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

☉江蘇省無錫市錫山區(qū)教研室姚敬東

·江蘇省無錫市何志奇名師工作室·

讓思維與能力的翅膀在復(fù)習(xí)課中飛揚

☉江蘇省天一中學(xué) 何志奇

☉江蘇省無錫市錫山區(qū)教研室姚敬東

2015年元月15號，筆者應(yīng)邀為云南省普洱市的老師與同學(xué)開設(shè)了一節(jié)必修五的“數(shù)列”一章的復(fù)習(xí)課，平生第一次為云南的孩子上課，感慨頗多，記錄點滴，與同行一起交流和分享.

一、注重通性通法，給學(xué)生留有思維的空間

復(fù)習(xí)題講解要注意“變化”.對于復(fù)習(xí)課例題的選擇，應(yīng)突出教材重點選擇具有典型性的題目，能反映教學(xué)大綱中最主要的、最基本的要求.在對例題進行分析解答后，應(yīng)注意發(fā)揮例題的示范功能，力求在例題的基礎(chǔ)上進一步變化，把平時所學(xué)的零散知識“集中裝箱”，形成良好的認知結(jié)構(gòu).對復(fù)習(xí)課教學(xué)，我們應(yīng)當(dāng)考慮如何讓學(xué)生動起來，為他們創(chuàng)造比較多的交流機會.真正讓學(xué)生動起來，需要教師精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，建構(gòu)科學(xué)的結(jié)構(gòu)，為不同的學(xué)生留出層次各異的思維空間，達到最大限度地發(fā)展學(xué)生能力的目的，這是我們應(yīng)當(dāng)重點考慮的問題.

復(fù)習(xí)時不必拘于環(huán)節(jié)設(shè)計，要關(guān)注針對性、隨機應(yīng)變性，以解決問題為主，對學(xué)生暴露出來的問題對癥下藥.因為學(xué)生的問題是形形色色的，不以教師意志為轉(zhuǎn)移的，因此預(yù)先設(shè)計好的環(huán)節(jié)恐怕與學(xué)生當(dāng)時暴露出來的問題不一致.

片斷1：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，Sm-1=-2，Sm= 0，Sm+1=3，則m=_________.

本題難嗎？不難，等差數(shù)列中，有三個條件足夠了，題目條件正好給出，還有什么難解決的呢？筆者讓學(xué)生練習(xí)這道題，收獲是很大的.

點評：屬于用基本量法解決問題，學(xué)生應(yīng)該都可以掌握的.

生2：由Sm-1=-2，Sm=0，可得am=2，由Sm+1=3，Sm=0，可得am+1=3，從而d=1，以下同生1的解法.

點評：巧用性質(zhì)，靈活處理，該方法屬于最佳解法.

生3：利用等差數(shù)列的前n項和公式Sn=an2+bn，注意到Sm=0，由二次函數(shù)圖像的對稱性，可知函數(shù)f（x）=ax2+ bx一定過點（1，-2），（-1，3）.

點評：這類同學(xué)具有數(shù)形結(jié)合的思想，而且始終把數(shù)列看成是特殊的函數(shù)，因此解決起來就會得心應(yīng)手，游刃有余.

對于不給學(xué)生時間，教師注入式的復(fù)習(xí)，更是不可取的，教師“一言堂”的復(fù)習(xí)，雖然表面上教學(xué)目的達到了，但實際上沒有落實.因為無論基礎(chǔ)知識、基本技能、思想方法、能力培養(yǎng)都必須經(jīng)過學(xué)生親身實踐和體驗，才能領(lǐng)會和理解，光靠教師的講授、歸納提升，并不能落到實處.

二、注重例題的透徹解析，深化學(xué)生的思維層次

解題思路要注意“優(yōu)化”.在復(fù)習(xí)中，必須注意題目解法的多樣性，善于比較、提煉出最佳解法，從而達到優(yōu)化解題思路的目的.這種復(fù)習(xí)，在活躍學(xué)生思維的同時，也讓學(xué)生在解答的過程中充分體驗到成功的愉悅，從而培養(yǎng)了復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.習(xí)題歸類要注意“類化”.在復(fù)習(xí)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)題分類歸檔，并集中力量解決同類題中的本質(zhì)問題，總結(jié)出解決這類問題的方法和規(guī)律，真正讓學(xué)生跳出“題海”.通過一系列的歸類訓(xùn)練，學(xué)生便能把解題的方法從一個問題遷移到另一個問題，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.運用知識要注意“深化”.學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，數(shù)學(xué)教學(xué)必須要聯(lián)系生活實際，培養(yǎng)學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，在復(fù)習(xí)中，應(yīng)有目的地精選一些與所學(xué)數(shù)學(xué)知識聯(lián)系密切的實際問題，使學(xué)生在解答過程中受到學(xué)以致用的良好熏陶，從而達到運用知識的“深化”.

片斷2：已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10=_________.

生5：因為S2=a1+a2=2S1，所以a2=1；因為S3=S1+S2=3，所以a3=1；因為S4=S1+S3=4，所以a4=1，……同理，a10=1.

總結(jié)：由特殊到一般.

生6：取m=1，則有Sn+S1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=S1=a1=1，可知數(shù)列｛Sn｝是以S1為首項，公差為1的等差數(shù)列.所以Sn= S1+（n-1）d=1+（n-1）=n，故a10=S10-S9=10-9=1.

總結(jié)：由特殊到一般，再到特殊.

生7：取m=1，n=9，得S9+S1=S10，所以a10=S10-S9=S1=a1=1.

總結(jié)：特例開路，多思少算，注重思維.

三、注重方法能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生的個性化思維得到彰顯

對新穎的信息、情境和設(shè)問，選擇有效的方法和手段分析信息，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn).對數(shù)學(xué)問題的觀察、猜測、抽象、概括、證明，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也就越強.復(fù)習(xí)課要更加側(cè)重于能力和思維，使通過死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)等方式獲取高分將越來越困難.這也是推行素質(zhì)教育，減輕學(xué)生負擔(dān)的一種體現(xiàn)，其背后的教育目的是更加注重培養(yǎng)學(xué)生個性化的思維能力、自己解決問題的能力.通過新題型的變化，逐步淘汰被人長久詬病的“填鴨式”教學(xué).當(dāng)然，傳統(tǒng)的教學(xué)還不能一棒子打死，在沒有找到一種能夠廣泛引導(dǎo)、訓(xùn)練學(xué)生這種思維能力、自己解決問題的能力之前，當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)方面，題海戰(zhàn)術(shù)還是有一定的生存空間.筆者認為，既然暫時不能拋棄這種教學(xué)，但在日常教學(xué)中留給一定的時間，引導(dǎo)學(xué)生多思考、多交流，少些埋頭蠻干，是能逐步適應(yīng)高考課改的.

片斷3：數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=_________.

師：大家對這道題先思考，然后與周圍的同學(xué)交流一下自己的想法.

生8：因為數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，所以利用an=a1+（n-1）d，使得a3、a5都用a1與d來表示，根據(jù)a1+1，a3+3，a5+5成公比的關(guān)系式（a3+3）2=（a1-1）（a5-5），求出a1與d，代入a3+ 3，a5-5得出q的值.

師：非常好.利用基本元：首項與公差，解決公比q.有沒有對這個解法有新的認識？

生9：我的想法是把a1用a3-2d、a5用a3+2d來表達，利用a3-2d-1，a3+3，a3-2d+5成公比，先求出a3，……

師：有沒有更好的解法，來優(yōu)化上面這些同學(xué)的解法？老師提示一下，大家想一想，如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，那么這個數(shù)列肯定是一個特殊的數(shù)列，請問：特殊在哪里？你能否舉一個例子？

生10：1，2，3……

師：它是等比數(shù)列嗎？不要緊張，沒有想好？沒有關(guān)系，慢慢想，后面的女生，您說說看呢？

生11：an=1，就是1，1，……

師：非常好，很優(yōu)秀.還有嗎？

生12：2，2，2，……

師：很好，不錯.

生13：a，a，a，……

師：非常好！您比前面的同學(xué)回答的更一般化了，大家明白了嗎？這道題應(yīng)該很容易解決了，q是多少？（眾答：q=1）正確，q=1，a1+1，a3+3，a5+5很明顯既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.不動筆動動腦就拿下了.因此，拿到一個題目，從解題的大框架著手，怎么想解題思路很重要.本題給你這樣一個強烈的印象：復(fù)習(xí)時，拿到題目不要馬上去做，先要想一想怎么思考，如何優(yōu)化自己的解法.

讓學(xué)生講并不是把課堂完全交給學(xué)生，學(xué)生只是一個環(huán)節(jié)一種方式，學(xué)生的講解往往帶有片面和不簡潔的特點，老師先要對學(xué)生的講解進行鋪墊，讓聽的學(xué)生做好準(zhǔn)備，中間還要針對聽的學(xué)生可能產(chǎn)生的問題適時對講解的學(xué)生進行提問和提示，或允許聽眾進行提問，最后還要組織總結(jié)和點評.這樣聽的學(xué)生是從自己的角度去聽，聽得細，聽得明白，講的同學(xué)也會有所收獲.

這點實際上要注意的是，只有在前面著力引導(dǎo)學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)情況有一個比較清楚的把握的基礎(chǔ)上，引起他們對自己的知識缺失點或困惑點的足夠重視，學(xué)生講也好，老師講也好，這樣他們才會有共同學(xué)習(xí)的興趣，才會有效果.學(xué)生講的是他自己對學(xué)習(xí)這一點知識的經(jīng)驗體會和方法，講的是一個小點，一個可以啟發(fā)大家，供大家學(xué)習(xí)的地方；或者是講自己的困惑，這樣以引起有共同問題的同學(xué)的注意.

部分老師在提問時多數(shù)時候是讓優(yōu)秀生講，時間長了，其他學(xué)生會認為這件事與自己無關(guān)，也就沒有參與的熱情了，對于借班上課的老師來說一般是不存在這樣的問題的.

四、注重數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與計算能力

我們在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時，除抓好知識、題型、方法等方面的教學(xué)外，還應(yīng)通過各種方式、機會提高和規(guī)范學(xué)生的運算能力和邏輯推理等能力.細心審題、耐心答題，規(guī)范準(zhǔn)確，減少失誤.計算能力、邏輯推理能力是考試大綱中明確規(guī)定的兩種培養(yǎng)的能力.可以說是學(xué)好數(shù)學(xué)的兩種最基本能力，在數(shù)學(xué)試卷中的考查無處不在.并且在每年的閱卷中因為這兩種能力不好而造成的失分占有相當(dāng)大的比例.

片斷4：甲、乙兩廠2013年元月份的產(chǎn)值相等，甲廠產(chǎn)值逐月增加，且每月增加的產(chǎn)值相同，乙廠產(chǎn)值也逐月增加，且每月增加產(chǎn)值與上月產(chǎn)值的百分比相同，若2014年元月份甲、乙兩廠的產(chǎn)值又相等，則2013年7月份甲、乙兩廠產(chǎn)值的大小關(guān)系是_________.

生14：由題意可知甲、乙兩廠的月產(chǎn)值分別構(gòu)成等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)列｛bn｝，且a1=b1及a13=a1+12d=b13=b1q12，a7＞b7.

生15：由上述方法知an=a1+（n-1）d是關(guān)于n的一次函數(shù)，bn=a1qn-1是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)，由圖1可知，當(dāng)1＜n＜13，均有an＞bn，顯然，結(jié)論很明白了.

復(fù)習(xí)課內(nèi)容的重點永遠是基礎(chǔ).要通過對基礎(chǔ)題的系統(tǒng)訓(xùn)練和規(guī)范訓(xùn)練，準(zhǔn)確理解每一個概念，能從不同角度把握所學(xué)的每一個知識點、所有可能考查到的題型，熟練掌握各種典型問題的通性、通法.復(fù)習(xí)一定要做到細且實，切不可因輕重不分而出現(xiàn)“前緊后松，前松后緊”的現(xiàn)象，也不可因趕進度而出現(xiàn)“點到為止，草草了事”的情況，只有真正實現(xiàn)讓思維在碰撞中激發(fā)，實施自主學(xué)習(xí)，才能真正達到復(fù)習(xí)的目的.F

圖1